DOCENCIA E MATEMÁTICA E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS

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BIBLIOTECA PARA O CURSO DE DOCÊNCIA EM MATEMÁTICA E 
PRÁTICAS PEDAGÓGICAS 
 
Selecionamos para você uma série de artigos, livros e endereços na Internet 
onde poderão ser realizadas consultas e encontradas as referências necessárias 
para a realização de seus trabalhos científicos, bem como, uma lista de sugestões 
de temas para futuras pesquisas na área. 
Primeiramente, relacionamos sites de primeira ordem, como: 
www.scielo.br 
www.anped.org.br 
www.dominiopublico.gov.br 
 
SUGESTÕES DE TEMAS 
1. DOCÊNCIA EM MATEMÁTICA E PRÁTICAS PEDAGÓGICAS 
2. O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE 
PROFESSORES 
3. MATEMÁTICA: CONTEÚDOS E MÉTODOS 
4. O CONHECIMENTO MATEMÁTICO; 
5. CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA DE MATEMÁTICA; 
6. A MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL; 
7. OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL; 
8. AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA; 
9. OBJETIVOS GERAIS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL; 
10. SELECIONANDO OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO ENSINO 
FUNDAMENTAL; 
11. MATEMÁTICA PARA O PRIMEIRO CICLO; 
12. RECURSOS DE ENSINO; 
13. CONTEÚDOS, CONCEITOS E PROCEDIMENTOS: NÚMEROS NATURAIS 
E NUMERAÇÃO DECIMAL; 
14. MATEMÁTICA PARA O SEGUNDO CICLO; 
15. CONCEITOS, CONTEÚDOS E PROCEDIMENTOS: NÚMEROS NATURAIS, 
NUMERAÇÃO DECIMAL E NÚMEROS RACIONAIS; 
16. AVALIAÇÃO (SEGUNDO CICLO); 
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17. RECOMENDAÇÕES DIDÁTICAS. 
18. CURRÍCULOS E PROGRAMAS 
19. OS FUNDAMENTOS DO CURRÍCULO; 
20. CURRÍCULO, HISTÓRICO E A ABORDAGEM SOCIAL; 
21. AS PERSPECTIVAS E ELABORAÇÃO DO PROCESSO CURRICULAR 
PAUTADO NOS PROGRAMAS EDUCACIONAIS; 
22. O PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DO CURRÍCULO; 
23. OBJETIVOS E PROPÓSITOS PARA O CURRÍCULO: UMA DISCUSSÃO 
NECESSÁRIA. 
24. PRÁTICAS PEDAGÓGICAS EM GERAL 
25. DA ESCOLA À AULA; 
26. ESCOLA COMO LÓCUS DA PRÁXIS PEDAGÓGICA; 
27. A AULA – ESPAÇO DE CONHECIMENTO, LUGAR DE CULTURA; 
28. COMEÇO DE CONVERSA – A FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR; 
29. SABERES NECESSÁRIOS PARA A PRÁTICA DOCENTE; 
30. O PROFESSOR ENQUANTO SUJEITO DO CONHECIMENTO; 
31. AS COMPETÊNCIAS PARA ENSINAR NO SÉCULO XXI; 
32. CONCEPÇÕES TEÓRICO-EPISTEMOLÓGICAS: UMA BREVE REVISÃO; 
33. OS PARÂMETROS E AS ORIENTAÇÕES CURRICULARES NACIONAIS 
(PCN E OCN); 
34. OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN) PARA O ENSINO 
FUNDAMENTAL; 
35. AS ORIENTAÇÕES CURRICULARES NACIONAIS (OCN) PARA O ENSINO 
MÉDIO; 
36. INTERDISCIPLINARIDADE E OS PROJETOS DE TRABALHO; 
37. O CURRÍCULO; 
38. A INTERDISCIPLINARIDADE; 
39. A PEDAGOGIA DE PROJETOS; 
40. A PEDAGOGIA DE PROJETOS – FOCO NO ENSINO MÉDIO; 
41. A AULA EXPOSITIVA; 
42. A AULA EXPOSITIVA TRADICIONAL; 
43. A AULA EXPOSITIVA DIALÓGICA; 
44. O ESTUDO DIRIGIDO; 
45. OBJETIVOS DO ESTUDO DIRIGIDO; 
46. COMO PREPARAR O ESTUDO DIRIGIDO; 
47. APLICAÇÃO DO ESTUDO DIRIGIDO; 
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48. O SEMINÁRIO; 
49. ETIMOLOGIA DO SEMINÁRIO; 
50. CARACTERÍSTICAS GERAIS DO SEMINÁRIO. 
51. PRÁTICAS PEDAGÓGICAS DE MATEMÁTICA 
52. TEORIAS DE APRENDIZAGEM E TENDÊNCIAS DE ENSINO DE 
MATEMÁTICA; 
53. CONCEITOS E METODOLOGIAS APLICADAS AO ENSINO DE 
MATEMÁTICA; 
54. O PLANEJAMENTO DE AÇÕES PEDAGÓGICAS E A ANÁLISE DE LIVROS 
DIDÁTICOS; 
55. DIFERENCIANDO A PARTE BUROCRÁTICA DA PARTE PEDAGÓGICA NO 
ÂMBITO INSTITUCIONAL. 
56. CÁLCULO NUMÉRICO 
57. ERROS; 
58. ZEROS DE FUNÇÕES; 
59. SISTEMAS LINEARES. 
60. ANÁLISE REAL 
61. A DESCRIÇÃO FORMAL DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS E 
CONJUNTOS ESPECIAIS; 
62. CONCEITOS E INFORMAÇÕES IMPORTANTES ACERCA DE 
DEMONSTRAÇÕES; 
63. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS VIA OS AXIOMAS DE PEANO; 
64. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS: COMO DEFINIR FORMALMENTE OS 
MESMOS?; 
65. CONJUNTO ENUMERÁVEL: O QUE É?; 
66. O PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF); 
67. RESUMO DA UNIDADE E DIRETRIZES PARA A PRÓXIMA UNIDADE; 
68. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS COMO UM CORPO ORDENADO 
COMPLETO; 
69. OBJETIVOS DA UNIDADE; 
70. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É UM CORPO; 
71. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É UM CORPO ORDENADO; 
72. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É UM CORPO ORDENADO 
COMPLETO; 
73. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS; 
74. OBJETIVOS DA UNIDADE; 
75. O QUE É UMA SEQUÊNCIA OU SUCESSÃO NUMÉRICA?; 
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76. OPERANDO COM LIMITES DE SEQUÊNCIAS; 
77. SÉRIES CONVERGENTES: O QUE SÃO?; 
78. SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES; 
79. TESTES DE CONVERGÊNCIA; 
80. MATEMÁTICA ELEMENTAR 
81. CONJUNTOS; 
82. CONJUNTOS NUMÉRICOS; 
83. RELAÇÕES; 
84. FUNÇÕES. 
85. GEOMETRIA ESPACIAL E ANALÍTICA 
86. INTRODUÇÃO GEOMETRIA ESPACIAL; 
87. NOTAS HISTÓRICAS E CONCEITOS FUNDAMENTAIS; 
88. DIEDROS, TRIEDROS E POLIEDROS; 
89. PRISMA, CILINDRO, PIRÂMIDE, CONE E ESFERA; 
90. INTRODUÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA; 
91. VETORES E OPERAÇÕES COM VETORES; 
92. RETAS E PLANOS. 
93. TRIGONOMETRIA 
94. INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA; 
95. A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO; 
96. A TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA; 
97. FUNÇÕES CIRCULARES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. 
98. MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: contribuições para o debate 
teórico 
 
99. CONCEPÇÕES DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA E PROCESSOS 
DE FORMAÇÃO 
 
100. FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA 
 
101. DIDÁTICA DA MATEMÁTICA 
 
102. IDENTIFICAÇÃO DE PROBLEMAS DO CURRÍCULO, DO ENSINO E DA 
APRENDIZAGEM DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA 
 
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103. A PROBABILIDADE EA ESTATÍSTICA NO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA 
DO ENSINO FUNDAMENTAL BRASILEIRO 
 
104. O ENSINO DA MATEMÁTICA EM PORTUGAL: uma prioridade educativa? 
 
105. POR QUE MUDAR O ENSINO DE MATEMÁTICA 
 
106. LUDICIDADE E O ENSINO DE MATEMATICA 
 
107. A AVALIAÇÃO EM DOCUMENTOS ORIENTADORES PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA: uma análise sucinta 
 
108. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: DA TEORIA À PRÁTICA 
 
109. HISTÓRIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: propostas e desafios 
 
110. INVESTIGAR A NOSSA PRÓPRIA PRÁTICA 
 
111. MATEMÁTICA DE TODOS OS NÍVEIS DE ENSINO E FORMADORES DE 
PROFESSORES 
 
112. ENSINO DA MATEMÁTICA OU EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
113. DA REALIDADE À AÇÃO: reflexões sobre educação e matemática 
 
114. UM INSTRUMENTO PARA AVALIAÇÃO DA QUALIDADE DE SOFTWARES 
EDUCACIONAIS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 
 
115. A MATEMÁTICA NAS ESCOLAS 
 
116. A WEBQUEST NO ENSINO DA MATEMÁTICA: aprendizagem e reacções 
dos alunos do 8º ano de escolaridade 
 
117. O SOFTWARE EDUCACIONAL EA PSICOPEDAGOGIA NO ENSINO DE 
MATEMÁTICA DIRECIONADO AO ENSINO FUNDAMENTAL 
 
118. MODELAGEM NO ENSINO: aprendizagem de física e os novos parâmetros 
curriculares nacionais para o ensino médio 
 
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119. O QUE HÁ DE CONCRETO NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
120. INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PERCURSOS TEÓRICOS 
E METODOLÓGICOS 
 
