CONTEUDO MECANICA GERAL

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Prof Inácio Benvegnu Morsch / aluno Eng Civil Luciano Perin - CEMACOM
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20. CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO
20.1 TIPOS DE MOVIMENTO
Os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem ser agrupados como:
translação, rotação em torno de um eixo fixo, movimento plano geral, movimento em torno de
um ponto fixo e movimento geral.
20.1.1 Translação
Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer reta unindo 2 pontos
quaisquer do corpo conserva a mesma direção durante o movimento. Neste movimento, todos
os pontos do corpo deslocam-se segundo trajetórias paralelas. Quando as trajetórias são retas
se diz que o movimento é uma translação retilínea e se as trajetórias são curvas o movimento
é uma translação curvilínea. A Fig. (20.1) ilustra uma translação retilínea e uma translação
curvilínea.
Figura 20.1 – Ilustração de translação retilínea e translação curvilínea.
20.1.2 Rotação em torno de um eixo fixo
Neste movimento os pontos que formam o corpo rígido se deslocam em planos
paralelos ao longo de circunferências , cujos centros estão sobre o eixo de rotação. Quando o
eixo de rotação intercepta o corpo rígido , os pontos situados sobre ele tem velocidade e
aceleração nulas. No caso do movimento de rotação no plano tem-se todas as trajetórias
concêntricas. A Fig. (20.2) ilustra o movimento de rotação no espaço e no plano.
Figura 20.2 – Movimento de rotação no espaço e no plano.
A
B
A`
B´
A
B
A`
B´
1
2
A1
B1
A2
B2
c
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O movimento de rotação não deve ser confundido com o movimento de translação
curvilínea. A Fig. (20.3) ilustra um movimento de translação cicunferencial. Nota-se que os
pontos A1, B1, C1 e D1 deslocam-se segundo circunferências paralelas não concêntricas.
Figura 20.3 – Exemplo de translação circunferencial.
Por outro lado, a Fig. (20.4) ilustra um movimento de rotação no plano. Nota-se que os pontos
A1, B1, C1 e D1 deslocam-se segundo circunferências concêntricas.
Figura 20.4 – Exemplo do movimento de rotação.
20.1.3 Movimento plano geral
A principal característica deste tipo de movimento é que todos pontos do corpo rígido
se deslocam planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao redor de
um eixo fixo nem de translação considera-se como um movimento plano geral. O exemplo
mais comum do movimento plano geral é o movimento de uma roda, que pode ser pensado
como a composição de dois movimentos: translação do
centro de massa da roda e rotação da roda em torno do seu
centro de massa (rotação baricêntrica).
Outro exemplo de movimento plano geral é o da haste
que se desloca guiada por duas trilhas: uma horizontal e outra
vertical. A Fig. (20.5) ilustra este caso.
A1
C1 D1
D2
B2
B1
A2
C2
C1
C2
A1
A2
B1
B2
D2
D1
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Figura 20.5 – Exemplo de movimento plano geral.
Numa análise de mecanismo é fundamental saber identificar o tipo de movimento que
é realizado por cada uma das partes do mecanismo. A Fig. (20.6) apresenta um modelo do
mecanismo a biela-manivela. A manivela realiza um movimento de rotação pura em torno do
ponto O, biela realiza um movimento plano geral e o êmbolo realiza uma translação retilínea
alternada.
Figura 20.6 – Modelo do mecanismo biela-manivela.
Haste Deslizante
O
Bielamanivela
Êmbolo
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20.1.3 Movimento em torno de um ponto fixo
Neste caso, o corpo rígido realiza um movimento tridimensional com um ponto fixo.
O exemplo mais comum deste movimento é o deslocamento de um pião sobre uma superfície.
A Fig. (20.7) ilustra o movimento de um cone em torno de um ponto fixo.
Figura 20.7 – Movimento de um cone em torno de um ponto fixo.
20.1.3 Movimento geral
Todo movimento de um corpo rígido que não esteja incluído nos casos anteriores é
classificado como movimento geral.
