PE Maputo2017 1

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Processos Estocásticos
Mestrado em Ciências Actuariais
Alexandra Bugalho de Moura
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Agosto 2017
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 1 / 30
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1 Noções gerais
Relembrar de teoria de probabilidades
Noções gerais
Especificação
Classificação
Exemplos de Processos Estocásticos
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 2 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Seja Ω o conjunto espaço dos resultados
σ-álgebra
Colecção F de subconjuntos de Ω tal que:
1 ∅ ∈ F
2 A ∈ F sse Ac ∈ F
3
⋃
n An ∈ F para quaisquer A1,A2, . . . ∈ F
Os elementos de uma σ-álgebra designam-se por eventos
Medida de Probabilidade
Função
P : F −→ [0, 1]
tal que
P(∅) = 0 e P
(⋃
n
An
)
=
∞∑
n=1
P(An)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 3 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Variável Aleatória
Função mensurável
X : Ω −→ R
Ser mensurável significa que a imagem inversa de qualquer conjunto aberto é um evento, ou
equivalentemente:
X−1 (]a, b[) ∈ F , ∀a < b
Função de distribuição de probabilidade
FX : R −→ R tal que
FX (x) = P(X 6 x)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 4 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Variável Aleatória Discreta
A variável aleatória toma um conjunto contável (finito ou infinito) de valores
X (Ω) = {x1, x2, . . .}
Exemplos:
Variável discreta X (Ω) Distribuição de probabilidade
Bernoulli {0, 1} P(X = 1) = p, p ∈ [0, 1]
Binomial {0, . . . , n} P(X = k) = Cnk pk (1− p)n−k
Poisson {1, 2, 3, . . .} P(X = k) = e−λ λ
n
n!
, λ > 0
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 5 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Variável Aleatória Continua
A sua função de distribuição é uma função contínua:
P(X = x) = Fx (x)− FX (x−) = 0
Se FX (x) for continuamente diferenciável, então
FX (x) =
∫ x
−∞
fX (u)du,
onde fX = F ′X é a função densidade de probabilidade de X .
Exemplos:
Variável contínua X (Ω) Distribuição de probabilidade
Uniforme [a.b] fX (x) =
{
1/(b − a), a 6 x 6 b
0, c.c
Gaussiana R fX (x) =
1
σ
√
2pi
e
− 12
(
x−µ
σ
)2
, σ > 0, µ ∈ R
Exponencial [0,+∞[ fX (x) =
1
θ
e−
x
θ , θ > 0, x 6 0
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 6 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Valor Esperado
Se X é integrável em relação a P, então definimos o valor esperado como
E(X ) =
∫
Ω
XdP
V.a. discreta: E(X ) =
∑
n
xnP(X = xn)
V.a. contínua: E(X ) =
∫ ∞
−∞
x fX (x)dx
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 7 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Função de Probabilidade Conjunta
Dado um conjunto de variáveis aleatórias X1,X2, . . . ,Xn, designa-se por FX1,X2,...,Xn a sua função
de distribuição de probabilidade conjunta:
FX1,X2,...,Xn (x1, x2, . . . , xn) = P(X1 6 x1,X2 6 x2, . . . ,Xn 6 xn)
Independência
Duas v.a. X e Y são independentes sse
FX ,Y (x , y) = FX (x)FY (y) ∀x , y ∈ R
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 8 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Probabilidade condicionada
P(X = x |Y = y) = P(X = x ,Y = y)
P(Y = y)
se P(Y = y) > 0, caso discreto
fX |Y (x) =
fX ,Y (x , y)
fY (y)
se fY (y) > 0, caso contínuo
Independência
Duas v.a. X e Y são independentes sse
P(X = x |Y = y) = P(X = x) ∀x , y ∈ R caso discreto
fX |Y=y (x) = fX (x) ∀x , y ,∈ R caso contínuo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 9 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Esperança condicional dado um evento
Dada uma variável aleatória X e um evento A ∈ F tal que P(A) > 0, a esperança condicional de
X dado A é definida por
E(X |A) = 1
P(A)
∫
A
X dP
Exemplo
Considere 2 moedas de 20 e 50 cêtimos. Lançam-se as moedas ao ar e somam-se os montantes das
moedas que ficaram com a face voltada para cima. Esse montante é o valor da variável aleatória X .
Seja A o evento de uma (e uma só) moeda ficar com a face voltada para cima. Calcule E(X |A).
Note-se que A = {EF ,FE} (E simboliza escudo e F face). Então X (EF ) = 50 e X (FE) = 20.
