Física I UNIVESP Semana 07

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FÍSICA I
EXERCÍCIOS DE PORTFÓLIO
EXERCÍCIO 1
Um projétil é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra com
uma velocidade inicial de 9,42 km/s. Despreze o atrito atmosférico.
Dado: g = GMT/R2T ' 9,81 m/s2 e RT ' 6,37× 106 m.(a) Qual é a distância acima da superfície da Terra que o projétil atinge?
(b) Calcule a velocidade de escape da Terra.
EXERCÍCIO 2
O governo de um país deseja colocar um satélite de comunicação em
órbita de maneira que ele permaneça fixo acima de uma certa localidade
no equador da Terra em rotação. Qual deve ser a altura acima da Terra
dessa órbita?
Dado: MT ' 5,98× 1024 kg.
Física I / Aulas 25–28 Exercícios de Portfólio 2
GABARITO
EXERCÍCIO 1
(a) A energia mecânica do projétil de massa m é
E =
1
2
mv2 − GMTm
r
,
onde r é a distância do projétil ao centro da Terra.
Como trata-se de um sistema conservativo, a energia mecânica do
sistema permanece constante, portanto,
1
2
mv20 − GMTmRT = −
GMTm
(RT + h)
.
Consequentemente,
h=
1
1
RT
− v202GMT
− RT =
�
2g
v20
− 1
RT
�−1
,
i.e., a altura máxima h atingida pelo projétil é
h=
–
2× �9,81 m/s2�
(9,42 km/s)2
− 1
6,37× 106 m
™−1
' 1,56× 107 m .
(b) No infinito a energia potencial do projétil é nula e, já que procura-se
a velocidade de escape (mínima por definição), sua energia cinética
tambémdeve ser nula no infinito. Pela conservação de energia, temos
que a energia mecânica total do projétil deve então ser zero em qual-
quer lugar de sua trajetória, ou seja,
E =
1
2
mv2 − GMTm
r
= 0.
Assim, podemos inferir que a velocidade de escape para a Terra é
vesc =
√√2GMT
RT
=
p
2gRT =
Æ
2× (9,81m/s2) (6,37× 106m)' 11,2 km/s.
Obs: Note que 9,42 km/s < vesc , como era de se esperar.
EXERCÍCIO 2
Neste caso a força centrípeta agindo no satélite de massa m é a força
gravitacional, ou seja,
Física I / Aulas 25–28 Exercícios de Portfólio 3
GMTm
r2
= m
v2
r
, (1)
onde r é o raio da órbita circular.
A velocidade v do satélite é
v =
2pir
T
, (2)
onde T = 24h deve ser o período de rotação para que a órbita seja
geoestacionária. Consequentemente, substituindo (2) em (1), obtemos
r3 =

GMT
4pi2
‹
T 2 =⇒ r =
�
T 2GMT
4pi2
�1/3
.
O raio da órbita do satélite de comunicação é, portanto,
r =
–
(86400 s)2
�
6,67× 10−11 N ·m2/kg2� �5,98× 1024 kg�
4pi2
™1/3
,
i.e.,
r ' 4,22× 107 m
enquanto que sua altura acima da superfície da Terra é
h= r − RT ' (4,22− 0,637)× 107 m' 3,58× 107 m.
Curiosidade: O primeiro a propor a idéia de um satélite geoestacionário
foi Arthur C. Clarke. Esta órbita é denominada, então,Órbita Geossíncrona
de Clarke. Clarke também é conhecido por ter sido um grande autor de
ficção científica, tendo escrito, inclusive, a obra 2001 - Uma Odisséia no
Espaço.