20.2 CARACTERÍSTICAS GERAIS DO MOVIMENTO DE UM SÓLIDO
Característica Geométrica do Sólido. Um corpo rígido ou sólido é aquele no qual as
distâncias mútuas entre os seus pontos são invariáveis. Matematicamente esta definição pode
ser escrita como
constante
constante
0cos
2121
22
21
2
2121212121
=−•−
==−
−=°−−=−•−
)P(P)P(P
dPP
PPPPPP)P(P)P(P
Característica Cinemática do Sólido. Estando o sólido em movimento tem-se
)(11 tPP = e )(22 tPP = . Logo, a expressão que representa a característica geométrica de um
sólido pode ser derivada em relação ao tempo. Executando-se esta derivada obtém-se
0)()( 0)(2 2211212121 =•−−•−→=





−•−
dt
dPPP
dt
dPPP
dt
dP
dt
dPPP (20.1)
que pode ser rescrito como
P2 P1
d
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dt
dPPP
dt
dPPP 221121 )()( •−=•− (20.2)
Considerando que 
dt
dPVp 11 =
�
, 
dt
dPVp 22 =
�
 e dividindo-se ambos os lados da (20.2) por
21 PP − tem-se
 )()( 212
21
21
1
21
21
pppp vuvuvPP
PPv
PP
PP ������
•=•→•
−
−
=•
−
− (20.3)
em que u� é um vetor unitário com a mesma direção de )( 21 PP − . Aplicando-se em (20.3) a
propriedade do produto escalar tem-se
 coscos 21 21 αα PP VV = (20.4)
Da expressão (20.4) concluí-se que, em cada instante, as velocidades de dois pontos
quaisquer de um sólido têm projeções iguais sobre a reta que eles determinam, como ilustra a
Fig. (20.8).
Figura 20.8 – Característica cinemática do sólido.
Definição do movimento do corpo rígido. Para definir o movimento do sólido adota-
se um triedro UXYZ, considerado fixo, e um triedro Oxyz rigidamente ligado ao corpo. A
Fig. (20.9) ilustra estes sistemas de referência.
Figura 20.9 – Representação dos sistemas de referência.
2α
1αu
�
2pV
�
1pV
�
P1 P2
y
x
z P
0
U
X
Y
Z
i
jk
UXYZ: Sistema fixo
Oxyz: Sistema solidário
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Desse modo, qualquer ponto P do sólido conserva durante o movimento uma posição
invariante com relação a Oxyz. Logo, pode-se afirmar que o movimento dos eixos solidários
(Oxyz) caracteriza perfeitamente o movimento do sólido. Matematicamente este movimento é
representado pelas equações )(tOO = , )(tii
��
= , )(tjj
��
= e )(tkk
��
= . A primeira destas
equações determina a posição da origem e as demais determinam a orientação do triedro
Oxyz. Uma vez conhecidas estas funções pode-se determinar, em qualquer instante, a posição,
velocidade e aceleração de um ponto P qualquer do sólido.
A posição de um ponto P é definida por )()()( OPUOUP −+−=− , mas U(0,0,0) e
kzjyixOP
���
++=− )( , logo
kzjyixOP
���
+++= (20.5)
Esta equação é conhecida como equação geométrica do movimento do ponto P. A partir desta
expressão pode-se calcular a velocidade e aceleração de um ponto apenas por derivação ou
seja 
dt
dPVP =
�
 e 2
2
dt
PdaP =
� .
20.3 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
Como num movimento de translação qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do
corpo conserva a mesma direção durante o movimento tem-se que os vetores i
�
, j
�
 e k
�
 são
constantes.
A posição de um ponto B qualquer do corpo pode ser definida como BAAB rrr
���
+=
sendo A um ponto qualquer do corpo (pode ser pensado como o ponto O do item anterior)
conforme ilustrado na Fig. (20.10).