Note-se ainda que P(A) = 1/2 + 1/2 e P(X = 50) = P(X = 20) = 1/2. Logo
E(X |A) = 1
1/2
(
50× 1
4
+ 20× 1
4
)
= 35
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 10 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Esperança condicional: caso discreto
Seja Y uma v.a. tal que Y (Ω) = {y1, y2, . . .} e que P(Y = yn) > 0. Pretendemos condicionar
uma v.a. X dado a v.a. Y . Como não sabemos a priori quald os eventos An = {Y = yn} pode
ocorrer, é necessário considerar todas as esperanças condicionais
E(X |Y = y1),E(X |Y = y2), . . .
Definição
A esperança condicional de X dado Y é a função E(X |Y ) : Ω −→ R tal que
E(X |Y )(ω) = E(X |An) se ω ∈ {Y = yn}
Uma vez que E(X |Y ) é constante nos eventos {Y = yn}, podemos definir de forma análoga a
esperança condicional de X dado Y como
E(X |Y = y) : R −→ R tal que E(X |Y = y) =

E(X |Y = y1), y = y1
E(X |Y = y2), y = y2
...
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 11 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Exemplo (continuação): esperança condicional, caso discreto
Considere-se o exemplo anterior e a v.a. Y que retorna o montante da primeira moeda, de 20
cêntimos, caso esta se encontre de face voltada para cima:
{Y = 0} = {EF ,EE} e {Y = 20} = {FF ,FE}
Logo
E(X |Y = y) =
{
25, y = 0
45, y = 20
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 12 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Esperança condicional: caso discreto
A esperança condicional de X dado Y pode ser expressa usando a função massa de probabilidade
condicionada de X dado Y (se P(Y = y) > 0)E(X |Y = y) =
∑
n
xn PX |Y (xn|y)
onde (relembre-se)
PX |Y (xn|y) = P(X = xn|Y = y) =
P(X = xn,Y = y)
P(Y = y)
Lei da probabilidade total
P(X = x) =
∑
n
PX |Y (x |yn)P(Y = yn)
Lei da probabilidade total para a esperança condicional
Sejam Y e Y duas v.a. discretas. Então, usando a lei da probabilidade total tem-se
E(X ) =
∑
n
E(X |Y = yn)P(Y = yn)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 13 / 30
Noções gerais Relembrar de teoria de probabilidades
Relembrar
Esperança condicional: caso contínuo
Sejam X e Y v.a. contínuas com função densidade de probabilidade fX (x) e fY (y), respetivamente.
A função de densidade de probabilidade condicional de X dado Y é dada por (relembre-se):
fX |Y (x) =
fX ,Y (x , y)
fY (y)
Definição
A esperança condicional de X dado Y é
E(X |Y = y) =
∫ +∞
−∞
x fX |Y (x) dx
Lei da probabilidade total
fX (x) =
∫ +∞
−∞
fX |Y (x) fY (y) dy
Lei da probabilidade total para a esperança condicional
Sejam Y e Y duas v.a. contínuas. Então, usando a lei da probabilidade total tem-se
E(X ) =
∫ +∞
−∞
E(X |Y = yn) fY (y) dy
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 14 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Motivação
Muitas vezes os sistemas que consideramos evoluem no tempo, estando interessados no seu com-
portamento dinâmico. Essa evolução temporal é muitas vezes de natureza aleatória:
o comprimento de uma fila de espera
a temperatura diária
a proporção de estudantes que passa a Estatística ao longo do tempo
o número de sinistros num portfolio ao longo do tempo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 15 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Definição: Processo Estocástico
Dado um espaço de probabilidades (Ω,F ,P) e um conjunto arbitrário T , um processo esto-
cástico é uma função real e finita, X (t, ω), definida em T × Ω, que para cada t fixo, t ∈ T ,
é uma função mensurável de ω ∈ Ω. Simbólicamente,
{X (t, ω); t ∈ T} .
Ou seja
Um processo estocástico {X (t)}t∈T é uma coleção de vairáveis aleatórias Xt : Ω −→ R
indexadas por um parâmetro t ∈ T ⊂ R
Para t fixo, t ∈ T , X (t, ω) é uma v.a., um P.E. é uma família ou um conjunto ordenado de
variáveis aleatórias. Simbologia comum:
{X (t) ; t ∈ T} , {X (t)}t∈T , {Xt ; t ∈ T} , {Xt}t∈T .
{X (t) ; t ≥ 0} , {X (t)}t≥0 , {Xt ; t = 0, 1, · · · } , {Xt}∞t=0 .
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 16 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
T : Conjunto dos índices, do parâmetro ou do tempo
T Discreto: tipicamente T = {0, 1, 2, . . . } ou T = Z. Neste contexto o processo estocástico
escreve-se X1,X2, . . . e diz-se em tempo discreto
T Contínuo: tipicamente T = [0,+∞[ ou T = R. Neste caso o processo estocástico
escreve-se X (t) e diz-se em tempo contínuo
S : Espaço dos estados
Conjunto dos estados do processo estocástico, i.e., conjunto dos valores possíveis de X (t).
