AULA 6 FILAS AULA 1 TEXTO 2017 2

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Universidade Veiga de Almeida 
Modelagem de Sistemas Discretos 
Teoria das Filas – Aula 1 
 
FILAS – CONCEITOS BÁSICOS 
 
1. Elementos de uma fila 
 
 
2. Características de uma fila 
 
2.1. Processo de chegada 
Supor um mercado com três caixas de atendimento. O processo de chegada 
entre 8 e 9 horas da manhã pode ser definido por 10 clientes por minuto ou 
por cliente ou por um cliente a cada seis segundos. É óbvio que esse dado se 
trata de um valor médio. Então teremos um processo de chegada caracterizado 
por: 
- Taxa média de chegada (ritmo de chegadas) de 10 clientes por minuto 
IC - Intervalo médio entre chegadas (intervalo entre chegadas) de clientes de 
seis segundos - IC=1/ 
 
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2.2. Processo de atendimento 
Supondo que cada atendente atende, em média, três clientes por minuto, o 
tempo gasto no atendimento de cada cliente é de 20 segundos. Assim, 
Taxa média de atendimento (ritmo de atendimento) de três clientes por 
minuto 
TA – Tempo médio de atendimento (tempo de atendimento) de 20 segundos. 
 
2.3. Número de servidores 
Sistema mais simples – um servidor para atender um único cliente de cada vez. 
A figura do exemplo contém três servidores. 
 
2.4. Disciplina da fila 
 
FIFO – first in first out 
LIFO – last in first out 
 
2.5. Tamanho médio da fila (NF ou Lq) 
 
Se esão constantes então o tamanho da fia oscila em torno de um valor 
médio. Se a fila crescerá indefinidamente. 
 
2.6. Tamanho máximo da fila 
 
Os bancos atualmente distribuem senhas e as pessoas que formam a fila 
esperam sentadas em determinada área. Há casos em que um novo cliente 
pode ser recusado recebendo, por exemplo, um sinal de ocupado numa 
chamada telefônica. 
 
2.7. Tempo médio de espera na fila 
 
TF (Wq) – o tempo médio de espera na fila é função de e
 
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3. Dinâmica de uma fila 
 
Exemplo 1 - farmácia com um atendente. 
Dados levantados em minutos 
 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Intervalo 4 2 3 0 4 3 3 4 4 3 
Momento 4 6 9 9 13 16 19 23 27 30 
Duração 3 1 4 1 2 2 1 2 1 3 
 
a) Qual é a taxa média de chegada por hora de clientes na farmácia? (
A média dos intervalos entre chegadas = 3 min; logo, (20 clientes/hora. 
 
b) Qual é a capacidade de atendimento do atendente da farmácia? 
A média de duração dos atendimentos é de 2 minutos. Portanto, a capacidade média 
do atendente é de 30 clientes por hora. 30 clientes por hora. 
 
c) Qual é o tempo médio na fila? d) E o Número médio de clientes na fila? 
 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Intervalo 4 2 3 0 4 3 3 4 4 3 
Momento 4 6 9 9 13 16 19 23 27 30 
Duração 3 1 4 1 2 2 1 2 1 3 
Liberação 7 8 13 14 16 18 20 25 28 33 
Espera 0 1 0 4 1 0 0 0 0 0 
 
TF (Wq) (tempo médio na fila) = (1+4+1)/10 = 0,6 minutos 
NF (Lq) (número médio de clientes na fila) = (1+4+1) / 33 = 0,18 clientes 
 
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Exemplo 2: 
Navios chegam a um porto para carregar soja. Os intervalos entre chegadas para 20 
navios e as respectivas duração das cargas estão registrados) na tabela abaixo. 
 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Intervalo (h) 10 2 13 7 2 8 8 8 10 9 1 14 14 1 10 9 9 9 8 14 
Duração (h) 5 5 3 3 6 7 6 8 2 5 8 8 8 3 4 3 3 4 5 5 
 
Pedido 
a) IC (1/); b) Duração média da carga; c) NF (Lq) e d) TF (Wq). 
Solução 
 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Intervalo 10 2 13 7 2 8 8 8 10 9 1 14 14 1 10 9 9 9 8 14 
Momento 10 12 25 32 34 42 50 58 68 77 78 92 106 107 117 126 135 144 152 166 
Duração 5 5 3 3 6 7 6 8 2 5 8 8 8 3 4 3 3 4 5 5 
Liberação 15 20 28 35 41 49 56 66 70 82 90 100 114 117 121 129 138 148 157 171 
Espera 3 1 4 7 
 
a) (Soma dos intervalos) /20 = 166/20 = 8,3 horas. 
b) (Soma das durações) /20 = 101/20 = 5,05 horas 
c) Supor 171 intervalos de tempo com 0 na fila em todos os intervalos, exceto em 15, nos 
quais havia um navio em cada um deles. A média é 15/171 = 0,088 
d) (Soma das esperas) /20 = 15/20 = 0,75 horas 
 
Exercício 1: Misture os intervalos do exemplo 2 e calcule novamente os itens a, b, c, d. 
Exercício 2: Tabela de chegadas e atendimento em ag bancária. Calcular ; NF (Lq) e TF (Wq) 
 
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Intervalo 10 2 13 7 2 8 8 8 10 9 1 14 
Momento 10 12 25 32 34 42 50 58 68 77 78 92 
Duração 5 5 3 3 6 7 6 8 2 5 8 8 
 
 
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4. Variáveis fundamentais uma fila 
 
 
FILA + ATENDIMENTO (SERVIÇO) = SISTEMA 
CLIENTES PODEM SER PESSOAS, AUTOMÓVEIS, BARCOS, .... 
 
