AD1-MD2-2022-1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
1o Semestre de 2022
AD1
GABARITO
Questão 1: [1,0 pto] Considere a função f dada por f (x) = loga x. Se f (a) = b e f (a +2) = b +1, encontre
quais devem ser os valores de a e b para que f esteja bem definida.
Solução: Observe que se f (a) = b, então temos que:
b = f (a) = loga a = 1 ⇒ b = 1.
Portanto, f (a + 2) = b + 1 ⇒ f (a + 2) = 1+ 1 = 2. Logo, f (a + 2) = 2. Substituindo esses dados na lei de
formação de f , obtemos:
2 = f (a +2) = loga(a +2) ⇒ loga(a +2) = 2 ⇒ a2 = a +2 ⇒ a2 −a −2 = 0 ⇒ a = 2 ou a =−1.
Como a é base de um logaritmo, não podemos considerar a solução "a =−1”. Portanto, os valores procura-
dos são a = 2 e b = 1.
Questão 2: [2,0 pts] Encontre o conjunto solução da equação
9x−
1
2 − 4
31−x
=−1.
Apresente todos os cálculos efetuados.
Solução: O conjunto solução da equação pedida é composto pelos valores de x que satisfazem à equação
dada. Para encontrá-lo, precisamos manipular a equação, a fim de simplificá-la. Dessa forma, multiplica-
remos ambos os lados da equação por 31−x . Assim, obtemos:(
9x−
1
2 − 4
31−x
)
×31−x = (−1)×31−x
⇐⇒ (31−x)×9x− 12 −4 = −(31−x)
⇐⇒ (31−x)× (32)x− 12 −4 = −31−x
⇐⇒ (31−x)× (32x−1)−4 = −31−x
⇐⇒ 31−x+2x−1 −4 = −31−x
⇐⇒ 31−x+2x−1 +31−x = 4
⇐⇒ 3x +31−x = 4. (I)
Substituindo 3x por y na equação (I) acima, podemos escrever:
3x +31−x = 4 ⇐⇒ y + 3
y
= 4.
Portanto, se encontrarmos as soluções da equação y + 3
y
= 4, encontraremos também as soluções da equa-
ção (I) , que é equivalente à equação pedida no enunciado. Observe que y = 3x , donde y 6= 0 para todo x ∈R.
Isso significa que não há problema no fato de y aparecer no denominador em uma das parcelas da equação
acima. Assim, multiplicando ambos os membros da equação y + 3
y
= 4 por y , obtemos:(
y + 3
y
)
× y = 4× y
⇐⇒ y2 +3 = 4y
⇐⇒ y2 −4y +3 = 0
⇐⇒ (y −3)(y −1) = 0
⇐⇒ y = 3 ou y = 1
⇐⇒ 3x = 3 ou 3x = 1
⇐⇒ 3x = 31 ou 3x = 30
⇐⇒ x = 1 ou x = 0.
Logo, o conjunto solução da equação pedida é S = {0,1}.
Questão 3 [3,0 pts] Seja f :R→R função definida por f (x) = 53x .
a) Se f (a) = 8, encontre f
(
−a
3
)
. Justifique todos os cálculos.
b) A função f é inversível? Em caso negativo, justifique. Em caso afirmativo, calcule f −1.
Solução:
a) Como f (x) = 53x , segue que f (a) = 53a . Supondo f (a) = 8, temos que
53a = 8 ⇔ (5a)3 = 8 ⇔ (5a)3 = 23 ⇔ 5a = 2 ⇔ 5−a = 1
2
.
Portanto,
f
(
−a
3
)
= 5
(
3×(− a3 )) = 5−a = 1
2
.
Logo, f
(
−a
3
)
= 1
2
.
b) Especificamente nesta questão, a função f (x) = 53x não é inversível, pois não é sobrejetiva. De fato,
foi exposto no enunciado que f :R→R, isto é, o contradomínio de f é todo o conjunto dos números
reais. No entanto, o conjunto imagem de f é dado por Im( f ) = (0,+∞).
2
Questão 4: [2,0 pts] Sabendo que lim
x→0
ax −1
x
= l n(a), sempre que a > 0, com a 6= 1, utilize essa informação
para calcular
lim
x→0
ax −bx
x
, com a > b > 0.
Solução: Com efeito,
lim
x→0
ax −bx
x
= lim
x→0
bx
(
ax
bx
−1
)
x
= lim
x→0 b
x · lim
x→0
(
ax
bx
−1
)
x
.
Como
a
b
> 1 (pois a > b > 0), podemos utilizar a informação dada no enunciado, donde obtemos que
lim
x→0
(
ax
bx
−1
)
x
= l n
( a
b
)
.
Além disso, sabemos que lim
x→0 b
x = 1. Portanto,
lim
x→0
ax −bx
x
= lim
x→0 b
x · lim
x→0
(
ax
bx
−1
)
x
= 1 · ln
( a
b
)
= ln(a)− ln(b).
Questão 5: [2,0 pts] Esboce um possível gráfico de uma função f que satisfaça simultaneamente a todas as
condições abaixo:
(i) lim
x→3+
f (x) = 4 (ii) lim
x→3− f (x) = 2 (iii) limx→−2 f (x) = 2 (iv) f (3) = 3 (v) f (−2) = 1.
Solução: Dadas as condições de (i) a (v), um possível gráfico para f pode ser esboçado como a sequir:
3