Figura 20.10 –Localização de um ponto do corpo rígido através de coordenadas relativas
Derivando-se, em relação ao tempo, a expressão que localiza o ponto Btem-se
dt
rd
dt
rd
dt
rd BAAB
���
+= . Representando-se o vetor BAr
� como BABABA urr
��
= , em que BAu
� é um
B
U
A
Ar
�
Br
� BAr
�
Z
X
Y
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vetor unitário com mesma direção e sentido de BAr
� , pode-se rescrever a derivada 
dt
rd BA
�
 como
( )
dt
udru
dt
drur
dt
d
dt
rd BA
BABA
BA
BABA
BA
�
��
�
+== . Como o corpo é rígido tem-se 0=
dt
drBA , e como
qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direção durante o
movimento tem-se 0=
dt
ud BA
�
. Logo, a distribuição de velocidade num movimento de
translação fica definida pela expressão (20.6).
AB
AB VV
dt
rd
dt
rd ����
=→= (20.6)
Derivando-se esta expressão em relação ao tempo tem-se a distribuição de aceleração
AB
AB aa
dt
rd
dt
rd ��
��
=→= 2
2
2
2
(20.7)
Destas expressões concluí-se que um corpo rígido em translação apresenta uma distribuição
uniforme de velocidade e aceleração num dado instante de tempo.
20.4 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Diz-se que um corpo rígido realiza uma rotação quando este se movimenta de modo
que permanece fixa uma reta invariavelmente ligada a este e ao sistema de referência. Esta
reta é denominada eixo de rotação, o qual pode ou não conter pontos do sólido.
Costuma-se representar as sucessivas posições, pelas quais passa um sólido em
rotação, por um ângulo θ definido por dois planos π0 e π , que concorrem no eixo de rotação,
sendo o primeiro fixo, e o segundo solidário ao sólido. A Fig. (20.11) ilustra esta situação.
Figura 20.11 – Representação do
movimento de rotação.
X
Y
Z
π0
U
π
π1
P0
P
P1
∆θ
θ
ω
�
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No movimento de rotação tem-se )(tθθ = . Considerando-se que durante um intervalo
de tempo ∆t o ângulo θ sofra uma variação ∆θ, devido a característica geométrica do sólido,
tem-se que todos os pontos do sólido descreverão arcos de circunferência com ângulos
centrais ∆θ. Logo, pode-se escrever
ω
θθ
==
∆
∆
→∆ dt
d
tt 0
lim (20.8)
Desta expressão conclui-se que todos os pontos de um sólido em rotação apresentam a cada
instante a mesma velocidade angular.
Para se definir o movimento de rotação deve-se definir o eixo de rotação, a velocidade
angular e o sentido de rotação. Para tal emprega-se o vetor rotação ω� que tem as seguintes
características:
• Módulo: dtdθωω ==� ;
• Direção: Mesma direção do eixo de rotação (no caso o eixo UZ);
• Sentido: Executando-se o movimento de rotação com a palma da mão direita tem-se o
sentido indicado pelo polegar.
Na figura (20.10) está indicada a direção e sentido do vetor ω� .
Distribuição característica de velocidades. Para estudar a distribuição de
velocidades no movimento de rotação vamos considerar a Fig. (20.12).
Figura 20.12
Sabe-se que 
dt
rdv
�
�
= representa a velocidade de um ponto P através de um vetor
tangente a trajetória no ponto P e de módulo 
dt
ds v = . Verifica-se que o comprimento do arco
∆S descrito por P, quando o corpo realiza uma rotação ∆θ vale
θφθ ∆=∆=∆ senprBPS (20.9)
A´
´AAu
�
O
P
A
pV
�
pr
�
φ
B∆θ
∆ S
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Dividindo-se ambos os membros desta expressão por ∆t, e fazendo-se 0→∆t tem-se
dt
dr
dt
dS
t
r
t
S
p
p
tt
θφθφ sen senlimlim
00
=→
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆
(20.10)
que pode ser rescrita como
φω senpP rV = (20.11)
Sabe-se que o módulo do produto vetorial entre dois vetores é definido como
θsenbaba =×
�
� . Logo, por analogia com a expressão (20.11) conclui-se que PV
�
 é
representado pelo produto vetorial
pP rV
��
�
×= ω (20.12)
A ordem dos vetores no produto vetorial ficou definida aplicando-se a regra da mão direita
(coloca-se a palma da mão na direção do 1o vetor e gira-se a palma da mão de modo a
interceptar o 2o vetor pelo menor ângulo existente entre os vetores. O vetor ω� tem a direção
'AA e o vetor pr
� tem a direção ( )BP − . Logo, para se obter o sentido de PV� considera-se ω�
o primeiro vetor do produto vetorial. Pelas propriedades do produto vetorial sabe-se que
pp rV
�
�
⊥ e ω�
�
⊥pV .