4.1. Variáveis referentes ao sistema 
TS ou W – Tempo médio de permanência de clientes no sistema. 
NS ou L – número médio de clientes no sistema. 
4.2. Variáveis referentes ao processo de chegada 
ritmo (taxa) médio (a) de chegada de clientes. 
IC intervalo médio entre chegadas de clientes. IC = (1/
4.3. Variáveis referentes à fila 
TF (Wq) – tempo médio de permanência de cliente na fila. 
NF (Lq) – número médio de clientes na fila. 
4.4. Variáveis referentes ao processo de atendimento 
ritmo (taxa) médio (a) de atendimento de cada atendente (taxa de serviço). 
TA tempo médio de atendimento de cada cliente. TA = (1/
c – capacidade de atendimento ou número de atendentes ou número de estações. 
4.5. Taxa de ocupação 
taxa de ocupação, taxa de utilização dos atendentes) 
Com uma fila e vários atendentes c
 
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5. FÓRMULAS DE LITTLE 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: O funcionamento de um setor de determinada fábrica demonstrou que 
 = 20 clientes por hora, = 25 clientes por hora e TS = 0,3. 
a) Qual é o tamanho médio da fila (NF)? 
b) Qual é o número médio de clientes no sistema (NS)? 
c) E sendo atendidos (NA)? 
Solução 
a) Lei de Little NF = . TF 
TF = TS – TA 
TA = 1/ ; logo: NF =  (TS - 1/)20. ( 0,3 – 1/25) = 20*0,26 = 5,2 clientes 
b) NS =  TS = 20*0,3 = 6 clientes. 
c) NA = NS – NF = 6 – 5,2 = 0,8 clientes. 
 
Exemplo 4: Caminhões de verdura circulam em determinada área de manobra para 
descarregar num box do mercado. O tempo médio que permanecem no local durante 
todo esse processo é de 18 minutos. Verificou-se que, em média, há nove caminhões 
no setor. Qual é a taxa de chegada de caminhões? 
Solução 
Dados: TS = 18 minutos e NS = 9 caminhões 
Lei de Little NS = TS ; logo: 
= NS/TS = 9/18 = 0,5 chegada por minuto. 
 
Exemplo 5 - Foram anotados os intervalos (em minutos) entre as chegadas de clientes, 
ocorridas durante as primeiras horas de trabalho, no departamento de roupa feminina 
de uma loja de departamentos: 
10, 25, 12, 15, 18, 40, 20, 10, 16, 14 
Se considerarmos que no restante de dia o comportamento de chegada é o mesmo, 
qual é a taxa de chegada de pedidos? 
 
Solução 
IC médio = (soma dos IC) / (Qtd medidas) = 180/10 = 18 minutos = 18/60 da hora. 
Logo = 1/IC = 60/18 = 3,33 chegadas por hora. 
 
NF = TF ou Lq = Wq 
NS = TS ou L = W 
 
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Exemplo 6 - A taxa de atendimento de um guichê de cinema é, em média, dois 
espectadores por minuto. Se há cinco guichês funcionando, então, neste instante, 
qual é o tempo médio de atendimento? 
 
Solução 
TA = 2 espectadores/min ; Qtd guichês = 5 
Taxa média de atendimento = 2*5 = 10 espectadores/min 
Tempo Médio Atendimento = 60/10 = 6 segundos 
Exemplo 7 - A taxa de chegada de indivíduos em um sistema de filas para 
vacinação é dez pessoas por minuto. Atualmente há duas enfermeiras aplicando a 
vacina com uma taxa de atendimento médio individual igual a 2,5 pessoaspor 
minuto. Supondo que as duas enfermeiras trabalham com a mesma taxa de 
atendimento, quantas enfermeiras devem ser convocadas a mais para que o sistema 
seja estável? 
 
Solução 
Taxa chegada = 10 pessoas por minuto ; Taxa de atendimento = 2,5 pessoas por 
minuto; Número de atendentes c = 2 
A estabilidade é alcançada com c* Logo: c* = = 10/2,5 = 4 
Como atualmente existem duas enfermeiras, precisa-se de mais duas. 
Exercício 3 - Há 10 atendentes no estacionamento de um gigantesco parque de 
diversões, a taxa de chegada é de 96 clientes por hora e a taxa de atendimento 
individual é de 12,8 clientes por hora. Qual é o número médio de clientes sendo 
atendidos? 
Exercício 4 - Em uma fábrica de doces observa-se que a taxa de caixas de frutas 
que chegam para serem processadas é, em média, de 20 caixas por hora. A 
máquina processa, em média, 25 caixas por hora. Se a caixa fica, em média, 18 
minutos no sistema, então qual é o tamanho médio da fila de caixas? 
 
Exercício 5 - Uma indústria de café torrado e moído recebe 8 caminhões de café 
verde em duas horas. Qual é o intervalo médio de chegada entre os caminhões 
nesse período?