S Contável (finito ou infinito). Neste contexto o processo estocástico diz-se discreto
S Contínuo. Neste caso o processo estocástico diz-se contínuo.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 17 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Trajetória
Uma trajectória ou uma realização de um processo estocástico {X (t) t ∈ T} é uma afectação,
a cada t ∈ T , de um valor possível de X (t).
Série temporal
O conjunto formado pelos sucessivos valores de uma trajectória de um processo estocástico refe-
rentes a um período limitado de tempo chama-se série temporal. Quando a trajectória é observada
durante o período T = {1, 2, ..., n} diz-se que se está perante uma sucessão cronológica ou série
temporal
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 18 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Exemplo: Processo de Bernoulli
Seja uma sucessão infinita de provas de Bernoulli, o intervalo de tempo entre cada prova é igual à
unidade, a primeira prova realiza-se no instante 0. T = {0, 1, 2, . . .}, o resultado de cada prova
X (t) =
{
1 se a t + 1− ésima prova é um sucesso
0 se a t + 1− ésima proba é um insucesso
Pr{X (t) = 1} = p; Pr{X (t) = 0} = q = 1− p.
X (t) é uma v.a. de Bernoulli e a sucessão, {X (t); t = 0, 1, 2, . . .} é um processo de Bernoulli.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 19 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Exemplo: Processo Binomial
Observação de um fluxo de impulsos de Bernoulli ("1"ou "0") independentes, nos instantes t =
0, 1, 2, . . .. Pretende-se realizar a contagem do número de impulsos verificados até ao instante de
amostragem t.
Z(t) =
{
1 presença de impulso em t
0 ausência de impulso em t
O resultado da contagem para cada t
X (t) =
t∑
s=0
Z(s) ∼ Binomial(t + 1; p)
A sucessão das v.a. {X (t); t = 0, 1, 2, . . .} é um processo binomial.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 20 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Exemplo: Passeio Aleatório
Seja uma partícula em movimento que ocupando a posição inicial X0, observada nos pontos t =
1, 2, . . .. Em t = 1 sofre um salto Z(1), v.a. com f.d. F (.). Em t = 1 salta para o nível X (0)+Z(1).
Em t = 2 verifica-se novo salto, Z(2), v.a. i.i.d de Z(1) e assim sucessivamente. Depois de t
saltos a posiçãoé
X (t) = X (0) + Z(1) + . . .+ Z(t) = X (t − 1) + Z(t),
Z(t), t = 1, 2, . . . é uma sucessão de v.a. i.i.d.. A partícula realiza um passeio aleatório caracteri-
zado pelo processo {X (t); t = 0, 1, 2, . . .}.
Exemplo: Passeio Aleatório Simples
Caso particular do anterior em que os saltos Z(t) = 1, 0,−1 com probabilidades p, 1− p − q e q
respectivamente, p + q ≤ 1.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 21 / 30
Noções gerais Noções gerais
Noções gerais
Exemplo: Passeio Aleatório Simétrico
Considere a sucessão {Xn}n>1 de variáveis aleatórias e identicamente distribuídas (iid), com distri-
buição
P(Xn = −1) = P(Xn = 1) = 1
2
Seja
Sn = X1 + · · ·+ Xn
O processo estocástico S = {Sn : n ∈ N} é um passeio aleatório simétrico. A variável aleatória Sn
pode ser interpretada como o deslocamento até ao instante n:
Sn = Sn−1 + Xn
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 22 / 30
Noções gerais Especificação
Especificação
De ordem 1: X (t) ∼ FX (t)(x ; t)
De ordem n:
Especificação
Para um conjunto arbitrário, mas finito, de valores de t ∈ T , t1, t2, . . . , tn, as correspondentes
variáveis aleatórias, X (t1),X (t2), . . . ,X (tn), possuem função de distribuição conjunta,
F (x1, x2, . . . , xn ; t1, t2, . . . , tn) (1)
Esta função especifica completamente o processo estocástico.
Definição: lei temporal ou lei de probabilidade
A lei temporal associada com o processo {X (t); t ∈ T}, é a família constituida pelas funções
(1) para n = 1, 2, . . . e todos os possíveis valores tj , j = 1, 2, . . . , n.
Assim, lei de probabilidade do processo estocástico é dada por todas as distribuições de
probabilidade conjuntas de um número finito de variáveis aleatórias (X (t1), . . . ,X (tn))
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 23 / 30
Noções gerais Especificação
Especificação
PE identicamente distribuídos
Dois processos estocásticos (PE) X = {Xt : t ∈ T} e Y = {Yt : t ∈ T} dizem-se identicamente
distrubuídos sse tiverem a mesma lei temporal, i.e., a mesma família de funções de distribuição de
probabilidade conjuntas, ou seja
FX (t1),X (t2),...,X (tn) = FY (t1),Y (t2),...,Y (tn)
para todo o conjunto finito de índices t1, . . . , tn ∈ T .