A expressão (20.12) pode ser rescrita como
ωω
��
�
×−=−×= )()( POOPVP (20.13)
A vantagem da notação ω�
�
×−= )( POVP é que o cálculo da velocidade fica semelhante ao
cálculo do momento de uma força.
De acordo com a expressão (20.12), num movimento de rotação a velocidade se
distribui linearmente como ilustrado na Fig. (20.13).
Figura 20.13 – Distribuição da velocidade num movimento de rotação.
Para determinar a velocidade de um ponto P de um sólido em rotação, num caso geral,
deve-se definir o vetor ω� fazendo-se 'AAu
��
ωω = , em que 'AAu
� é um vetor unitário, que
indica a direção do eixo de rotação e o sentido da rotação (ver Fig. (20.12)). Representando-se
o vetor 'AAu
� como )cos,cos,(cos' zyxAAu θθθ=
� , em que θx, θy e θz são os cossenos diretores
do eixo de rotação, pode-se calcular a velocidade através do determinante apresentado na
expressão (20.14)
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









−−−=++=
zyx
zyxPPPP POPOPOVVVV zyx
θωθωθω coscoscos
)()()(
kji
kji
�
(20.14)
Quando o problema for definido no plano XY, o vetor rotação terá sempre a direção Z
ou seja k
�
�
ωω = . Neste caso, a expressão (20.14) fica
ji
kji
ji xyyxPPP POPOPOPOVVV yx )()(
00
0)()( −−−=










−−=+= ωω
ω
�
(20.15)
Distribuição característica de acelerações. Para se obter a distribuição da aceleração
num corpo em rotação deriva-se a expressão (20.12) em relação ao tempo obtendo-se
dt
rd
r
dt
dr
dt
d
dt
Vd
a ppp
p
p
�
��
�
��
�
�
×+×=×== ω
ω
ω )( (20.16)
Escrevendo-se o vetor velocidade angular como 'AAu
��
ωω = pode-se escrever a sua derivada
como 
dt
udu
dt
du
dt
d
dt
d AA
AAAA
'
'' )(
�
��
�
ω
ω
ω
ω
+== . Uma das características do movimento de
rotação em torno de um eixo fixo é que a posição do eixo de rotação é invariável, logo
0' =
dt
ud AA
�
, o que resulta em
αα
ω
ω
ω ����
�
==== ''' )( AAAAAA uudt
du
dt
d
dt
d (20.17)
Desta expressão se conclui que o vetor aceleração angular α� é paralelo ao eixo de rotação e o
seu módulo é igual a variação da velocidade angular. É importante ressaltar que este resultado
não é geral, ou seja ele somente se aplica no caso de uma rotação em torno de um eixo fixo.
Prosseguindo na análise da expressão (20.16), nota-se que PP
p rV
dt
rd
��
�
�
×== ω . Logo,
pode-se escrever
( )ppp rra ������ ××+×= ωωα (20.18)
Verifica-se que o vetor resultante pr
��
×α é ortogonal ao eixo de rotação AA’ e ao raio
pr
� , logo este vetor é tangente à trajetória de P, representando, portanto, a aceleração
tangencial, ou seja ppt ra
���
×= α . Já o vetor resultante do duplo produto vetorial )( pr
���
×× ωω é
ortogonal ao eixo de rotação AA’ e ao vetor PP rV
��
�
×= ω , que é tangente à trajetória em P.
Logo, o vetor resultante é ortogonal à trajetória em P. Aplicando-se a regra da mão direita,
nota-se que este vetor está orientado para o centro da curvatura representando, então, a
aceleração normal ( )pnp ra ���� ××= ωω .
