PE Maputo2017 10

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Processos Estocásticos
Mestrado em Ciências Actuariais
Alexandra Bugalho de Moura
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Agosto 2017
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 1 / 16
Outline
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1 Movimento Browniano. Espaço estados contínuo
Definições básicas
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 2 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Movimento Browniano
O movimento Browniano é o movimento de partículas num fluido ou gás,
por consequência da colisão das moléculas do fluido nas partículas. O seu
nome deve-se a Robert Brown, botânico e físico do século XIX, que
observou pela primeira vez o fenómeno do movimento de grãos de pollen
em plantas.
No início do século XX Einstein publicou a análise teórica do movimento
Browniano.
Em matemática é designado por processo de Wiener em honra de Norbert
Wiener.
Maria de Lourdes Centeno (ISEG) Movimento Browniano 21 de Maio de 2014 2 / 40
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 3 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Movimento Browniano
O movimento Browniano com coeficiente de difusão σ2 > 0 é um processo estocástico
{B(t)}t>0, com B(0) = 0, tal que
B(t) tem incrementos independentes:
B(t1)−B(t0), . . . ,B(tn)−B(tn−1) são independentes para 0 = t0 < t1 < · · · < tn
B(t + s)− B(s) ∼ Normal(0, σ2 t)
t → B(t) é contínua
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 4 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Martingala
Uma martingala é um processo estocástico em que o valor esperado do próximo valor na sequência
é igual ao valor presente observado, mesmo sabendo todos os outros anteriores:
{X (t)}t>0 tal que E(X (t)|X (r1),X (r2), . . . ,X (rn),X (s)) = X (s)
Movimento Browniano
O movimento Browniano {B(t)}t>0 é uma martingala:
E(B(t)|B(r1),B(r2), . . . ,B(rn),B(s)) = B(s)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 5 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Trajectória do Movimento Browniano
Figura: Trajectória do movimento Browniano
Maria de Lourdes Centeno (ISEG) Movimento Browniano 21 de Maio de 2014 5 / 40
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 6 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Movimento Browniano Standard
σ = 1
Tem-se
Se {B(t)}t>0 é movimento Browniano standard, então
{σB(t)}t>0
é movimento Browniano com coeficiente de difusão σ2.
Logo, basta estudar o movimento Browniano standard
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 7 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Algumas propriedades
1)
P(B(t + s) 6 y |B(s) = x) = Φ
(
y − x
σ
√
t
)
2) Supondo 0 6 s < t
Cov(B(s),B(t)) = σ2s
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 8 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano ou Processo de Wiener
Princípio da reflexão
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 9 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano com deriva
Movimento Browniano com deriva
seja {B(t)}t> um movimento Browniano standard
sejam µ e σ > 0 fixos
Então, o movimento Browniano com parâmetro de deriva µ e coeficiente de difusão σ2 é o processo
{W (t)}t>0 tal que
W (t) = µt + σB(t)
Tem-se
P(W (t) 6 y |W (0) = x) = Φ
(
y − x − µt
σ
√
t
)
Neste processo não se pode aplicar o princípio da reflexão, porque o movimento não é
simétrico em relação à origem.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 10 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano com deriva
Movimento Browniano com deriva
Seja
Tab = min{t > 0 : W (t) = a W (t) = b}
Para o movimento Browniano com parâmetros µ e σ2, tem-se
u(x) = P(W (Tab) = b|W (0) = x) =
e−2µx/σ
2 − e−2µa/σ2
e−2µb/σ2 − e−2µa/σ2
Se a < x < b, então
E(Tab|W (0) = x) =
1
µ
[u(x)(b − a)− (x − a)]
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 11 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano
Exemplo
Suponha que o preço de um ativo financeiro é bem descrito por um movimento Browniano
com deriva µ = 0.1 e coeficiente de difusão σ2 = 4.
Um acionista compra uma unidade ao preço de 100 u.m. e irá vendê-la se
o preço atingir o valor 110 u.m ou
o preço descer para 95 u.m.
Qual é a probabilidade de que venda a ganhar?
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 12 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano geométrico
Movimento Browniano geométrico
Um processo estocástico {X (t)}t>0 é designado por movimento Browniano geométrico com deriva
α se
{Y (t)}t>0 com Y (t) = logX (t) é um movimento Browniano com deriva µ = α−
σ2
2
De modo equivalente, {X (t)}t>0 é um movimento Browniano geométrico, começando em X (0),
se
X (t) = X (0)eY (t) = X (0)e(α−
1
2σ
2)t+σB(t)
onde {B(t)}t>0 é um movimento Browniano standard, com B(0) = 0.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 13 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano geométrico
Movimento Browniano geométrico
O movimento Brwoniano geométrico é utilizado na modelação dos preços dos ativos,
transacionados num mercado perfeito (eficiente)
Sendo t0 < t1 < t2 < · · · < tn, os rácios sucessivos:
X (t1)
X (t0)
,
X (t2)
X (t1)
, . . . ,
X (tn)
X (tn−1)
são v.a. independentes
Ou seja, as variações percentuais de intervalos disjuntos são independentes
Movimento Browniano geométrico
Tem-se
E(X (t)|X (0)) = X (0) eα t e E(X 2(t)|X (0))= X 2(0)e2(α+ 12σ2) t
Logo
Var(X (t)|X (0)) = X 2(0)e2αt
(
eσ
2t − 1
)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 14 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano geométrico
Movimento Browniano geométrico
Dado A < 1 < B, seja
T = min
{
t >: X (t)
X (0)
= A ou
X (t)
X (0)
= B
}
Então
P
(
X (T )
X (0)
= B
)
=
1− A1−2 ασ2
B
1−2 α
σ2 − A1−2 ασ2
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 15 / 16
Movimento Browniano. Espaço estados contínuo Definições básicas
Movimento Browniano geométrico
Exemplo
Suponha que o preço de um ativo é bem descrito por um movimento Browniano geométrico
com deriva α = 1/10 e coeficiente de difusão σ2 = 4.
Um especulador compra ao preço de 100 $ e vende se o preço
subir a $ 110
descer a $ 95
Qual a probabilidade de vender em lucro?
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 16 / 16
	Movimento Browniano. Espaço estados contínuo
	Definições básicas