121. MODELAGEM MATEMÁTICA E OS FUTUROS PROFESSORES 
 
122. MODELAÇÃO E APLICAÇÕES NO ENSINO DA MATEMÁTICA: situações e 
problemas 
 
123. A MATEMÁTICA EOS TEMAS TRANSVERSAIS 
 
124. ENSINO-APRENDIZAGEM COM MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
125. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA 
 
126. DIDÁTICA DA MATEMÁTICA: uma análise da influência francesa 
 
127. A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO 
 
 
128. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NA SALA DE AULA 
 
129. CRITÉRIOS NORTEADORES PARA A ADOÇÃO DA MODELAGEM 
MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL E SECUNDÁRIO 
 
130. COMO ENSINAR MATEMÁTICA HOJE 
 
131. AVALIAÇÃO E PERSPECTIVAS DA ÁREA DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
NO BRASIL 
 
132. O ENSINO POR MEIO DE PROBLEMAS 
 
133. A INVESTIGAÇÃO SOBRE O PROFESSOR DE MATEMÁTICA: problemas e 
perspectivas 
 
134. MODELAGEM MATEMÁTICA E OS PROFESSORES: a questão da formação 
 
135. EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO OU COPIAÇÃO NOS MANUAIS DE 
ENSINO DE LÍNGUA? 
 
136. A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO E 
APRENDIZAGEM DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NOS 
CURSOS SUPERIORES DE TECNOLOGIA 
 
137. A PRÁTICA LETIVA COMO ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: 
um estudo de professoras do ensino secundário 
 
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138. O JOGO E SUAS POSSIBILIDADES METODOLÓGICAS NO PROCESSO 
ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
 
139. A ESTATÍSTICA E A PROBABILIDADE ATRAVÉS DAS ATIVIDADES 
PROPOSTAS EM ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS BRASILEIROS 
RECOMENDADOS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 
 
140. A VERTENTE PROFISSIONAL DA FORMAÇÃO INICIAL DE 
PROFESSORES DE MATEMÁTICA 
 
141. PERCEPÇÕES DE ALUNOS DA LICENCIATURA EM ENSINO DE 
MATEMÁTICA SOBRE A ELABORAÇÃO DE WEBQUESTS 
 
142. O CURRÍCULO DE MATEMÁTICA E AS ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO 
 
143. REFLEXÃO, CONHECIMENTO E PRÁTICAS LETIVAS EM MATEMÁTICA 
NUM CONTEXTO DE REFORMA CURRICULAR 
 
144. A INTERNET NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁRICA 
 
145. O CURRÍCULO DE MATEMÁTICA E AS ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO 
 
146. MATEMÁTICA, CURRÍCULO E APRENDIZAGEM 
 
147. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PARA TODOS 
 
148. A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA 
 
149. ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO NO ATUAL CURRÍCULO DE 
MATEMÁTICA: possibilidades e obstáculos 
 
150. A CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS 
 
151. A AQUISIÇÃO DE CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS DE DIVERSOS 
TIPOS E A PROFICIÊNCIA EM CERTAS ROTINAS BÁSICAS DECORREM 
DA EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA DOS ALUNOS. 
 
152. EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA E ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO 
 
153. UM CURRÍCULO ORGANIZADO EM TORNO DE IDÉIAS PODEROSAS OU 
PROCESSOS CARACTERÍSTICOS DA MATEMÁTICA 
 
154. INOVAÇÃO CURRICULAR EM MATEMÁTICA 
 
155. INVESTIGAÇÕES, RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E PEDAGOGIA 
 
156. INVESTIGAR PARA APRENDER MATEMÁTICA 
 
157. A EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA 
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158. O PODER DA MATEMÁTICA 
 
159. HÁBITOS DE PENSAMENTO: um princípio organizador para o currículo de 
matemática 
 
160. EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA 
 
161. REAJUSTAMENTO DO PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO 
SECUNDÁRIO 
ARTIGOS PARA LEITURA, ANÁLISE E UTILIZAÇÃO COMO FONTE 
OU REFERÊNCIA 
________________________________________________________ 
O DRAMA DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
Suely Druck 
 A qualidade do ensino da matemática — assunto da reportagem de capa do último 
Sinapse — atingiu, talvez, o seu mais baixo nível na história educacional do país. 
As avaliações não poderiam ser piores. No Provão, a média em matemática tem sido 
a mais baixa entre todas as áreas. O último Saeb (Sistema Nacional de Avaliação da 
Educação Básica) mostra que apenas 6% dos alunos têm o nível desejado em 
matemática. E a comparação internacional é alarmante. No Pisa (Program for 
International Student Assessment) de 2001, ficamos em último lugar. 
 Resultados tão desastrosos mostram muito mais do que a má formação de uma 
geração de professores e estudantes: evidenciam o pouco valor dado ao 
conhecimento matemático e a ignorância em que se encontra a esmagadora maioria 
da população no que tange à matemática. Não é por acaso que o Brasil conta com 
enormes contingentes de pessoas privadas de cidadania por não entenderem fatos 
simples do seu próprio cotidiano, como juros, gráficos, etc. — os analfabetos 
numéricos —, conforme atesta o recente relatório Inaf sobre o analfabetismo 
matemático de nossa população. 
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Diante dessa situação, encontramos o discurso —tão frequente quanto simplista— 
de que falta boa didática aos professores de matemática. Todavia, pouco se 
menciona que o conhecimento do conteúdo a ser transmitido precede qualquer 
discussão acerca da metodologia de ensino. 
Abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico 
é um erro grave. É necessário encarar primordialmente as deficiências de conteúdo 
dos que lecionam matemática. É preciso entender as motivações dos que procuram 
licenciatura em matemática, a formação que a licenciatura lhes propicia e as 
condições de trabalho com que se deparam. 
A enorme demanda por professores de matemática estimulou a proliferação de 
licenciaturas. Nas faculdades, há muita vaga e pouca qualidade, o que transforma as 
licenciaturas em cursos atraentes para os que desejam um diploma qualquer. 
Produz-se, assim, um grande contingente de docentes mal formados ou 
desmotivados. Esse grupo atua também no ensino superior, sobretudo nas 
licenciaturas, criando um perverso círculo vicioso. 
É verdade que, nas boas universidades, temos excelentes alunos nas graduações 
de matemática. Porém, eles formam um grupo tão pequeno que pouco influenciam 
as tristes estatísticas. Predomina uma enorme evasão dos cursos, uma vez que a 
maioria não enfrenta as dificuldades naturais dos bons cursos. 
Nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil a política da supervalorização de 
métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo matemático na formação dos 
professores. Comprovamos, agora, os efeitos danosos dessa política sobre boa 
parte dos nossos professores. Sem entender o conteúdo do que lecionam, procuram 
facilitar o aprendizado utilizando técnicas pedagógicas e modismos de mérito 
questionável. 
A pedagogia é ferramenta importante para auxiliar o professor, principalmente 
aqueles que ensinam para crianças. O professor só pode ajudar o aluno no processo 
de aprendizagem se puder oferecer pontos de vista distintos sobre um mesmo 
assunto, suas relações com outros conteúdos já tratados e suas possíveis 
aplicações. Isso só é possível se o professor tiver um bom domínio do conteúdo a 
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ser ensinado. A preocupação exagerada com as técnicas de ensino na formação 
dos professores afastou-os da comunidade matemática. 
Além disso, eles se deparam com a exigência da moda: a contextualização. Se 
muitos de nossos professores não possuem o conhecimento matemático necessário 
para discernir o que existe de matemática interessante em determinadas situações 
concretas, aqueles que lhes cobram a contextualização possuem menos ainda. 
Forma-se, então, o pano de fundo propício ao surgimento de inacreditáveis 
tentativas didático-pedagógicas de construir modelos matemáticos para o que não 
pode ser assim modelado. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do MEC são erradamente interpretados como 
se a matemática só pudesse ser tratada no âmbito de situações concretas do dia-a-
dia, reduzindo-a auma sequência desconexa de exemplos o mais das vezes 
inadequados. Um professor de ensino médio relatou que, em sua escola, existe a 
"matemática junina", enquanto outro contou ter sido obrigado a dar contexto 
matemático a trechos de um poema religioso. Certamente, esses não são exemplos 
de uma contextualização criativa e inteligente que pode, em muito, ajudar nossos 
alunos. Lamentavelmente, esses tipos de exemplo proliferam em nossas escolas. 
O bom treinamento em matemática é efetuado, necessariamente, com ênfase no 
argumento lógico, oposto ao autoritário, na distinção de casos, na crítica dos 
resultados obtidos em comparação com os dados iniciais do problema e no 
constante direcionamento para o pensamento independente. Esses hábitos são 
indispensáveis em qualquer área do conhecimento e permitem a formação de 
profissionais criativos e autoconfiantes —e a matemática é um campo ideal para o 
seu exercício. 
O Brasil tem condições de mudar o quadro lastimável em que se encontra o ensino 
da matemática. Com satisfação, notamos um movimento importante de nossos 
professores em busca de aperfeiçoamento. Muitos estão conscientes dos problemas 
de sua formação e dos reflexos que ela tem dentro da sala de aula. Há uma enorme 
massa de professores que querem ser treinados em conteúdo. O desafio é atingir o 
maior número de professores no menor espaço de tempo. 
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Não é verdade que nossas crianças odeiam matemática, conforme prova a 
participação voluntária de 150 mil jovens e crianças nas Olimpíadas Brasileiras de 
Matemática de 2002. Muitos mais eles poderiam ser, se os recursos fossem mais 
abundantes, como é o caso da Argentina, onde 1 milhão participam das Olimpíadas 
Argentinas de Matemática. 
Iniciativas bem-sucedidas existem e apontam caminhos a seguir. Esse é o caso do 
fantástico programa de matemática coordenado pelo professor Valdenberg Araújo 
da Silva no interior de Sergipe, que tem levado crianças oriundas de famílias de 
baixíssima renda a conquistas importantes, como aprovação no vestibular, 
participação nas olimpíadas e até mesmo início do mestrado em matemática de 
jovens entre 15 e 17 anos. 
Se medidas urgentes não forem tomadas, a situação tenderá a se agravar: há 
décadas estamos construindo uma sociedade de indivíduos que, ignorando o que é 
matemática, se mostram incapazes de cobrar das escolas o seu ensino correto ou 
mesmo apenas constatar as deficiências mais elementares nesse ensino. 
Suely Druck é presidente da Sociedade Brasileira de Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OS PROBLEMAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
Romulo Lins 
 
