04 Exercicio Geometria Analitica I

Prévia do material em texto

UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Professora: E´rica Maceˆdo Semestre: 2015.2 Data: 07.04.2016
Aluno:
Roteiro de Estudos 04 - Geometria Anal´ıtica I
Orientac¸o˜es
• Assistir Vı´deos de Conteu´do:
– Equac¸o˜es de reta e plano.
– Equac¸a˜o geral do plano.
• Material de Suporte
– Material Complementar (Apostila de Retas e Planos): Pgs 01 a` 08.
– Mo´dulo 02: Aulas 05 e 07.
1 A reta
Axioma 1. Dois pontos distintos do espac¸o determinam uma u´nica reta.
Questa˜o 1. Voceˆ sabe o que e´ um axioma? Discuta com seus colegas este conceito muito utilizado no
estudo da Matema´tica.
Um axioma e´ uma afirmac¸a˜o matema´tica que na˜o necessita de provas de sua veracidade. Esta veraci-
dade se da´ por observac¸a˜o da natureza e do mundo em volta.
De acordo com o Axioma acima, temos que dois pontos determinam uma u´nica reta. Como sabe-
mos representar estes pontos usando o sistema cartesiano, podemos enta˜o escrever uma equac¸a˜o que
represente os pontos pertencentes a esta reta.
Definic¸a˜o 1. Dados dois pontos A e B de uma reta r, a equac¸a˜o dada por r : X = A+ t · ~AB, t ∈ R
e´ chamada de equac¸a˜o vetorial da reta r.
Questa˜o 2. Escreva a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa pelos seguintes pontos:
a. A(1, 2, 3) e B(−1, 3, 2)
b. C(2,−3, 6) e D(2, 1,−4)
a. Temos ~AB = B − A = (−1, 3, 2) − (1, 2, 3) = (−2, 1,−1). A equac¸a˜o pode ser escrita como
r : X = A+ t · ~AB, t ∈ R, ou seja, r1 : X = (1, 2, 3) + t · (−2, 1,−1), t ∈ R.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
b. Temos ~CD = D − C = (2, 1,−4) − (2,−3, 6) = (0, 4,−10). A equac¸a˜o pode ser escrita como
r : X = C + t · ~CD, t ∈ R, ou seja, r2 : X = (2,−3, 6) + t · (0, 4,−10), t ∈ R.
Existem mais tipos de equac¸a˜o de reta: as chamadas equac¸o˜es parame´tricas e sime´tricas.
Questa˜o 3. Escreva as equac¸o˜es das retas, da questa˜o acima, no formato:
a. parame´trico b. sime´trico
a. r1 :


x = 1− 2t
y = 2 + t
z = 3− t
, t ∈ R e r2 :


x = 2
y = −3 + 4t
z = 6− 10t
, t ∈ R
b. r1 :
x− 1
−1
=
y − 2
1
=
z − 3
−1
A reta r2 na˜o pode ter sua equac¸a˜o escrita no formato sime´trico pois seu vetor direc¸a˜o possui uma
componente igual a zero.
Questa˜o 4. Foi poss´ıvel escrever todas as equac¸o˜es da questa˜o anterior? Porqueˆ?
A reta r2 na˜o pode ter sua equac¸a˜o escrita no formato sime´trico pois seu vetor direc¸a˜o possui uma
componente igual a zero.
2 O Plano
Axioma 2. Treˆs pontos distintos e na˜o colineares do espac¸o determinam um u´nico plano.
Definic¸a˜o 2. Dados treˆs pontos A, B e C na˜o colineares de um plano pi, a equac¸a˜o dada por pi : X =
A+ t · ~AB + h · ~AC, t, h ∈ R e´ chamada de equac¸a˜o vetorial do plano pi.
Questa˜o 5. Escreva a equac¸a˜o vetorial do plano pi que passa pelos seguintes pontos:
a. A(1, 2, 3), B(−1, 3, 2) e C(0, 1, 2)
b. C(2,−3, 6), D(2, 1,−4) e F (2, 5,−1)
a. Temos ~AB = B −A = (−2, 1,−1) e ~AC = C −A = (−1,−1,−1). Enta˜o pi1 : X = A+ t · ~AB + h ·
~AC, t, h ∈ R, ou seja, pi1 : X = (1, 2, 3) + t · (−2, 1,−1) + h · (−1,−1,−1), t, h ∈ R.
b. Temos ~CD = D−C = (0, 4,−10) e ~DF = F−D = (0, 4, 3). Enta˜o pi2 : X = D+t· ~CD+h· ~DF, t, h ∈
R, ou seja, pi2 : X = (2, 1,−4) + t · (0, 4,−10) + h · (0, 4, 3), t, h ∈ R.
Questa˜o 6. Voceˆ percebeu que para escrever a equac¸a˜o do plano sa˜o necessa´rios dois vetores. Qual a
relac¸a˜o entre eles?
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
E´ necessa´rio que os dois vetores sejam L.I., ou seja, na˜o podem ser paralelos, portanto na˜o sa˜o
mu´ltiplos.
Questa˜o 7. Escreva as equac¸o˜es dos planos, da questa˜o acima, no formato parame´trico.
pi1 :


x = 1− 2t− h
y = 2 + t− h
z = 3− t− h
, t, h ∈ R e pi2 :


x = 2
y = 1 + 4t+ 4h
z = −4− 10t+ 3h
, t, h ∈ R
2.1 A equac¸a˜o geral
Definic¸a˜o 3. A equac¸a˜o ax+ by+ cz+d = 0 e´ chamada de equac¸a˜o geral do plano, onde ~n = (a, b, c)
e´ um vetor normal ao plano, ou seja, perpendicular a todos os vetores do plano.
Questa˜o 8. Encontre a equac¸a˜o geral dos planos encontrados anteriormente.
Para encontrar o vetor normal, e´ necessa´rio efetuar o produto vetorial entre os vetores que definem o
plano.
Temos ~AB × ~AC =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−2 1 −1
−1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −2~i−~j + 3~k = (−2,−1, 3). Enta˜o temos −2x− y + 3z + d = 0;
usando o ponto A(1, 2, 3) temos −2 · 1− 2 + 3 · 3 + d = 0→ −2− 2 + 9+ d = 0→ d = −5. A equac¸a˜o
geral e´ pi1 : −2x− y + 3z − 5 = 0.
Temos ~CD × ~DF =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
0 4 −10
0 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 52~i = (52, 0, 0). Enta˜o temos 52x + 0 · y + 0 · z + d = 0; u-
sando o ponto D(2, 1,−4) temos 52 · 2 + 0+ 0+ d = 0→ 104 + d = 0→ d = −104. A equac¸a˜o geral e´
pi1 : 52x− 104 = 0.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bom Trabalho!