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 24 / 30
Noções gerais Classificação
Classificação
Os processos estocásticos sãodistinguidos por:
Conjunto de índices
Espaço de estados
Relações de dependência entre as v.a. X (t)
Definição
Processo estocástico em tempo discreto: T é contável
Processo estocástico em tempo contínuo: T é contínuo
Definição
Processo estocástico discreto: S é contável
Processo estocástico contínuo: S é contínuo
Podemos ter processos de tipo misto, ex:
Exemplo
Processo em tempo contínuo com mudança em instantes discretos: Sistema de pensões com
opção de reforma entre as idades de 60-65 anos
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 25 / 30
Noções gerais Classificação
Classificação
Quanto às relações de dependência entre as v.a. X (t):
Processos estacionários
Estationaridade estrita:
(Xt1 , . . . ,Xtn )
d
=
(
Xh+t1 , . . . ,Xh+tn
)
para todo h, e todo o t1, t2, . . . , tn ∈ T e todo o inteiro n.
Estacionaridade fraca: E [Xt ] constante ∀t e Cov [Xt ;Xt + k] depende apenas de k.
Processos com incrementos estacionários
O processo estocástico (PE) {X (t) : t ∈ T} tem incrementos estacionários quando a v.a. X (t2 +
h)− X (t1 + h) tem a mesma distribuição de X (t2)− X (t1), para todo t1 , t2 e h > 0
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 26 / 30
Noções gerais Classificação
Classificação
Processos com incrementos independentes
∀t e u > 0, o incremento (Xt+u − Xt) é independente de {Xs , 0 ≤ s ≤ t}.
Ou seja: ∀t0 < t1 < · · · < tn < t as v.a
X (t1)− X (t0),X (t2)− X (t1), . . . ,X (tn)− X (tn−1)
são independentes.
Num processo com incrementos independentes, a lei de probabilidade para X (t) e
X (t)− X (s), para todo t e s, especifica o processo.
Processos com incrementos estatcionários e independentes
Neste caso o processo é completamente especificado pela lei de probabilidade de X (t).
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 27 / 30
Noções gerais Classificação
Classificação
Processo de Markov
Verifica a Propriedade de Markov:
Pr [a < Xt 6 b|X (t1) = x1,X (t2) = x2 . . . ,X (tn) = xn] = Pr [a < Xt 6 b|X (tn) = xn]
para ∀t1 < t2 <, . . . , < tn < t, e todo o a, b.
Ou, mais simples
Pr [Xt ≤ x |Fs ] = Pr [Xt ∈ A|Xs ]
onde Ft : Ft ⊂ Fu , t ≤ u é uma Filtração.
Se S é discreto (probabilidade de transição):
Pr [Xt = a|Xs1 = xs1 , . . . ,Xsn = xsn ,Xs = x] = Pr [Xt = a|Xs = x]
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 28 / 30
Noções gerais Exemplos de Processos Estocásticos
Exemplos de Processos Estocásticos
Processo de contagem
Processo estocástico, em tempo discreto ou contínuo, com o espaço de estados é S = {0, 1, 2, . . .}
e com a propriedade
X (t) é função não decrescente de t
Processo de Poisson
{Nt ; t ≥ 0}. Processo de Contagem, com X (0) = 0, e com Incrementos independentes, estacio-
nários, e Propriedade de Markov, tal que
P(X (t) = k) =
e−λt(λt)k
k!
, k = 0, 1, 2, 3, . . .
Processo de Poisson Composto
Xt =
Nt∑
j=1
Yj
com {Nt ; t ≥ 0} Processo de Poisson e {Yi}∞i=1 sequência de v.a.’s i.i.d. e independente de {Nt}.
Aplicação em Teoria do Risco.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 29 / 30
Noções gerais Exemplos de Processos Estocásticos
Exemplos de Processos Estocásticos
Ruído Branco
Processo constituído por uma sequência de v.a.’s independentes: {Xi}∞i=1.
Não tem (necessáriamente) incrementos independentes; A propriedade de Markov é trivial; Se forem
i.i.d. o processo é estacionário.
Passeio aleatório
{Xn; n = 1, 2, . . . } com
Xn =
n∑
i=1
Yi
e {Yi}∞i=1 uma sequência de v.a.’s i.i.d.
Se Yi = −1; +1 temos um Passeio Aleatório Simples.
Movimento Browniano
{Xt ; t ≥ 0}, S e T contínuos. Incrementos independentes, estacionários, e Propriedade de Markov.
Aplicações em Finanças, Ciências Atuariais.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 30 / 30
	Noções gerais
	Relembrar de teoria de probabilidades
	Noções gerais
	Especificação
	Classificação
	Exemplos de Processos Estocásticos