No último Sinapse, foi publicado o artigo "O drama do ensino da matemática", de 
Suely Druck. Neste artigo, contesto a posição defendida por Druck. 
Dizer, como Druck o fez, que "nos últimos 30 anos, implementou-se no Brasil uma 
política de supervalorização de métodos pedagógicos em detrimento do conteúdo 
matemático na formação de professores" é um erro sério e que só pode ter origem 
no desconhecimento de certos fatos importantes. 
 Primeiro, o modelo de licenciatura que adotamos hoje, o 3+1 (três anos de cursos 
de conteúdo matemático contra um ano de cursos de conteúdo pedagógico), é 
praticamente o mesmo que tínhamos na década de 60, e não é nada sensato dizer 
que esse modelo favoreça alguma "supervalorização de métodos pedagógicos em 
detrimento do conteúdo matemático na formação de professores". 
 Segundo, o que aconteceu nos últimos 30 anos não foi um modismo didaticista ou 
pedagogista, e sim uma profunda mudança no entendimento que se tem dos 
processos do pensamento humano, incluindo-se aí o desenvolvimento intelectual e 
os processos de aprendizagem. Foi a partir disso que se deu um gradual desgaste 
do modelo "conteúdo matemático bem sabido mais boa didática". Mas esse 
processo não aconteceu "em detrimento do conteúdo matemático", e sim na direção 
de uma reconceitualização das práticas de sala de aula e, conseqüentemente, da 
formação de professores e professoras. 
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 Na esteira dessa reconceitualização, surgiu o campo de estudo a que chamamos 
educação matemática, ou seja, educação por meio da matemática, e não apenas 
educação para a matemática. 
 No 3+1, os três anos de conteúdo matemático foram e são quase sempre 
apresentados isolados das outras partes da formação, com base justamente no 
pressuposto equivocado de que "o conhecimento do conteúdo a ser ensinado 
precede qualquer discussão a respeito da metodologia de ensino", pressuposto 
defendido por Druck. Hoje, sabe-se que é precisamente nessa separação entre 
matemática e pedagogia que está a raiz de muitas das dificuldades de professores e 
professoras. 
Druck diz, em seu artigo, que "abordar a questão do ensino da matemática somente 
do ponto de vista pedagógico é um erro grave". Mas quem é que defende isso? Eu 
não conheço ninguém que o faça. O que eu conheço, sim, são pessoas que afirmam 
que a questão do ensino da matemática pode ser abordada apenas do ponto vista 
da matemática. A impressão que o artigo de Druck deixa, com as pequenas 
concessões à "pedagogia" soterradas por um feroz —e mal informado— ataque a 
uma suposta ditadura dos métodos pedagógicos, me faz pensar se ela mesma, 
afinal de contas, não acha isso. 
 O desafio para a comunidade da educação matemática é o de oferecer uma 
formação integrada e de acordo com as necessidades reais desses profissionais. E 
há, no Brasil e no exterior, uma grande comunidade trabalhando para criar 
licenciaturas a partir da idéia de integração: nas disciplinas "matemáticas", está 
presente a formação "pedagógica" e, nas disciplinas "pedagógicas", está presente a 
formação "matemática". É assim que acontece na escola —matemática e pedagogia 
não estão nunca separadas—, e é por isso que é assim que a formação de 
professores e professoras deve se dar; "pedagógico", aqui, deve ser entendido como 
bem mais do que "formas de transmitir bem o conteúdo", diferentemente do que 
parece sugerir o artigo de Druck no uso do termo. 
 Nosso próprio trabalho de pesquisa na Unesp-Rio Claro se dirige, desde 1999, a 
responder esse desafio. Outro exemplo é o de um workshop realizado nos Estados 
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Unidos, cujo relatório foi publicado em 2001 com o título "Conhecendo e Aprendendo 
Matemática para Ensinar". Há muitos outros exemplos. 
 O que se precisa enfrentar, primordialmente, não são "as deficiências de conteúdo 
dos que lecionam matemática", como escreveu Druck, e sim o fato de que nosso 
sistema educacional está aprisionado em um limbo cercado, de um lado, por uma 
demanda social pela formação de uma sociedade de cidadãos críticos e, de outro, 
por um sistema escolar que, de alto a baixo, parece se pautar por uma idéia de 
excelência que não se dirige ao conjunto da população e que se sente realizada 
apenas na "participação nas olimpíadas" e "no início do mestrado em matemática de 
jovens entre 15 e 17 anos". Os filhos das elites não sofrem de analfabetismo 
numérico. Seria apenas coincidência que são 6% os alunos com "nível desejado" no 
Saeb (Sistema de Avaliação do Ensino Brasileiro), enquanto 10% dos brasileiros e 
brasileiras controlam 90% das riquezas?Em vez de nos perguntarmos o que de matemática o professor precisa saber, 
devemos nos perguntar, antes, a matemática de quem o professor precisa saber. 
Esse deve ser o ponto de partida na discussão sobre as deficiências de conteúdo de 
professores e professoras, e essa questão só pode ser tratada adequadamente de 
uma perspectiva mais ampla que a da "matemática mais uma boa didática". 
 O verdadeiro drama da educação de professores e professoras de matemática 
começa na manutenção da mentalidade do 3+1 e da formação desarticulada que ele 
oferece, e vejo no artigo de Druck uma clara defesa desse modelo. Onde ela vê uma 
supervalorização de métodos pedagógicos, outros vêem uma supervalorização do 
conteúdo matemático. Eu não vejo nem uma coisa nem outra: vejo professores e 
professoras sem condições de trabalho adequadas e isolados, sem apoio efetivo 
para que possam continuar seu desenvolvimento profissional de forma contínua e 
em resposta a suas próprias perguntas. 
 Penso que são esses os dois verdadeiros problemas que devemos resolver. 
 
 
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15
Romulo Lins é professor do Departamento de Matemática e do programa de pós-
graduação em educação matemática da Unesp-Rio Claro. Foi presidente da 
Sociedade Brasileira de Educação Matemática entre 1995 e 1998. 
 
 
 
 
 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA 
 
 
Sem dúvida que Conceitos Fundamentais da Matemática constituem a obra mais 
divulgada do legado de Bento de Jesus Caraça. Escrita há mais de cinquenta anos, 
esta obra continua a constituir uma referência para aqueles que gostam e estudam 
matemática. 
É curioso notar que a sua primeira edição foi feita pela Biblioteca Cosmos, a qual foi 
fundada e dirigida durante sete anos pelo próprio Jesus Caraça, até 1948. Nessa 
altura, a publicação foi feita em dois volumes, correspondendo o primeiro àquilo que 
o autor designou pelos “(…) conceitos básicos que dizem respeito à noção de 
quantidade” e o segundo ao estudo dos conceitos que “(…) têm por tema as noções 
de lei, da evolução e de classificação.” 
Depois disso, seguiram-se sucessivas edições desta obra, agora já só num único 
livro, organizado segundo três partes. A primeira é sobre Números, a segunda sobre 
Funções e a terceira sobre Continuidade, temas que interessam a todos e integram 
os programas do Ensino Secundário. A mais recente edição é da Editora Gradiva e 
é essa que aqui anunciamos. O prefácio desta edição é de Paulo Almeida que 
reafirma a atualidade e utilidade do livro, destacando igualmente o seu caráter 
cultural: “A leitura dos Conceitos Fundamentais da Matemática informa o leigo e 
recicla o especialista, a ambos interessando, pela originalidade do estilo. Este livro 
não é, pois, apenas uma obra de matemática elementar. É sim um livro que, com o 
pretexto da matemática, visa muito mais longe.” 
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Dos diversos autores, e que muitos foram, que se pronunciaram sobre os Conceitos, 
uma ideia sobressai: esta obra é a tentativa de introduzir em Portugal a lógica 
dialética do pensamento matemático. Só por si, isto justifica que os Conceitos 
representem um marco histórico. 
E, porque nada melhor do que as palavras do autor, deixamos-lhe aqui a transcrição 
de parte do prefácio que escreveu para a 1ª edição da obra, na qual se destaca a 
sua visão sobre a matemática enquanto construção humana. 
 
