P1 2017 2

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Primeira prova de Cálculo 1 – Professor Daniel Henrique Silva 
Departamento de Matemática – 25 de setembro de 2017 
 
Nome:_____________________________________________________________________ RA:___________ 
 
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 1) Considere a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓(𝑥) = |𝑎1 cos(𝑎2𝑥) + 𝑎3| − 𝑎4. 
(1.5) a) Essa função é periódica e limitada. Determine o período dessa função e também os valores limitantes dessa 
função 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ tais que 𝛼 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝛽. 
(1.0) b) Mostre que se 𝐴 = 𝐵 = ℝ, então essa função não é nem injetora, nem sobrejetora. 
 
 2) 
(1.0) a) Argumente porque uma função 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) par/periódica não pode ser bijetora. 
(1.5) b) Sabe-se que a função 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (ou 𝑥4 ou cos(𝑥) ou 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) é par (ou periódica), e portanto, não é 
bijetora. Considerando a função 𝑔(𝑥) = √𝑥 (ou √𝑥
4
, ou arccos(x), ou arcsen(x)), temos que 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑥, o que 
nos dá a ideia de que 𝑔(𝑥) = 𝑓−1(𝑥). Como isso é possível, já que 𝑓(𝑥) não é bijetora, e, portanto, não admite inversa? 
 
(0.6/cada) 3) Calcule os limites: 
 a) lim
𝑥→−2
𝑥3 + 7𝑥2 + 15𝑥 + 10
𝑥3 − 5𝑥2 − 12𝑥 + 4
 b) lim
𝑥→2
√𝑥 + 2 − 2
√𝑥 + 7 − 3
 c) lim
𝑥→
𝜋
4
cos(𝑥) − 
√2
2
(𝑥 − 
𝜋
4
)
2 
 d) lim
𝑥→3−
|𝑥2 − 8𝑥 + 15|
𝑥2 − 4𝑥 + 3
 e) lim
𝑥→∞
√3𝑥2 + 3𝑥 + 2
√5𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 − 1
3 f) lim
𝑥→∞
√𝑥2 − 𝑥 − √𝑥2 + 𝑥 
 
(2.4) 4) Determine constantes reais 𝐴; 𝐵 de tal maneira que a função seja contínua em [0; 5] 
 𝑓(𝑥) = 
{
 
 
𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3
, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
𝐴𝑥 + 𝐵, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝜋 − 𝑥
, 𝑠𝑒 𝑥 > 𝜋