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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA AULA 4 –TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 MATEMÁTICA FINANCEIRA Conteúdo Programático desta aula • Taxa equivalente • Taxa nominal ou efetiva • Taxa real. MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 TAXA EQUIVALENTE Taxas equivalentes são aquelas que referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo Montante. MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 12 Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = C (1 + ia) Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. O montante M’ ao final do período de 12 meses será: M = C (1 + ia) = C (1 + im) TAXA EQUIVALENTE , MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 1: Seja im = 1% am (Período mês) Qual a taxa equivalente ao ano (ia) ? (Período ano) (1 + ia ) = ( 1 + im) (1 + ia ) = ( 1 + 0,01) (1 + ia) = 1.1268 (da Tabela) Logo: ia = 1,1268 - 1 = 0,1268 ou 12,68% aa 12 12 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 2: Qual o montante no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos? C = 100 i = 1% am ou i = 0,01 am t = 1 ano ���� n = 12 meses M = ? Temos: M = C (1 + i) M = 100 ( 1 + 0,01) M = 100 x 1,126825 (da Tabela) M = R$112,68 12 n MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 3: Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano. im = ? % am (Período mês) (ia = 60% aa )? (Período ano) ( 1 + ia ) = ( 1 + im ) 1,60 = ( 1 + im ) Da Tabela de Acumulação de Capital: n = 12, encontramos 1,60, que corresponde à taxa de 4%. n 12 12 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 4: Calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano. it = ? % at (Período trimestre) (ia = 60% aa )? (Período ano) (1 + ia ) = ( 1 + it ) (1 ano = 4 trimestres) (1 + 0,60 ) = ( 1 + it ) 1,6 = ( 1 + it ) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital: na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna it = 12% am 4 4 4 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 5: Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre. im= ? % at (Período mês) (it = 60% at )? (Período trimestre) (1 + it ) = ( 1 + im ) (1 + 0,60 ) = ( 1 + im ) 1,6 = ( 1 + im ) Da Tabela: na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna im = 17% am 3 3 3 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 6. Qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos? C = R$2.000,00 i = 1% am ou i = 0,01 t = 2 anos n = 24 meses M = ? Temos: M = C ( 1 + i ) M = 2000 ( 1 + 0,01 ) M = 2000 x 1,269735 (da Tabela) M = R$2.539,47 n 24 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 7. Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre? Solução: Teremos: 1 + ia = (1 + is) Como 5% as = 0.05 1 + ia = 1,05 1 + ia = 1,1025 ia = 0,1025 = 10,25% 2 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 8. Qual a taxa mensal equivalente a 60,1% ao ano? Solução: Teremos: 1 + ia = (1 + im) Como 60,1% = 0,601 1 + 0,601 = (1 + im) 1,601 = (1 + im) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital: im = 4% am (vide TAB prox. Pag.) 12 12 12 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 ia = taxa de juros anual is = taxa de juros semestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diária As conversões das taxas podem ser feitas assim: 1 + im = (1 + id) 1 + ia = (1 + im) 1 + ia = (1 + is) 1 + is = (1 + im) 30 12 2 6 4 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Todas baseadas no princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + ia = (1 + iq) [1 ano = 3 quadrimestres] 3 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 TAXA NOMINAL OU TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização. A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão: Taxa Nominal = Juros Pagos Valor Nominal MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo Um empréstimo de $100.000,00 deve ser quitado ao final de um ano pelo valor de $150.000,00. Então, a taxa de juros nominal será dada por: Juros pagos = jp = 150.000 – 100.000 = 50.000 Taxa Nominal = in = = 50% 50000 100000 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação. Um capital C é aplicado a uma taxa nominal in. O montante M1 ao final do período será dado por M1 = C ( 1 + in ) Durante o mesmo período, a taxa de inflação j O montante será: M2 = C ( 1 + j ) Fórmula: (1 + in) = (1 + r) . (1 + j) r é a taxa real TAXA REAL MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 TAXA REAL Fórmula: (1 + in) = (1 + r) . (1 + j) onde r é a taxa real j taxa de inflação Ou (1+r) = )1( )1( j in + + MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 1: O capital de R$10.000 produziu em 1 ano o montante de R$13.500. Se neste período houve um inflação de 30%, qual a taxa real do juro? in = 3500 / 10000 = 0,35 )1( )1( j in + + Solução ( 1+r ) = = 30,1 35,1 ( 1+ r ) = 1,0385 r = 0,0385 r = 3,85% (1 + in ) = 1,35 (1 + j ) = 1,30 5 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exemplo 2: Um banco empresta 120.000,00 para ser pago em um ano com R$150.000,00. Sendo a inflação igual a 10%, calcule a taxa real. )1( )1( j in + + Solução in = 30.000 / 120.000 = 0,25 (1 + r) = = 10,1 25,1 (1 + r) = 1,1364 r = 0,0385 r = 3,85% (1 + in ) = 1,25 (1 + j ) = 1,10 MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Exercícios: Qual a taxa anual equivalente a 5% ao trimestre? Fórmula: 1 + ia = (1 + it)4 1 + ia = (1 + 0,05)4 ia = 1,2155 – 1 = 21,55% MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE,NOMINAL E REAL – AULA 04 Exercícios: Qual a taxa anual equivalente a 4% ao bimestre? Fórmula: 1 + ia = (1 + it)6 1 + ia = (1 + 0,04) 6 ia = 1,2653 – 1 = 26,53% MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Um empréstimo de R$ 170.000,00 deve ser pago ao final de um ano pelo valor de R$ 243.100,00, a taxa de juros nominal será dada por: Fórmula: Taxa nominal = juros/valor nominal Taxa Nominal = (243100 – 170000) / 170000 = 73100 / 170000 = 0,43 = 43% MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Um empréstimo de R$ 160.000,00 deve ser quitado ao final de um ano pelo valor de R$ 230.400,00. Se a inflação no período foi de 25%, qual a taxa real? Fórmula: (1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j ) in = (230400 - 160000) / 160000 = 0,44 j = 0,25 ���� inflação (1 + in ) = 1,44 (1 + j ) = 1,25 (1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j ) = 1,44 / 1,25 = 1,152 r = 1,152 – 1 = 0,152 ou 15,2% MATEMÁTICA FINANCEIRA TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 Um empréstimo de R$ 190.000,00 deve ser pago ao final de um ano pelo valor de R$ 267.900,00. Se a inflação no período foi de 25%, qual a taxa real? Fórmula: (1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j ) in = (267900 - 190000) / 190000 = 0,41 j = 0,25 ���� inflação (1 + in ) = 1,41 (1 + j ) = 1,25 (1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j ) = 1,41 / 1,25 = 1,128 r = 1,128 – 1 = 0,128 ou 12,8% 6 TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 MATEMÁTICA FINANCEIRA Resumo desta aula • Taxa equivalente • Taxa nominal, taxa proporcional ou efetiva • Taxa real.
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