Duas atitudes em face da Ciência — Prefácio do Autor à 1ª Edição 
A Ciência pode ser encarada sob dois aspectos diferentes. Ou se olha para ela tal 
como vem exposta nos livros de ensino, como coisa criada, e o aspecto é o de um 
todo harmonioso, onde os capítulos se encadeiam em ordem, sem contradições. Ou 
se procura acompanhá-la no seu desenvolvimento progressivo, assistir à maneira 
como foi elaborada, e o aspecto é totalmente diferente — descobrem-se hesitações, 
dúvidas, contradições, que só um trabalho de reflexão e apuramento consegue 
eliminar, para que logo surjam outras hesitações, outras dúvidas, outras 
contradições. 
Descobre-se ainda qualquer coisa mais importante e mais interessante: — no 
primeiro aspecto, a Ciência parece bastar-se a si própria, a formação dos conceitos 
e das teorias parece obedecer só a necessidades interiores; no segundo, pelo 
contrário, vê-se toda a influência que o ambiente da vida social exerce sobre a 
criação da Ciência. 
A Ciência, encarada assim, aparece-nos como um organismo vivo, impregnado de 
condição humana, com as suas forças e as suas fraquezas e subordinado às 
grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação; 
aparece-nos, enfim, como um grande capítulo da vida humana social. 
A atitude que será aqui adotada será esta a atitude que tomaremos aqui. A 
Matemática é geralmente considerada como uma ciência à parte, desligada da 
realidade, vivendo na penumbra do gabinete, um gabinete fechado, onde não 
entram os ruídos do mundo exterior, nem o sol nem os clamores dos homens. Isto, 
só em parte, é verdadeiro. 
Sem dúvida, a Matemática possui problemas próprios, que não têm ligação imediata 
com os outros problemas da vida social. Mas não há dúvida também de que os seus 
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fundamentos mergulham tanto como os de outro qualquer ramo da Ciência, na vida 
real; uns e outros entroncam na mesma madre. 
Mesmo quanto aos seus problemas próprios, raramente acontece, se eles são de 
facto daqueles grandes problemas que põem em jogo a sua essência e o seu 
desenvolvimento, que eles não interessem também, e profundamente, a corrente 
geral das ideias.” 
Lisboa, Junho 1941 
Fátima Guimarães, EB 2,3 Telheiras 
Paula Canavarro, Univ. Évora 
Conceitos Fundamentais da Matemática 
Autor: Bento de Jesus Caraça 
Editora: Gradiva 
 
Leituras 
Educação e Matemática nº 62 • Março/Abril de 2001 O NCTM publicou no ano 
passado, em Abril, uma nova versão dos seus famosos Standards para a 
matemática escolar, agora com o nome de Principles and Standards for School 
Mathematics. Embora notável e útil a muitos títulos, esta obra, tanto nesta como na 
primeira versão1, tem a característica negativa e surpreendente, à primeira vista, de 
ignorar a História da Matemática. Sem querer aqui alongar-me em especulações, eu 
diria que isto é resultado direto de uma visão estreita e utilitária dos objetivos para o 
ensino da matemática, aspecto já presente na versão de 89 e que os atuais 
Principles não alteraram positivamente. Levada a sério esta visão estreita, parece-
me também lógico que a história não seja considerada uma componente necessária 
em educação matemática. 
Mas a posição, por omissão, dos Standards em relação à História da Matemática 
não é partilhada por muitos professores da comunidade americana da educação 
matemática, e a prová-lo está este esplêndido número temático do Mathematics 
Teacher2. Preparado durante um largo período — um anúncio pedindo artigos para 
este número apareceu no início de 1999 —, as contribuições enviadas não 
couberam todas no número temático, e estão a ser publicadas nos números 
subsequentes. 
Os artigos incluídos pertencem a três categorias com objetivos específicos: 
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I. Mostrar as conexões entre a história da matemática e a educação matemática. 
II. Despertar o interesse pela própria história damatemática. 
III. Mostrar, através de exemplos, como pode ser usada a história na aula de 
matemática. 
Vou referir alguns artigos que me chamaram mais a atenção. 
“Who? How? What?: A Strategy for Using History to Teach Mathematics” 
Com este título, Patrícia Wilson e Jennifer Chauvot escrevem um dos mais 
interessantes artigos deste número. As autoras começam por comentar as razões 
normalmente avançadas para o uso da história: 
• a história é uma fonte de problemas interessantes que permitem desenvolver as 
capacidades de resolução de problemas; 
• a história auxilia a compreensão de muitos conceitos, nomeadamente ao explicar a 
origem de certas ideias e procedimentos; 
• a história ajuda a estabelecer conexões, dentro da matemática e com outras 
disciplinas; 
• a história torna os alunos conscientes das relações entre a matemática e a 
sociedade. 
No entanto, a parte mais original do texto surge quando as autoras se referem à 
importância da perspectiva histórica para atingir o objetivo de ajudar os alunos a 
apreciar e a compreender a natureza da matemática. A estratégia proposta no artigo 
é que os professores tentem que os seus alunos pensem e vejam como a história 
responde às três questões seguintes: quem constrói a matemática?; como se 
desenvolve a matemática?; o que é a matemática? A última parte do artigo serve 
para as autoras desenvolverem a seguinte ideia: 
A história dá-nos diferentes respostas a estas questões, dependendo da época, do 
lugar e do contexto que estamos considerando. 
Por outras palavras, a história fornece-nos a história humana da criação da 
matemática. 
 
“A matemática investigando a história” 
Neste artigo, de Donald T. Barry, é apresentado um exemplo concreto e real de 
utilização da história na sala de aula. O autor diz-nos que resolveu apresentar este 
problema aos seus alunos de Matemática do último ano do secundário para eles 
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terem um problema interessante de matemática para resolver depois de terem sido 
submetidos a um teste nacional (o Advanced Placement)... e para simular o 
processo pelo qual se investiga em história da matemática. 
O ponto de partida é totalmente imaginado pelo professor, inspirado certamente na 
história da Plimpton 322, uma tábua de barro babilônica escrita há 3800 anos e cuja 
descoberta do significado por Neugebauer em 1957 parece uma longa investigação 
policial. A história contada aos alunos passa-se na cidade neolítica de Çatal Hüyük, 
no sul da Turquia, há poucos anos. 
Mathematics Teacher: um número temático sobre História 
Mathematics Teacher publicação oficial do National Council of Teachers of 
Mathematics Volume 93 • número 8 Novembro de 2000 
 
Leituras 
Um pastor descobriu uma caverna cheia de tábuas de barro, escritas numa 
linguagem desconhecida, mas que se presume ser a origem das línguas indo-
europeias. Uma das tábuas de barro, encontrada sem uma parte inferior que se 
quebrou, sabe-se que contém informação numérica: O que propôs aos alunos foi 
que decifrassem a tábua, determinando os números que a compõem, e 
reconstruindo a informação numérica que contém. Pediu-lhes também que 
completassem a parte que falta. 
O autor do artigo descreve então três aulas interessantíssimas em que os alunos 
foram a pouco e pouco, por tentativa/erro, respondendo às suas questões. No fim, 
chegaram a uma interpretação “aceitável” envolvendo ternos pitagóricos. Vale a 
pena ler o artigo na íntegra, tanto mais que o autor não deixa tudo resolvido, ainda 
há bastante que pensar e descobrir. 
 
“Kepler e Wiles: modelos de perseverança” 
Entre os artigos destinados a despertar o interesse pela história da matemática, 
sobressai este, em que Paul G. Shotsberger coloca lado a lado os percursos 
científicos de Kepler e Wiles. Começa por referir o livro Fermat´s Enigma (A Solução 
do Último Teorema de Fermat , de Simon Singh, ed. Relógio de Água; ver a secção 
“Leituras” do número 58 de Educação e Matemática). 
Diz Shotsberger: 
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20
Quando estava a ler o livro de Singh, o meu pensamento voltou-se para outras 
figuras da história da matemática que demonstraram o mesmo tipo de persistência, 
por vezes lutando contra as suas próprias convicções acerca do modo como as 
coisas funcionam, mas acabando por ter sucesso e em consequência transformando 
a matemática. 
Kepler trabalhou na descoberta das suas célebres leis sobre as órbitas dos planetas, 
durante 25 anos. Ao longo desse período, as suas idéias foram-se transformando, 
desde 1596, quando ele ainda pensava como Aristóteles que as órbitas dos planetas 
eram circulares e descritas a velocidade constante, até à publicação (em 1609 e em 
1619) da descoberta de que as órbitas eram elípticas, com o Sol num dos focos, e 
descritas a velocidade não constante. 
A evolução do pensamento de Kepler está refletida, diz o autor do artigo, em 
numerosas notas incluídas na segunda edição do Mysterium Cosmographicum, 
publicada ainda em vida de Kepler. Shotsberger refere a franqueza com que, tanto 
Kepler como Andrew Wiles, descrevem as suas lutas prolongadas no caminho para 
a verdade, envolvendo momentos de “frustração, desespero, e exultação”. Um artigo 
a não perder nesta coletânea. 
 
Outros artigos incluídos neste número do MT 
Além destes três artigos, este número do MT ainda inclui mais 11 artigos, dos quais 
destacamos: 
• Sharing Teaching Ideas: A Visit from Pythagoras – Using Costums in the 
Classroom, Lawrence H. Shirley 
Um professor de Matemática disfarça-se de Pitágoras... 
• Mathematics in the Age of Jane Austen: Essential Skills of 1800, S. I. B. Gray 
Quais eram as competências essenciais na época de Jane Austen? 
• The Evolutionary Character of Mathematics, R. M. Davitt 
O desenvolvimento da matemática seguiu em geral o caminho inverso da 
matemática exposta nos manuais. 
• From the Top of the Mountain, D. W. Smith 
Lições tiradas da história dos logaritmos. 
• Felix Klein and the NCTM’s Standards: A Mathematician Considers Mathematics 
Education, K. K. McComas. 
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Sabendo o que pensava Felix Klein sobre educação, podemos imaginar que ele 
aprovaria os Standards do NCTM. 
 
