APRESENTACAO DA AULA 7

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 7: Integrais imediatas e por substituição
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
INTEGRAIS IMEDIATAS
1
PRÓXIMOS 
PASSOS
INTEGRAIS POR SUBSTITUÇÃO
2
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS)
Considere a, n, k e C constantes, com a > 0
.
, para todo n real diferente de – 1.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Ckxdxk  
C
n
xdxx
n
n 



 1
1
Cxdxx  cos sen 
Cxdxx  sen cos 
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
.
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS)
Considere a, n, k e C constantes, com a > 0
Cxdxx  tg sec 
2
Cxdxx  cotg csc 
2
Cxdxxx  csc cotg csc
Cxdxxx  sec tgsec
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
.
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS)
Considere a, n, k e C constantes, com a > 0
Cxdx
x


 cotg 
1
1
2
Cxdx
x


 sen arc 1
1
2
Cxdx
x


 cos arc 1
1
2
Cxdx
x

 tgarc 1
1
2
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
.
(xiii)
(xiv)
(xv)
(xvi)
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS)
Considere a, n, k e C constantes, com a > 0
Cxdx
xx


 csc arc 1
1
2
Cxdx
xx


 sec arc 1
1
2
Cxdx
x


 cotg arc
1
1
2
Cadxaa xx  ln
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
.
(xvii)
(xviii)
(xiv)
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO (IMEDIATAS)
Considere a, n, k e C constantes, com a > 0
Cedxe xx 
Cxdx
ax a

 log ln
1
Cxdx
x
 ln 
1
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
REGRAS ELEMENTARES DE INTEGRAÇÃO
Como
então
     
dx
xgd
dx
xfd
dx
xgxfd )()()()(


     dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
Seja F(x) uma antiderivada de f(x). Então, a integral de uma função da 
forma é dada por
Considerando e , então podemos reescrever a 
expressão acima na forma
Método da substituição
  )(')( xgxgf 
    CxgFdxxgxgf  )()(')(
)(xgu  dxxgdu )('
CuFdufu  )( 
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
  dxx 5
5)(  xxf






5
2
1
xu
uf
dxdu
dx
du
 1
  duudxx 5 2
1
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
sabendo que 
podemos concluir que
 
  dxx 5
Cu
Cuduu






2
3
1
2
1 
2
3
1
2
1
2
1
Cuu 
3
2 
5 xu
Cxx
Cxxdxx






3
5)102(
3
5)5(2 5
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
X’ .
Note que, para realizar a substituição, é preciso dividir a expressão por 6
Portanto
  x dxx
42 )73(
73 2  xu
xdxdux
dx
du 66 
duxdx
6
1

Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
Como , então podemos concluir 
que 
  x dxx
42 )73(
Cu
Cu
duu
duux dxx






30
56
1
6
1
6
1)73(
5
5
4
442 73 2  xu
Cxx dxx  30
)73()73(
52
42
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
 dxx)3cos(
xu 3
dudxdxdu
3
13 
.sen 
3
1
cos
3
1
3
1cos)3cos(
Cu
u du
 duu dxx




 .)3(sen 
3
1)3cos( Cx dxx 
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
 
 dx
xx
x
53
1
3
2
533  xxu
).1(3
33
2
2


x
x
dx
du
dxxdu )1(3 2 
Cu
du
u
du
u
dx
xx
x







ln
3
1
1
3
1
3
11
53
1
3
2
Unidade III: Integrais indefinidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 7: INTEgRAIS imediatas e por substituição
 
 dx
xx
x
53
1
3
2
533  xxu
Cu
du
u
du
u
dx
xx
x







ln
3
1
1
3
1
3
11
53
1
3
2
Cxxdx
xx
x



 53ln3
1
53
1 3
3
2
Assuntos da próxima aula:
1. Teorema Fundamental do Cálculo;
2. Integral definida.
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	Slide 2
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	Slide 11
	Slide 12
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	Slide 14
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	Slide 16
	Slide 17