Aula 7 - Espaços Vetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 7 
 
 
 
 
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 7 
 
 
PROF. DR. MAYK COELHO 
 
UM POUCO DE HISTÓRIA 
 
Muitas propriedades estudadas anteriormente para vetores em 
também são válidas em outros conjuntos com operações entre seus 
elementos e entre escalares e seus elementos. 
Os elementos destes conjuntos com estas propriedades poderão ser 
associados aos vetores que conhecemos em e deste modo, também 
poderemos chama-los de vetores. 
Um exemplo de conjunto com estas propriedades é o de matrizes de 
ordem , com a soma entre matrizes e o produto por escalar. 
Assim uma matriz é um vetor. 
Mas uma matriz tem direção, sentido e comprimento? Você seria 
capaz de andar na direção de uma matriz? Seguir no sentido que esta 
matriz aponta? 
Nesta aula veremos que o conceito de vetor vai muito mais além de 
“flechas” com direção, sentido e comprimento. 
Abra sua mente! 
 
Espaços Vetoriais 
das 
A teoria axiomática dos espaços vetoriais é um 
desenvolvimento recente na matemática e teve uma de 
suas origens na resolução de sistemas lineares. 
Giuseppe Peano (1858-1952) deu a primeira definição 
axiomática de espaço vetorial em 1888, mas, a teoria 
de espaços vetoriais não foi desenvolvida antes de 
1920. 
Até a metade do século XVIII nada de substancial 
ocorreu com a álgebra linear. Um assunto relevante 
cujas questões levaram ao desenvolvimento da teoria 
de sistemas lineares que por sua vez levaram ao 
desenvolvimento da teoria de espaços vetoriais é o 
estudo das curvas algébricas. 
Duas proposições referentes às curvas algébricas eram 
bem conhecidas, embora tenham sido provadas 
somente parcialmente até o começo do século XVIII: 
“Duas curvas algébricas distintas de ordens m e n 
respectivamente têm mn pontos em comum”. 
Sabe-se que estes pontos podem ser múltiplos, 
complexos ou infinitos, porém, os matemáticos da 
época também conheciam exemplos em que estes 
pontos eram todos simples e reais. 
“Para determinar uma curva de ordem n são 
necessários e suficientes ( ) pontos”. 
Esta segunda proposição leva a um paradoxo, pois 
quando ( ) , então parece que 
duas curvas algébricas podem ter mais pontos em 
comum do que é suficiente para determinar cada uma 
delas. Colin Mclaurin (1698- 1746) em 1720 foi o 
primeiro a identificar este paradoxo e Cramer o 
reformulou em 1750. Neste ano foi publicado dois dos 
trabalhos mais importantes na história do conceito de 
espaços vetoriais. 
Gabriel Cramer (1704-1752) escreveu o primeiro 
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Propriedades Vetoriais 
Seja com a soma entre vetores e o produto por escalar. Sejam ainda e e e . Temos que: 
1. ; 
2. ; 
3. ( ) ( ) ; 
4. Existe um único tal que tem-se . Chamamos de elemento nulo ( ⃗ ); 
5. tal que ⃗ . Chamamos de elemento oposto de ( ); 
6. ; 
7. ( ) 
8. ( ) ; 
9. ( ) ( ) ( ); 
10. ; 
 
Dizemos que ( ) forma um espaço vetorial. 
Observe que se ao invés de utilizarmos o conjunto das matrizes de ordem , com soma matricial e 
produto por escalar temos as mesmas propriedades. Sejam e matrizes em e . 
1. ; 
2. ; 
3. ( ) ( ) ; 
4. Existe uma única tal que tem-se . Chamamos de elemento nulo 
( ⃗ ); 
5. tal que ⃗ . Chamamos de elemento oposto de ( ); 
6. ; 
7. ( ) 
8. ( ) ; 
9. ( ) ( ) ( ); 
10. ; 
 
Deste modo, também podemos dizer que ( ) forma um espaço vetorial. 
 
Estas propriedades são suficientes para garantir diversas operações que fazemos desde o ensino médio, como por 
exemplo, obter o valor de na equação , veja: 
 Pelas propriedades 4 e 5, sabemos que existe – tal que que ( ) ⃗ ( ) 
( ) ⃗ ( ); 
 Pela propriedade 4, sabemos que ⃗ ( ); 
 Pelas propriedades 6, 9 e 10, sabemos que 
 
 
( ) ⏞
 
(
 
 
 ) ⏞
 
 
 
 
( ( )); 
 Pela propriedade 7, sabemos que 
 
 
( ( )) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ). 
Parecia mais fácil antes né? Mas usamos seis propriedades para resolver esta simples equação . 
Observe que se uma destas operações não fosse válida a resolução desta equação não seria possível. O 
mesmo procedimento pode ser feito para a equação , com e . 
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Mas e se mudarmos as operações entre elementos de ? Digamos que ao invés de somar as coordenadas 
correspondentes, nossa nova operação fosse , significando multiplicar as coordenadas correspondentes, 
ou seja: 
 ( ) 
Será que poderíamos resolver a equação ( ) com os mesmos passos? Vejamos: 
No primeiro passo usamos as propriedades 4 e 5, assim temos que verificar se existe um elemento nulo 
único, ou seja, temos que verificar se existe um tal que , deste modo, 
 ( ) ( ) 
Ou seja, o seguinte sistema nas variáveis : 
{
 
 
 
 
 
Você pode estar tentado a dizer que a solução para este sistema é . 
Mas observe, por exemplo, que se temos que pode ser qualquer. 
Logo, existe tal que , porém este não é único para todos elementos de , para piorar, se 
 tiver alguma coordenada nula, teremos infinitos que satisfazem esta condição. 
Além disso, teríamos que verificar se dado existe tal que ⃗ . Mas quem é ⃗ ? Pelo 
que vimos, ele nem existe. Logo, não é possível resolver a equação ( ) . 
 