Notas 
1 Existe uma tradução portuguesa: Normas para o Currículo e a Avaliação em 
Matemática Escolar, ed. IIE e APM, 1991. 
2 A revista Mathematics Teacher pode ser consultada na sede da APM. 
Eduardo Veloso eduardoveloso@netcabo.pt 
Leituras complementares 
Outras leituras em história da matemática: 
Relevância da História no Ensino da Matemática. Cadernos do GTHEM/APM, 1997. 
Brevíssima História dos Números Complexos. Paulo Oliveira. Cadernos do 
GTHEM/APM, 2000. 
História e Educação Matemática. Actas do Encontro HEM Braga 96. 2 volumes. Livro 
esgotado que pode ser consultado na sede da APM. 
Using History to Teach Mathematics: An International Perspective. Victor Katz, ed. 
Washington, MAA, 2000. 
Uma recolha cuidada de textos em inglês do Encontro HEM/Braga 96. 
History in Mathematics Education: The ICMI Study. Org. de John Fauvel e Jan van 
Maanen. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONCEPÇÕES DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA E 
PROCESSOS DE FORMAÇÃO1 
 
João Pedro daPonte, Universidade de Lisboa 
 
O interesse pelo estudo das concepções dos professores, tal como aliás pelo estudo 
das concepções de outros profissionais e de outros grupos humanos, baseia-se no 
pressuposto de que existe um substrato conceptual que joga um papel determinante 
no pensamento e na ação. Este substrato é de uma natureza diferente dos conceitos 
específicos – não diz respeito a objetos ou ações bem determinadas, mas antes 
constitui uma forma de os organizar, de ver o mundo, de pensar. Não se reduz aos 
aspectos mais imediatamente observáveis do comportamento e não se revela com 
facilidade – nem aos outros nem a nós mesmos. 
As concepções têm uma natureza essencialmente cognitiva. Atuam como uma 
espécie de filtro. Por um lado, são indispensáveis pois estruturam o sentido que 
damos às coisas. Por outro lado, atuam como elemento bloqueador em relação a 
novas realidades ou a certos problemas, limitando as nossas possibilidades de 
atuação e compreensão. 
As concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como 
resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do 
confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas 
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23
concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos 
habituamos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais 
dominantes. A Matemática é um assunto acerca do qual é difícil não ter concepções. 
É uma ciência muito antiga, que faz parte do conjunto das matérias escolares desde 
há séculos, é ensinada com caráter obrigatório durante largos anos de escolaridade 
e tem sido chamada a um importante papel de seleção social. Possui, por tudo isso, 
uma imagem forte, suscitando medos e admirações. 
A Matemática é geralmente tida como uma disciplina extremamente difícil, que lida 
com objetos e teorias fortemente abstratas, mais ou menos incompreensíveis. Para 
alguns salienta-se o seu aspecto mecânico, inevitavelmente associado ao cálculo. É 
uma ciência usualmente vista como atraindo pessoas com o seu quê de especial. 
Em todos estes aspectos poderá existir uma parte de verdade, mas o fato é que em 
conjunto eles representam uma grosseira simplificação, cujos efeitos se projetam de 
forma intensa (e muito negativa) no processo de ensino-aprendizagem. 
Os professores de Matemática são os responsáveis pela organização das 
experiências de aprendizagem dos alunos. Estão, pois, num lugar chave para 
influenciar as suas concepções. Como vêem eles próprios a Matemática e o modo 
como se aprende Matemática? 
Qual a relação entre as suas concepções e as dos seus alunos? Que sentido faz 
falar de concepções, distinguindo-as de outros elementos do conhecimento, como 
por exemplo, das crenças?2 Qual a relação entre as concepções e as práticas? Qual 
a dinâmica das concepções, ou seja, como é que estas se formam e como é que 
mudam? Qual o papel que nestas mudanças podem ter os processos de formação? 
A discussão destas questões constitui o objetivo deste texto. A produção teórica 
sobre as crenças, os saberes profissionais e as práticas dos professores tem sido 
muito intensa, destacando-se pela sua influência os trabalhos de Shulman (1986) e 
Schön (1983). Igualmente de grande importância é o estudo dos aspectos culturais 
da profissão docente cuja síntese nos é feita por Feiman-Nemser e Floden (1986). 
No que respeita especificamente à educação matemática, são de especial interesse 
os recentes textos de Alba Thompson (1992) e Elisabeth Fennema e Megan Leof 
(1992). Procurarei referir-me a algumas das ideias essenciais destes trabalhos, 
confrontando-as com a teorização e a investigação que se tem vindo a desenvolver 
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em Portugal, tanto no domínio das concepções como no que respeita à formação, e 
lançar um conjunto de perspectivas e interrogações que poderão estimular futuros 
esforços nesta área. 
 
Concepções e saber 
O estudo das concepções dos professores tem de se apoiar necessariamente num 
quadro teórico respeitante à natureza do conhecimento. O que podemos dizer 
acerca do processo de construção dos saberes? Poderemos distinguir tipos diversos 
de conhecimento com diferenças marcadas entre si? Que relações mútuas podemos 
estabelecer entre as concepções e o conhecimento? Infelizmente, no quadro deste 
trabalho não cabe uma discussão muito pormenorizada de todas estas questões. 
Assim, teremos que nos limitar apenas a uma esquematização de algumas ideias 
básicas a seu respeito. 
 