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Utilizando-se a notação, ω�
�
×−= )( POVp também se deduz uma expressão
semelhante para a aceleração fazendo-se
[ ]
dt
dPO
dt
dP
dt
dOPO
dt
da p
ω
ωω
�
���
×−+×





−=×−= )()( (20.19)
Como o ponto O pertence ao eixo de rotação tem-se 0=
dt
dO , logo
dt
dPO
dt
dP
dt
dPO
dt
dPa p
ω
ω
ω
ω
�
�
�
��
×−+×=×−+×−= )()(
Considerando-se que 
dt
dPVP =
�
 e que 
dt
dω
α
�
�
= tem-se
[ ] αωω ���� ×−+×−×= )()( POPOa p (20.20)
Para se calcular a aceleração de um ponto P, num caso geral de um sólido em rotação,
deve-se em primeiro lugar escrever os vetores ω� e α� em notação vetorial, ou seja
)cos,cos,(cos zyx θθθωω =
� e )cos,cos,(cos zyx θθθαα =
� . Considerando que
ω
�
�
×−= )( POVp já tenha sido calculado, a expressão para o cálculo da aceleração resulta em










−−−+










=
zyx
zyx
zPyPxP
xxxP POPOPO
VVV
a
θαθαθα
θωθωθω
coscoscos
)()()(coscoscos
kjikji
� (20.21)
Da Álgebra Vetorial, demonstra-se que o duplo produto vetorial pode ser transformado
em ( ) ( ) ( )cbabcacba ��������� •−•=×× . Aplicando-se este resultado em (20.16) obtém-se um modo
alternativo para calcular a aceleração normal [ ]ωω ��� ×−×= )( POanp ou seja
[ ] ( ) [ ] )()()( ωωωωωω ������� POPOPOanp −•−−•=×−×= (20.22)
Levando-se em conta as propriedades do produto escalar e que ( )PO −⊥ω� tem-se
)(90cos)(0cos 2 POPOPOa onp −=−−−°== ωωωω
� (20.23)
Logo, a expressão (20.16) pode ser escrita como
αω
��
×−+−= )()(2 POPOa p (20.24)
A expressão (20.24) pode ser usada sem limitações em problemas bidimensionais. A
vantagem desta expressão é a sua facilidade de uso em comparação com a (20.20). No
entanto, em problemas tridimensionais é recomendável o uso da expressão (20.20) já que para
a expressão (20.24) seja válida é necessário que o ponto O, ponto que pertence ao eixo de
rotação, seja igual ao ponto B da Fig. (20.12).
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20.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) O disco A parte do repouso e gira com uma aceleração angular constante 2/2 srad=α .
Quanto tempo é necessário para que o mesmo complete 10 revoluções? Se o disco A está
em contato com o disco B e não há deslizamento entre os discos, determine a aceleração
angular e a velocidade angular de B no instante em que A completar 10 revoluções.
Solução: 00 (repouso) 0 tQuando 00 ==→= ωθ e . Pelos dados do problema tem-se 
2rad/s 2=Aα e
rad 83,62210revoluções 10 =⋅== πθ A
Das expressões do movimento cicunferencial variado tem-se 
2
283,62
2
22
00
ttt =→++= αωθθ
s 93,7=t (horário) 915937200 rad/s,,.t A =+=+= αωω m/s,,.,rV AAp 2320915 === ω
Como não há deslizamentos a velocidade do ponto P, em ambos os discos, são iguais. Do mesmo modo,
as componentes tangenciais da aceleração de ambos os discos são iguais. Logo,
horário)-(anti 321
150
23 rad/s,
,
,
r
V
 rrV
B
p
BBBAAp ===→== ωωω
2
672
150
202 rad/s,
,
,.
r
ra a arara
B
A
ABtBBAA p =====
Já as componentes normais da aceleração no ponto P atuam em sentidos opostos. Além disso, seus
módulos são distintos.
ptBBAA arar =≠
2
ω 
2
2
68
650
m/sa
m/s,a
B
A
n
n
=
=
Obs. A razão BA rr é chamada de relação de transmissão. Raciocínio semelhante ao aplicado neste problema
se aplica em transmissões de movimento por engrenagens e correntes. De modo geral, o procedimento aplicado é
válido sempre que não houver deslizamento entre os elementos que formam a transmissão.