Como vimos acima, a operação definida como sendo a multiplicação de coordenadas correspondentes 
falha nas propriedades 4 e 5. 
Logo, ( ) não satisfaz as mesmas condições do espaço vetorial ( ). 
Observe que o conjunto é o mesmo e que mudando apenas a operação entre os elementos deste conjunto 
não é possível resolver uma simples equação, pois não existe um único elemento nulo, ou seja, não é um 
espaço vetorial. 
Mas o que é um espaço vetorial? 
 
De modo geral, dizemos que um conjunto qualquer, com uma operação “ ” entre elementos de e uma 
operação “ ” entre elementos de e escalares em é dito um espaço vetorial e escrevemos ( ) se as 
seguintes condições forem satisfeitas: 
Para todos e e 
1. ; 
2. ; 
3. ( ) ( ) ; 
4. Existe um único tal que tem-se . Chamamos de elemento nulo ( ⃗ ); 
5. tal que ⃗ . Chamamos de elemento oposto de ( ); 
6. ; 
7. ( ) ( ) ( ) 
8. ( ) ( ) ( ) 
9. ( ) ( ) ( ); 
10. ; 
 
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Exemplo 1: Seja com as operações e dadas da seguinte forma: 
Dados ( ) e ( ) e definimos: 
{
 ( )
 ( 
 
 )
 
Temos que ( ) não é um espaço vetorial pois como vimos antes não satisfaz os itens 4 e 5. 
Mas, se retirarmos os vetores que tenham alguma coordenada nula? 
Ou seja, se tomarmos ( ) e mantivermos as operações anteriores? Vejamos: 
É fácil verificar que as propriedades 1, 2 e 3 são válidas. 
Vejamos a propriedade 4: Temos que verificar se existe um único tal que . 
Assim: 
 ( ) ( ) {
 
 
 {
 
 
, pois e . 
Logo ⃗ ( ) 
 
A propriedade 5: Verificar se dado um vetor existe um único vetor tal que ⃗ , ou 
seja:⃗ ( ) ( ) {
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
, pois e . 
Logo (
 
 
 
 
 
) 
 
A propriedade 6 é obvia. 
A propriedade 7: 
 ( ) ( ) (( )
 ( )
 ) ( 
 
 
 
 ) ( 
 
 ) ( 
 
 ) 
Logo ( ) ( ) ( ) 
A propriedade 8: ( ) ( 
 
 ) ( 
 
 
 
 ) ( 
 
 ) ( 
 
 ) 
Logo ( ) ( ) ( ); 
A propriedade 9: ( ) ( 
 
 ) (( 
 ) ( 
 ) ) ( 
 
 ) 
Logo ( ) ( ) . De modo análogo obtemos ( ) ( ) . 
A propriedade 10: ( 
 
 ) . 
Portanto, ( ) é um espaço vetorial. 
O espaço vetorial deste exemplo mexeu com seu conceito de elemento nulo? E o de elemento oposto? 
E como resolvemos a equação ( ) ? Temos ( ) (( ) ) 
 
 
 
 ( ), ou seja, ((
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
). 
O exemplo 1 nos dá dois avisos importantes: 
1. Um conjunto depende das operações entre seus elementos e entre escalares para ser ou não um espaço 
vetorial. 
2. Podemos retirar elementos de um conjunto de modo que se torne um espaço vetorial. 
Ops!!!! O elemento 
nulo não é ( )? 
Ops!!!! O elemento 
oposto não é ( )? 
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Exemplo 2: Seja o conjunto dos polinômios de grau 2, ou seja, 
 . 
Sejam as operações de soma e produto escalar usuais de polinômios, ou seja, 
 
 
 
{
 ( ) 
 ( ) ( )
 ( ) 
 ( ) ( )
 
Vale lembrar que se então e . 
É fácil ver que já na primeira propriedade temos problemas, pois, por exemplo, se e 
 temos que: 
 
Logo ( ) não é um espaço vetorial. 
Porém, se tomarmos como sendo o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, ou seja, 
 
 com as operações definidas acima é um espaço vetorial. Verifique!!!. 
 
Observe que no exemplo 2 inserimos elementos em para formarmos um espaço vetorial. 
Observe ainda que desta forma, qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2 pode ser chamado de vetor. 
Neste ponto é interessante voltarmos ao conceito de reta e plano visto nas aulas anteriores, ou seja: 
 Uma reta que passa por um vetor qualquer é formada pelo conjunto de todos os múltiplos de , 
ou seja: 
 
 Um plano que passa por dois vetores distintos e pode ser escrito como o conjunto de todas as 
combinações lineares de e , ou seja: 
 
 
Assim, podemos definir uma reta e um plano em qualquer espaço vetorial da seguinte forma: 
Seja ( ) 
 Uma reta dada por um vetor qualquer é escrita da seguinte maneira: 
 
 Um plano dado por dois vetores distintos e pode ser escrito da seguinte maneira: 
 ( ) ( ) 
 
Exemplo 3: No exemplo 1, tomando ( ) e ( ) temos que: 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
 
Exemplo 4: No exemplo 2, tomando e temos que: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Talvez o exemplo 3 não lhe pareça estranho, mas o exemplo 4 mexe com seus conceitos, pois temos uma 
“reta” formada por todos os múltiplos de um polinômio de grau 2. Não lhe parece estranho? Mas não é, é 
pura álgebra linear. Bem vindo!