A natureza do saber 
Metáforas sobre a aprendizagem e o saber 
A nossa compreensão das coisas passa muito pelo estabelecimento e pela 
exploração de boas metáforas. Podemos dizer que elas estão muito ligadas às 
concepções, sendo justamente uma das principais formas de as exprimir3. 
Ao longo dos tempos muitas metáforas têm sido propostas para pensar sobre a 
aprendizagem, cada uma das quais traz explícita ou implícita uma concepção sobre 
o saber. 
No diálogo socrático, que inspira as versões mais estruturadas do método da 
descoberta guiada, o saber é visto como sendo preexistente e independente da 
criança. Noutra metáfora, a criança é encarada como uma planta, por cujo 
crescimento vai cuidando o professor-jardineiro, que prepara os adubos (ou seja, as 
atividades de aprendizagem), afasta os parasitas e procura estabelecer as 
condições ambientais adequadas. O desenvolvimento do saber, embora mais ou 
menos facilitado por uma ação exterior, tem aqui uma determinação essencialmente 
genética. Na metáfora do aprendiz, a criança vai acompanhando e observando o seu 
mestre, vendo como este faz, assumindo responsabilidades cada vez maiores, até 
atingir a plena maturidade. O saber assume uma forma algo difusa, sendo 
essencialmente prático, tácito, difícil de descrever e de formalizar. Na escola de 
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samba (segundo nos diz Papert, 1980), todos são mestres e aprendizes ao mesmo 
tempo. É a expressão máxima de um ambiente vocacionado para estimular a 
criatividade, dando excelentes resultados na preparação dos carnavais cariocas... 
Resta saber qual o seu real alcance noutros domínios da atividade humana. 
Abordarei duas outras metáforas que me parecem particularmente significativas para 
a aprendizagem da Matemática. A primeira é a do matemático criativo a fazer a sua 
investigação (Ver por exemplo Ponte e Abrantes, 1982; von Glasersfeld, 1983, p. 67; 
Confrey, 1990, p. 12). é uma metáfora sem dúvida poderosa e que tem vindo a 
conhecer crescente divulgação. Procura reter o elemento ativo e criativo no 
processo de construção do saber matemático. Ao aluno, mais do que assimilar o 
saber já constituído, cabe-lhe investigar situações, resolver problemas por si próprio 
formulados, e mesmo inventar conceitos e notações. 
Esta metáfora, tem, no entanto, diversas limitações. O paralelo apenas é sustentável 
até certo ponto. Por um lado, o matemático é-o por escolha profissional, e para ser 
bem sucedido tem que investir afetiva e pessoalmente na sua atividade diária 
imensas energias. 
Não só trabalha muitas horas por dia como mesmo quando se dedica a outras 
tarefas o seu inconsciente continua a trabalhar nos problemas que lhe interessam 
(Poincaré, 1948). Ora o aluno tem que trabalhar em Matemática porque a isso é 
obrigado pela escola; muitas vezes não tem qualquer interesse especial por este 
assunto, não sendo fácil ao professor levá-lo a assumir uma outraatitude. 
O matemático, por cada momento de criatividade tem muitos momentos de trabalho 
rotineiro e de árduo estudo. Além disso, trabalha com ideias sofisticadas e tem ao 
seu alcance formidáveis recursos que derivam do seu conhecimento de domínios 
mais ou menos vastos e de uma grande experiência anterior. Não é possível 
transpor estas condições para um aluno colocado perante uma tarefa 
necessariamente elementar e dispondo de recursos forçosamente limitados. 
Finalmente, quando se evoca esta metáfora, nem sempre se sublinha o grande 
esforço que os matemáticos fazem para a compreensão dos conceitos e resultados 
já existentes e a sua grande capacidade de concentração e de resistência à 
frustração, elementos indispensáveis à sua sobrevivência profissional. 
Gostaria de propor uma nova metáfora. Trata-se da metáfora do engenheiro. Ou 
seja, da pessoa que colocada perante uma situação concreta procura lançar a mão 
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dos diferentes métodos e abordagens ao seu alcance, eventualmente modificando-
os e combinando-os, de modo a construir uma solução satisfatória. 
Comparar a Matemática dos matemáticos com a dos engenheiros é certamente uma 
proposta arriscada. Os matemáticos valorizam de forma determinante o rigor e a 
consistência e não suportam os expedientes e o caráter por vezes mal justificado 
dos métodos a que é preciso recorrer se se quer encontrar soluções para problemas 
práticos. Dizer de alguém que a sua concepção de Matemática é a de um 
engenheiro tem sido um dos insultos mais cultivados pela elite dos professores — o 
que bem atesta o domínio absoluto que a Matemática Pura tem exercido sobre o 
campo do ensino. No entanto, hoje em dia, a tendência é cada vez mais para ver a 
Matemática como um todo, considerando artificiosa e limitativa a distinção entre 
Matemática Pura e Matemática Aplicada (NCR, 1989), uma vez que as mesmas 
teorias podem ser vistas como "puras" ou "aplicadas", dependendo apenas da óptica 
com que são encaradas. É cada vez mais reconhecida a importância da capacidade 
de lidar com as estruturas e regularidades matemáticas mas também da capacidade 
da as aplicar a situações exteriores à Matemática. Desta forma, poderá esperar-se 
alguma aceitação para esta metáfora, que valoriza a capacidade dos alunos 
formularem situações em termos matemáticos (matematização) e aplicarem 
conceitos já seus conhecidos à resolução de problemas concretos, incluindo 
naturalmente a construção de modelos matemáticos (modelação)4. 
Teorias sobre o saber 
Saxe (1991, p. 3) aponta três grandes escolas de pensamento no que se refere à 
natureza do conhecimento. A visão empirista é representada na Filosofia por Locke 
e na pedagogia por Gagné. Para ela o mundo exterior é a fonte do conhecimento, 
que se vai formando através da experiência. A posição inatista, tem origens 
filosóficas em Platão e como representantes atuais figuras como Chomsky e Fodor. 
Reconhece a necessidade de estruturas fundamentais de conhecimento para 
organizar a experiência em categorias e sistemas lógicos, e afirma que se tratam de 
estruturas geneticamente pré-programadas. 
Finalmente, a posição construtivista, tem Kant como principal referência filosófica. A 
sua relevância para o domínio da Psicologia resultante do trabalho de Piaget e a sua 
popularização nos círculos da educação matemática é devida a Ernest von 
Glasersfeld. 
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27
Segundo ela, os aspectos fundamentais do conhecimento não vêem pré-formados 
nos genes nem são diretamente adquiridos do mundo exterior, mas são antes 
construídos pelo próprio indivíduo. 
A visão empirista fundamenta-se na boa adequação do nosso conhecimento ao 
mundo real, que se traduz pela nossa inegável capacidade de intervenção sobre ele. 
Mas tem dificuldade em dar conta de certos aspectos do pensamento, como a 
dedução lógica. A perspectiva inatista explica as situações de independência entre 
as estruturas cognitivas e a experiência, mas não permite compreender a 
variabilidade das formas cognitivas em diferentes culturas (Saxe, 1991). Pelo seu 
lado, o construtivismo procura ultrapassar o dilema da primazia do sujeito ou da 
realidade no conhecimento, encarando este não como uma “representação da 
realidade exterior, mas como constituindo a própria estrutura e organização da 
experiência” (von Glasersfeld, 1983, p. 49). 
O construtivismo é um ponto de vista geral, que inclui múltiplas correntes. Para Saxe 
(1991, p. 4), na sua base está a noção de que os indivíduos constroem o seu 
conhecimento em interação com o meio, em atividades orientadas por objetivos por 
si formulados. Trata-se de um processo dialético, uma vez que novo conhecimento 
leva à identificação de novos objetivos, e a persecução destes à criação de mais 
conhecimento. Na sua versão mais vulgarizada, a tese essencial do construtivismo é 
que os indivíduos não recebem passivamente o conhecimento do mundo exterior, 
mas constroem-no de uma forma ativa. Trata-se de uma tese pacífica e de 
generalizada aceitação (Kilpatrick, 1987). Outra das suas teses, particularmente 
sublinhada pelos “construtivistas radicais”, diz respeito à própria noção de 
conhecimento. Enquanto que usualmente o conhecimento é entendido em termos de 
correspondência com o mundo exterior, para os construtivistas radicais conhecer é 
um processo adaptativo que organiza o nosso mundo de experiências. Pode apenas 
falar-se da sua compatibilidade e não da sua verdade. Assim não faz qualquer 
sentido falar de um mundo exterior existindo fora da mente humana porque nada 
podemos saber sobre ele (Kilpatrick, 1987). Este é um ponto de vista claramente 
mais controverso, de raiz idealista, que conduz a uma terminologia esotérica, 
chegando a roçar o ridículo5, e cujas consequências são bem mais difíceis de 
sustentar. 
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O construtivismo tem sido criticado pela sua falta de clareza em aspectos filosóficos, 
pela sua débil relação com a filosofia da Matemática e pela sua tendência para o 
dogmatismo e intolerância (Kilpatrick, 1987). Uma crítica que tem vindo a ganhar 
cada vez maior aceitação é a sua falta de consideração pelos fatores sociais. 
Além disso, o construtivismo pode ser criticado por constituir um ponto de vista 
particularmente fraco. Ou seja, diz pouco e deixa muito por dizer. O construtivismo é 
em última análise compatível com as teorias educativas mais diversas (Kilpatrick, 
1987). Quanto muito deixa no ar a sugestão de um vago espontaneísmo 
pedagógico: sendo o processo de construção do conhecimento um processo 
individual do aluno, a ação do professor acaba por ser secundária... 
 
5 De acordo com Kilpatrick (1987, p. 22), o construtivismo tem tido uma particular 
dificuldade em encontrar uma linguagem que lhe permita comunicar com os 
professores. Entretanto, alguns dos seus defensores mais zelosos, condenando 
vigorosamente a linguagem usual como sendo “realista” ou “reificadora” (cujo 
abandono, de resto, reclamam com urgência), exigem a colocação de aspas 
sanitárias em torno de termos como “descobrir”, “erro”, estrutura de um problema”, 
etc... 
O problema da natureza do conhecimento não parece passível de uma solução 
definitiva. Cada uma das abordagens tem os seus méritos e as suas insuficiências. 
Cada uma poderá dar contributos positivos em domínios restritos da atividade 
educativa. O construtivismo, em particular, teve a virtude de chamar a atenção para 
a importância da açãodo sujeito na processo de criação do saber, mas o fato de não 
ser uma teoria forte e de ocultar aspectos melhor atendidos por outras perspectivas 
desaconselham a sua adoção como quadro de referência universal. Nestas 
circunstâncias, em vez de seguirmos uma única teoria, adoptaremos uma 
perspectiva mais eclética. 
Tipos de conhecimento 
De um ponto de vista “macro” é importante distinguir entre vários tipos de saberes, 
que têm características distintas: o saber científico, o saber profissional, e o saber 
comum. 
O que caracteriza a atividade científica é o esforço de racionalização, pela 
argumentação lógica e pelo confronto com a realidade empírica. Para Hawkins et al. 
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(1982, citado em Confrey, 1990) o conhecimento científico constitui um tecido muito 
denso de conceitos inter-relacionados, muito mais complexo do que o conhecimento 
comum. O conhecimento científico não pode prescindir de se apoiar ele próprio em 
crenças (no sentido de proposições não demonstradas, muitas delas porque não 
demonstráveis). Mas deve realizar-se na consciência de que se realiza com este 
apoio e estar pronto a rever os seus pressupostos e quadros de referência, se tal for 
indispensável. 
A atividade profissional6 é marcada pela acumulação de uma grande experiência 
prática num dado domínio, que será tanto mais eficaz quanto mais se puder referir a 
conhecimentos de ordem científica. Freema Elbaz (1983) caracteriza como sendo 
um saber essencialmente prático aquele que os professores desenvolvem no 
decurso da sua atividade profissional. Isto é, trata-se de um saber datado e 
contextualizado, pessoalmente convincente e orientado para a acção (Feiman-
Nemser e Floden, 1986, p. 512). Pelo seu lado, Schön (1983, 1987, 1991) 
caracteriza o conhecimento profissional como artístico, baseando-se por um lado no 
conhecimento científico e por outro numa dimensão tácita e intuitiva que se 
desenvolve através da prática e de várias formas de reflexão sobre a prática. 
 
6 Profissionais são, de acordo com Everet Hughes, pessoas cuja atividade envolve 
um conhecimento extraordinário em matérias de grande importância humana 
(Schön, 1987, p. 32). As profissões que gozam de um estatuto social mais elevado 
são os médicos, os advogados, os engenheiros e os militares. O público em geral (e 
muitas vezes os próprios professores) vêem a atividade educativa como não 
exigindo um corpo de conhecimentos especial, para além, naturalmente, da matéria 
a ensinar – o que muito contribui para que os professores sejam como a profissão 
com estatuto social mais desvalorizado (Feiman-Nemser e Floden, p. 512). 
 