200mm 150mm
A B
P
Aα
AP
a�
ta
�
BP
a�
An
a�
Bn
a�
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215
2) A haste dobrada ABCD gira em torno da reta AD, com velocidade angular constante de
95 rad/s. Determine a velocidade e aceleração do vértice B, quando a haste se encontra na
posição mostrada na figura.
Solução: Em primeiro lugar deve-se definir as coordenadas dos pontos de interesse A(0; 0,2; 0,12), B(0,3; 0,2;
0,12) e D(0,3; 0; 0) .
O vetor ωωωω tem a direção do eixo de rotação e o sentido definido pelo sentido de rotação, o qual não foi indicado
no problema. Uma solução é adotar o sentido de ωωωω ilustrado no esquema abaixo. A melhor maneira de definir o
vetor velocidade angular é escrever este em função de um vetor unitário que define o eixo de rotação, no caso
emprega-se o vetor unitário uAD.
Logo, pode-se escrever ADu
��
⋅= ωω , em que
( ) ( )316,0;526,0;789,0−=
−
−
=
DA
DAuAD
�
( )
( ) rad/s 30;50;75
316,0;526,0;789,095
−=
−⋅=
ω
ω
�
�
A velocidade do ponto B pode ser calculada
fazendo-se ( ) ω�� ×−= BPVB em que P é um ponto
do eixo de rotação. Fazendo-se, por exemplo P = A
tem-se
( ) ( ) ( )m/s 857,0;514,0;049,17m/s 15;9;0
305075
003,0 −⋅=−=










−
−=×−=
kji
ω
�
�
BAVB
Como a haste ABCD gira com velocidade angular constante, sabe-se que 0
�
�
=α . Logo a
aceleração do ponto B é calculada fazendo-se
( )[ ] ( )
( ) 2
2
m/s 406,0;677,0;614,082,1661
m/s 675;1125;1020
1590
305075
−−−⋅=
−−−=










−
−=×−×=
B
B
a
BAa
�
���
kji
ωω
z
x
y
20
0 
m
m
O
A B
C
D
300 mm
120 mm
z
x
y
20
0 
m
m
O
A B
C
D
300 mm
120 mm
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ENG 01156 – Mecânica - Aula 20
Prof Inácio Benvegnu Morsch / aluno Eng Civil Luciano Perin - CEMACOM
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ENG 1156 – MECÂNICA – TRABALHO 8 – TERCEIRA ÁREA
Os trabalhos devem ser desenvolvidos em folha A4 branca a caneta e sem rasuras, ou
podem ser desenvolvidos em editor de texto. Neste caso, o trabalho pode ser entregue em
arquivo (formato .rtf, pdf ou .doc) ou impresso em folha A4 branca. Trabalhos fora destas
condições não serão avaliados.
1) Considerando que um carro protótipo, realizando um movimento retilíneo, foi submetido a
uma aceleração apresentada na tabela abaixo, determine a velocidade final e a distância
percorrida pelo carro para t = 12 s. Considere que o veículo parte do repouso.
tempo (s) 0 3 6 8 10 12
a (m/s2) 4 7 9 11 13 13
2) Uma fita de computador move-se entre dois tambores. Durante um intervalo de 3 s, a
velocidade da fita aumenta uniformemente de 0,61 m/s para 1,52 m/s. Considerando que a
fita não escorrega nos tambores, determine a aceleração angular do tambor A e o número
de revoluções executadas pelo tambor A durante este intervalo de tempo.
3) A peça rígida ilustrada na figura abaixo é formada por um eixo ABC soldado a uma placa
retangular DEFG. O conjunto gira uniformemente com uma velocidade angular de 9 rad/s em
torno do eixo ABC. Sabendo-se que o movimento, quando visto do ponto C, é anti-horário,
calcule a velocidade e aceleração do ponto F.
175 175
10
0
100
100
10
0
x
y
z
D
C
B
A
E
F
G
(mm)
20 mm
30 mm
A
B