Avaliação de Cálculo Diferencial e Integral I

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Universidade Esta´cio de Sa´
1a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo Diferencial Integral I – 2o per´ıodo de 2014
Turma: 3123
Nome:
Matr´ıcula:
1a Questa˜o (3.0 pontos): Considerando a func¸a˜o f(x) = 14x
4 + 2x3 + x+ 10 .
(a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto em que x = 2.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta normal no ponto em que x = 2.
2a Questa˜o (2.0 pontos): Determine as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 3x
2+1
x3+4
(b) f(x) = cos(x) · sen (x)
(c) f(x) = e3x
3+1
(d) f(x) =
√
4x2 + x+ 2
3a Questa˜o (1.0 pontos): Uma ce´lula bacteriana tem a forma esfe´rica. Num determinado instante, o raio
da ce´lula esta´ crescendo a` taxa de 0,01 microˆmetros por dia. Qual sera´ a taxa de crescimento do volume desta
ce´lula neste instante, sabendo que seu raio e´ de 1,5 microˆmetros?
(Sugesta˜o: Considere V = 43piR
3, onde V e´ o volume da ce´lula e R o seu raio.)
4a Questa˜o (2.0 pontos): Usando o teste da derivada segunda, encontre os ma´ximos e mı´nimos relativos da
func¸a˜o f(x) = 23x
3 − 3x2 + 4x− 10.
5a Questa˜o (2.0 pontos): Uma part´ıcula que se move horizontalmente de forma retil´ınea tem seu movimento
descrito pela curva s(t) = 13 t
3 − 32 t2 + 2t+ 3.
(a) Determine a func¸a˜o v(t) que fornece a velocidade da part´ıcula (em m/s) e os os instantes em que v(t) = 0.
(b) Determine a func¸a˜o a(t) que fornece a acelerac¸a˜o da part´ıcula (em m/s2).
Universidade Esta´cio de Sa´
1a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo Diferencial Integral I – 2o per´ıodo de 2014
GABARITO
1a Questa˜o (3.0 pontos):
(a) A Equac¸a˜o da Reta tangente a` curva f no ponto (x1, y1) e´ dada por
y − y1 = f ′(x1)(x− x1).
Em x1 = 2, temos que y1 = f(x1) =
1
4 · 16 + 2 · 8 + 2 + 10 = 32. Precisamos, enta˜o, calcular f ′(x1). Assim,
determinando-se a derivada de f , temos
f ′(x) = x3 + 6x2 + 1.
E,
f ′(x1) = f ′(2) = 8 + 24 + 1 = 33.
Logo, a Equac¸a˜o da Reta Tangente e´
y − 32 = 33(x− 2)
y − 32 = 33x− 66
y = 33x− 34.
(b) A Equac¸a˜o da Reta Normal a` curva f e´ dada por
y − y1 = − 1
f ′(x1)
(x− x1).
Temos, pelo o item anterior, que x1 = 2, y1 = 32 e f
′(x1) = 33. Assim,
y − 32 = − 1
33
(x− 2)
y − 32 = − 1
33
x+
2
33
y = − 1
33
x+
2
33
+ 32
y = − 1
33
x+
1058
33
.
2a Questa˜o (2.0 pontos): Usando a notac¸a˜o Dxf ,
(a) Pela regra da divisa˜o de func¸o˜es, temos
Dxf = Dx
[
3x2 + 1
x3 + 4
]
Dxf =
(x3 + 4)Dx[3x
2 + 1]−Dx[x3 + 4](3x2 + 1)
(x3 + 4)2
Dxf =
(x3 + 4)6x− 3x2(3x2 + 1)
(x3 + 4)2
Dxf =
6x4 + 24x− 9x4 − 3x2
x6 + 8x3 + 16
Dxf =
−3x4 − 3x2 + 24x
x6 + 8x3 + 16
(b) Pela regra da multiplicac¸a˜o de func¸o˜es, temos
Dxf = Dx[cos(x) · sen (x)]
Dxf = cos(x) ·Dx[sen (x)] +Dx[cos(x)] · sen (x)
Dxf = cos(x) · cos(x)− sen (x) · sen (x)
Dxf = cos
2(x)− sen 2(x) ou Dxf = cos(2x)
(c) Pela regra da cadeia, temos
Dxf = Dx[e
3x3+1]
Dxf = e
3x3+1Dx[3x
3 + 1]
Dxf = e
3x3+1(9x2)
Dxf = 9x
2e3x
3+1
(d) Pela regra da cadeia, temos
Dxf = Dx[
√
4x2 + x+ 2]
Dxf = Dx[(4x
2 + x+ 2)1/2]
Dxf =
1
2
(4x2 + x+ 2)−1/2Dx[4x2 + x+ 2]
Dxf =
1
2
(4x2 + x+ 2)−1/2(8x+ 1)
Dxf =
8x+ 1
2
√
4x2 + x+ 2
3a Questa˜o (1.0 pontos): Derivando-se a equac¸a˜o do Volume da ce´lula (esfera) implicitamente em relac¸a˜o
ao tempo, temos
d
dt
(V ) =
d
dt
(
4
3
piR3
)
dV
dt
= 3 · 4
3
piR2
dR
dt
dV
dt
= 4pi(1, 5)2 · (0, 01)
dV
dt
= 4pi2, 25 · (0, 01)
dV
dt
= 0, 09pi µm3/dia .
4a Questa˜o (2.0 pontos):
1o Passo: f ′(x) = 2x2 − 6x+ 4.
2o Passo: f ′(x) = 0
2x2 − 6x+ 4 = 0
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 2 · 4 = 36− 32 = 4.
x =
−b±√∆
2a
=
6± 2
4
=⇒ x = 1 ou x = 2.
3o Passo: f ′′(x) = 4x− 6.
4o Passo: Teste da Derivada 2a
f ′′(1) = 4 · 1− 6 = −2 < 0 =⇒ pto. ma´x. relativo em x = 1.
f ′′(2) = 4 · 2− 6 = 2 > 0 =⇒ pto. mı´n. relativo em x = 2.
5a Questa˜o (2.0 pontos):
(a)
v(t) = s′(t)
v(t) = t2 − 3t+ 2
v(t) = 0
t2 − 3t+ 2 = 0
∆ = b2 − 4 · a · c
= (−3)2 − 4 · 1 · 2
= 9− 8
= 1
t =
3± 1
2
=⇒ t = 1 s ou t = 2 s.
(b)
a(t) = v′(t)
a(t) = 2t− 3