O conhecimento vulgar é, de todos, o menos exigente. Na sua construção jogam um 
papel decisivo os processos de socialização, que se vão articulando com a 
interpretação das experiências de natureza mais imediata. O papel das crenças é 
muito forte, sendo apenas condicionado pelo grau de impregnação da cultura social 
pelo conhecimento científico e profissional e pelas vivências pessoais. 
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Em todo o conhecimento intervêm necessariamente crenças. Existe um ponto, para 
além do qual não consegue ir a racionalidade humana, entendida como a 
capacidade de formular raciocínios lógicos, definir conceitos com precisão, e 
organizar de forma coerente os dados da experiência. Para além da racionalidade 
entramos no domínio das crenças, que são indispensáveis pois sem elas o ser 
humano ficaria virtualmente paralisado, sem ser capaz de determinar cursos de 
acção7. 
As diferenças entre estes diversos tipos de conhecimento traduzem-se apenas pela 
diferente articulação entre as crenças de base e os outros tipos de pensamento 
(baseados no raciocínio e na experiência). Enquanto que alguns seres humanos, os 
cientistas e os profissionais (quando atuam nos respectivos domínios de actividade 
muito circunscritos), têm uma preocupação com este aspecto, para outros, essa 
preocupação é fraca ou inexistente. 
Nestas condições não há necessidade de distinguir, como incompatíveis, as crenças 
e o conhecimento. Podemos ver as crenças como uma parte do conhecimento 
relativamente "pouco elaborada", em vez de os ver como dois domínios disjuntos. 
Nas crenças predominaria a elaboração mais ou menos fantasista e a falta de 
confrontação com a realidade empírica. No conhecimento mais elaborado de 
natureza prática predominariam os aspectos experienciais. 
No conhecimento de natureza teórica predominaria a argumentação racional. 
As concepções podem ser vistas neste contexto como o pano de fundo organizador 
dos conceitos. Elas constituem como que “miniteorias”, ou seja, quadros conceptuais 
que desempenham um papel semelhante ao dos pressupostos teóricos gerais dos 
cientistas (Confrey, 1990, p. 20). As concepções condicionam a forma de 
abordagem das tarefas, muitas vezes orientando-nos para abordagens que estão 
longe de ser as mais adequadas. 
7 Alba Thompson (1992) distingue conhecimento e crença, associando o primeiro a 
critérios de validade, inexistentes para o segundo. No entanto, o conhecimento pode 
ser visto em termos de uma correspondência com o mundo material ou com práticas 
sociais, sendo a sua validade indicada em termos de “eficiência” e 
“operacionalidade” e não em termos de “certo” ou “errado”: Nesta perspectiva, não 
há que opor crenças e conhecimento. As crenças não têm suporte empírico que as 
valide – são criações da imaginação humana (individual ou coletiva). Constituem 
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apenas uma forma primitiva de saber. Por outro lado, há saberes que assentam 
directamente sobre crenças e que só nesse quadro fazem sentido (por exemplo, os 
membros de uma confissão religiosa, assente em determinadas crenças, sabem 
como executar os respectivos rituais). 
 
Estreitamente ligadas às concepções estão as atitudes, as expectativas e o 
entendimento que cada um tem do que constitui o seu papel numa dada situação 
(Ponte et al., em publicação). 
De um ponto de vista “micro” o conhecimento é igualmente multifacetado. Elbaz 
(1983) distingue, por exemplo entre “regras de prática”, “princípios” e “imagens”. As 
regras de prática (mais específicas) e as imagens (mais gerais) referem-se ao 
conhecimento pedagógico e as imagens dirigem a tomada de decisões. 
Podemos distinguir quatro tipos de conhecimento, intimamente interrelacionados: (a) 
o descritivo, envolvendo conceitos e imagens, (b) o preposicional ou argumentativo, 
envolvendo cadeias de raciocínios, (c) o ativo e processual, o saber fazer, as regras 
de ação, e (d) o controlo, a metacognição e a reflexão8. Na prática tradicional do 
ensino da Matemática tem-se valorizado muito o aspecto processual do 
conhecimento, as expensas dos outros aspectos. No movimento da Matemática 
Moderna procurou-se salientar sobretudo os aspectos descritivos e preposicionais 
(através da imposição de uma linguagem mais formalizada, e valorizando o papel 
das estruturas algébricas mais abstratas), mas sem muito êxito. O atual movimento 
internacional de reforma do ensino da Matemática parece sobretudo centrar-se nos 
processos mais elaborados de raciocínio – resolução de problemas e pensamento 
de ordem superior – acerca dos quais, no entanto, ainda pouco se sabe. O controlo 
e a metacognição são preocupações recentes da investigação (Fernandes, 1989). A 
reflexão, constitui um tema mais clássico, podendo incidir sobre um de três níveis: 
(a) o dos meios ou técnicaspara atingir certos objetivos, sem que estes sejam 
questionados; (b) o das relações entre princípios ou concepções e práticas, tendo 
em conta as suas consequências e as suas implicações, e (c) o do quadro social, 
político e ético em que se desenvolve a nossa ação (Alarcão, 1991). Uma boa teoria 
educativa deverá ser capaz de explicar as relações que existem entre estes 
diferentes tipos de conhecimento e como se desenvolve cada um deles9. 
Carácter social e individual do conhecimento 
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Uma boa parte da investigação que tem sido realizada em matéria de concepções e 
conhecimentos profissionais pressupõe, pelo menos implicitamente, que se tratam 
de matérias essencialmente do foro individual. Trata-se de uma perspectiva 
altamente limitadora, que exclui o contributo dos fatores sociais. 
 
8 Confrey (1991, p. 9), fala em conhecimento perceptual (a forma como as coisas 
nos parecem), conhecimento de ação (a forma como fazemos as coisas), e 
conhecimento conceptual (o nome que damos às coisas e a forma como as 
representamos). Shulman (1986, p. 11-13), pelo seu lado, fala em conhecimento 
preposicional (incluindo princípios), conhecimento de casos (incluindo protótipos, 
precedentes e parábolas), e conhecimento estratégico. Uma outra distinção também 
bastante comum na literatura é entre saber, saber fazer e saber ser. 
9 Podemos postular, nomeadamente, a necessidade de um desenvolvimento 
equilibrado e mutuamente apoiado. 
Mas seria desejável poder dizer em que medida insuficiências de um destes tipos de 
conhecimento se repercutem nos restantes. Igualmente interessante seria saber se 
algum deles desempenha um papel distinto, por exemplo de pivot, relativamente aos 
restantes. 
 
Embora não seja fácil traçar a linha demarcadora entre a componente individual e a 
componente coletiva do processo de construção do conhecimento, é impossível 
negar o aspecto decisivo da segunda, principalmente no que se refere aos saberes 
que intervêm de forma significativa nas práticas sociais (de que as práticas 
educativas são um importante caso particular). 
Dizer que as concepções e os saberes têm um importante caráter coletivo equivale a 
assumir que eles encontram a sua origem nas estruturas organizativas, nas relações 
institucionais, e nas dinâmicas funcionais em que estão integrados os seres 
humanos. Geram-se nas interações inter-individuais e a sua evolução é muito 
marcada pelas dinâmicas coletivas. 
Esta impregnação de elementos sociais no processo de construção do saber reforça 
a perspectiva de que existe uma relação interativa entre as concepções e as 
práticas. As concepções influenciam as práticas, no sentido em que apontam 
caminhos, fundamentam decisões, etc. Por seu lado, as práticas, que são 
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condicionadas por uma multiplicidade de fatores, levam naturalmente à geração de 
concepções que com elas sejam compatíveis e que possam servir para as 
enquadrar concetualmente. 
Mas o conhecimento tem também uma importante dimensão pessoal. É fundamental 
distinguir entre o saber que é imposto ao indivíduo pelo contexto social e cultural e 
com o qual ele não se identifica e aquele que é por ele desenvolvido ou apropriado 
como seu10. 
Perante um dado saber, é pertinente perguntar: Permite à pessoa fazer o quê? Para 
ela, que significado tem? É ou não gerador de novas dimensões de compreensão e 
de ação? Esta dimensão individual, em termos de pertença e apropriação, é tão 
decisiva como a dimensão social. 
 
O saber matemático 
Depois de termos colocado algumas questões sobre o saber em geral, é altura de 
nos debruçarmos sobre o saber matemático. Em primeiro lugar discutirei algumas 
das características fundamentais deste saber. De seguida apresentarei uma 
perspectiva sobre os seus elementos constitutivos e o seu processo de 
desenvolvimento. 
 
10 A apropriação de uma ideia ou de um instrumento pode ser vista como 
consistindo no seu domínio progressivo, criando cada vez maiores oportunidades de 
pensamento, ação, e criação (Veloso e Ponte, em preparação). 
Finalmente, apresentarei em terceiro lugar uma visão sobre as concepções mais 
difundidas em relação a esta ciência. 
Características fundamentais do saber matemático 
Sobre a natureza da Matemática têm sido propostas diversas teorias, incluindo a 
logicista, a intucionista, a formalista, a platônica, e a falibilista, cada uma delas 
associada a uma dada concepção acerca desta ciência. Estas teorias, que 
constituem as grandes escolas da Filosofia da Matemática, pretendiam resolver o 
problema de como é que a Matemática “deveria ser” para atingir os almejados 
objetivos de perfeição (seja a garantia da verdade, da certeza, ou mais 
modestamente da consistência). Elas são no entanto de alcance muito limitado em 
relação ao nosso problema. O que está em causa não é como é que a Matemática 
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deveria ser mas sim como é que ela é na prática diária dos matemáticos e dos não 
matemáticos. Ao nos centrarmos sobre os processos cognitivos e sociais que 
intervêm na construção do saber matemático não tem por isso grande pertinência a 
invocação das questões dos Fundamentos. 
A Matemática é uma ciência em permanente evolução, com um processo de 
desenvolvimento ligado a muitas vicissitudes, dilemas e contradições (Ponte, 1988). 
Pode ser encarada como um corpo de conhecimento, constituído por um conjunto de 
teorias bem determinadas (perspectiva da Matemática como “produto”) ou como 
uma atividade (constituída por um conjunto de processos característicos)11. Pode-
se ainda argumentar que tanto o produto como o processo são igualmente 
importantes, e só fazem sentido se equacionados em conjunto. Será impossível 
nesse caso explicar a alguém o que é a Matemática sem apresentar um exemplo em 
que simultaneamente se usem os seus processos próprios e se ilustre com 
conceitos de uma das suas teorias. 
Mas o que constitui afinal o caráter distintivo do saber matemático em relação a 
outros saberes? 
A Matemática é um saber científico. Distingue-se das outras ciências pelo fato de 
que enquanto nestas a prova de validade decisiva é a confrontação com a 
experiência, na Matemática esta prova é dada pelo rigor do raciocínio12. O caráter 
preciso e formal dos argumentos matemáticos permite-lhes resistir à crítica mesmo 
quando são bastante complexos (Schwartz, 1978). Os argumentos das restantes 
ciências são também precisos, mas, uma vez que estão sujeitos ao confronto com a 
experiência, o seu caráter tende a ser menos formalizado. 
 
11 Em cada momento histórico o conjunto das teorias que constituem a Matemática 
pode ser enunciado em extensão: aritmética, álgebra, análise infinitesimal, teoria das 
probabilidades, teoria dos conjuntos, topologia, geometria diferencial, análise 
funcional... O fato do conjunto das teorias ser cada vez mais vasto é mais uma razão 
para tentar encontrar uma caracterização por compreensão. Por outro lado, os 
processos característicos da Matemática são talvez mais fáceis de enunciar: definir, 
exemplificar, representar, conjecturar, testar, especializar, generalizar, demonstrar. 
 
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Em contraste, os argumentos do senso comum, muito menos precisos e 
formalizados, basta tornarem-se apenas moderadamentelongos para serem logo 
claramente controversos. 
Os formalismos da Matemática disciplinam o raciocínio dando-lhe um caráter preciso 
e objetivo. Os raciocínios matemáticos podem por isso ser sempre sujeitos a 
verificação. Por vezes podem haver controvérsias, mas nunca fica por muito tempo a 
dúvida se um dado raciocínio é ou não correto ou se, dados certos pressupostos, um 
resultado é ou não verdadeiro. Isto permite aos matemáticos sentirem-se como uma 
comunidade internacional unificada cuja atividade transcende as fronteiras nacionais 
e culturais. 
Embora baseada num conjunto reduzido de princípios formais fundamentais, a 
Matemática possibilita a elaboração de uma imensa variedade de estruturas 
intelectuais. 
Fornece, por isso, um mecanismo disciplinado que proporciona quadros de 
referência nos quais se enquadram os fatos obtidos empiricamente pelas diversas 
ciências. Mais do que isso, permite que fatos que inicialmente nada tinham a ver uns 
com os outros acabem por ser igualmente relacionados, e dá mesmo indicações que 
levam a descobrir novos fatos (Changeaux e Connes, 1991). 
Em vez de impedir o alcance da imaginação, a disciplina formal inerente à 
Matemática permite explorar novas conexões e novos domínios. O senso comum 
está prisioneiro num leque de intuições relativamente curto. A Matemática, porque 
garante a validade de raciocínios muito mais longos e elaborados que o senso 
comum, é capaz de sair para fora destes limites, transcendendo e corrigindo a 
intuição (Schwartz, 1978). 
Podemos assim enunciar quatro características fundamentais do conhecimento 
matemático: a formalização segundo uma lógica bem definida, a verificabilidade, que 
permite estabelecer consensos acerca da validade de cada resultado, a 
universalidade, isto é, o seu caráter transcultural e a possibilidade de o aplicar aos 
mais diversos fenômenos e situações, e a generatividade, ou seja, a possibilidade 
de levar à descoberta de coisas novas. 
A natureza formalizada da Matemática constitui um dos mais sérios obstáculos à sua 
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aprendizagem (como já bem se apercebia por exemplo Sebastião e Silva, 
1964/1975). No ensino desta disciplina há uma tendência permanente para resvalar 
para uma formalização prematura. 
 
12 Em Matemática, no entanto, não se trabalha com um “rigor absoluto”, mas sim 
com um nível “intermédio” de rigor, em que os raciocínios não são totalmente 
formalizados. Sabe-se ser possível (pelo menos teoricamente) passar cada um dos 
seus enunciados e derivações para uma linguagem completamente formalizada. 
 
Uma alternativa é apresentar uma Matemática tão desformalizada quanto 
possível13. Outra é reconhecer a formalização como inevitável mas procurar 
encontrar formas de a tornar acessível aos alunos (Pólya, 1965/1981, p. 104; Papert, 
1980; Noss, 1988/91). Por exemplo, Noss (1988/91) considera que a especificidade 
do saber matemático está no tipo de formalismo que lhe está associado. Defende a 
tese que a tecnologia, devidamente utilizada, pode constituir ambientes matemáticos 
nos quais a matematização tem a possibilidade de ocorrer naturalmente e sugere 
que o computador virá a constituir por isso mesmo uma significativa influência 
cultural. 
No entanto, há que reconhecer que, apesar de tudo, o modo de lidar com a 
formalização constitui ainda um problema mal conhecido. 
Elementos constitutivos do saber matemático 
Podemos distinguir quatro níveis de competências no saber matemático, de acordo 
com a sua função e nível de complexidade. Teremos assim as competências 
elementares, intermédias e complexas, e os saberes de ordem geral (ver figura 2). 
As competências elementares implicam processos de simples memorização e 
execução. As competências intermédias implicam processos com certo grau de 
complexidade, mas não exigem muita criatividade. As competências complexas 
implicam uma capacidade significativa de lidar com situações novas. Finalmente, os 
saberes de ordem geral incluem os meta-saberes, ou seja, saberes com influência 
nos próprios saberes e as concepções. Enquanto os três primeiros níveis 
representam uma progressão em termos de complexidade natural, o quarto 
desempenha um papel essencialmente regulador. 
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Postulados estes níveis, diversas questões se colocam. Que espécie de relações 
existem entre si? É possível trabalhar num deles sem ter adquirido alguma 
segurança no anterior? E, inversamente, é possível adquirir essa segurança sem 
trabalhar nos níveis seguintes? 
Não custa a admitir que o trabalho num nível mobilize naturalmente saberes e 
competências dos níveis anteriores. Mas enquanto para a aquisição dos saberes no 
primeiro nível pode ser conveniente uma certa individualização dos conceitos, tanto 
no segundo como no terceiro é essencial a consideração da sua globalidade, o que 
torna particularmente importantes as experiências de aprendizagem estendidas no 
tempo, conduzidas com uma certa continuidade e profundidade. 
Competências elementares 
Conhecimento de fatos específicos e terminologia 
Identificação e compreensão de conceitos 
Capacidade de execução de “procedimentos” 
Domínio de processos de cálculo 
Capacidade de “leitura” de textos matemáticos simples 
Comunicação de ideias matemáticas simples 
Competências intermédias 
Compreensão de relações matemáticas (teoremas, proposições) 
Compreensão de uma argumentação matemática 
A resolução de problemas (nem triviais, nem muito complexos) 
A aplicação a situações simples 
Competências avançadas (ou de ordem superior) 
A exploração/investigação de situações; a formulação e teste de conjecturas 
A formulação de problemas 
A resolução de problemas (complexos) 
Realização e crítica de demonstrações 
Análise crítica de teorias matemáticas 
A aplicação a situações complexas/modelação 
Saberes de ordem geral 
Conhecimentos dos grandes domínios da Matemática e das suas inter-relações 
Conhecimento de aspectos da história da Matemática e das suas relações com as 
ciências e a cultura em geral 
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Conhecimento de momentos determinantes do desenvolvimento da Matemática 
(grandes problemas, crises, grandes viragens) 
Figura 2 - Elementos constitutivos do saber matemático 
 
As atividades fundamentais em que se desenvolve o saber matemático são a ação e 
a reflexão. A ação tem a ver com a manipulação de objetos e, muito especialmente, 
de representações14. A reflexão consiste no pensar sobre a ação, e é estimulada 
pelo esforço de explicação e pela discussão (daí a importância da comunicação e da 
interação). Quanto mais a aprendizagem se desenvolve em função de objetivos 
definidos e assumidos pelo próprio diversos assuntos e não apresentando 
demonstrações. 
 
14 Em Matemática é particularmente frutuosa a interação entre diversas formas de 
representação, sendo as mais fundamentais (pelo menos nos ensinos básico e 
secundário) as representações numérica, gráfica e algébrica. 
 
No entanto, não é o envolvimento do indivíduo o único fator que condiciona o 
desenvolvimento do saber matemático. Outros fatores constituem igualmente seus 
condicionantes, incluindo os fatores mais gerais de ordem cultural, de ordem social 
(classe social, família, micro-grupo a que pertence o indivíduo), de ordem 
institucional (escola e outros espaços de aprendizagem da Matemática), e as 
capacidades de ordem individual. 
Concepções acerca da matemática 
Apresentei nos pontos