material de aço (professor alberto) UFBA

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Apostila
ENG 299 - Construções de Aço
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
1
CÁLCULO DE 
BARRAS
Prof. Alberto B. Vieira Jr.
UFBA – Escola Politécnica
Depto. de Construção e Estruturas
ENG 299 - Construções de Aço
Estados Limites e 
Carregamentos
Prof. Alberto B. Vieira Jr.
UFBA – Escola Politécnica
Depto. de Construção e Estruturas
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Método dos Estados Limites ou Método dos Coeficientes Parciais
LRFD : “Load and Resistance Factor Design”
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2
Estado limite: Situação onde a estrutura deixa de satisfazer a um de 
seus objetivos.
- Estado limite último – Ex.: Ruptura, flambagem.
- Estado limite de utilização – Ex.: deformações excessivas, 
vibrações excessivas.
Verificação de um elemento estrutural 
pelo Método dos Estados Limites:
Esforço solicitante ou tensão, 
de serviço, majorado(a) ≤
Resistência da peça ou 
do material minorada
LRFD : “Load and Resistance Factor Design”
Coeficiente de majoração ou de ponderação 
(dos esforços solicitantes ou das tensões) ......:
Coeficiente utilizado na minoração (dos esforços ou 
das tensões críticas) ..........................................:
dd RS ≤
Sfγ
m
R
γ
dd f≤σ
σγ f
( )
m
uy ff
γ
;
( )
ltransversaseçãodae
foufdedependeR uy
serviçodeou
atuantessolicEsforçosS .:
serviçodeou
atuantesTensões.:σ
:uy fouf Propriedades mecânicas (obtidas através de 
ensaios ou de tabelas) do aço empregado
...;35,1;10,1:. =mEx γ
...;4,1;25,1:. =fEx γfγ
mγ
ccaam γγγγγ ;;; 21=
Escoamento 
( 1,1 ; ... )
Ruptura 
( 1,35 ; ... )
Combinação de carregamentos ou de esforços para análise de Estado 
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3
Combinação de carregamentos ou de esforços para análise de Estado 
Limite Último (ELU)
∑∑
=
++=
n
j
jjjqqgd QQGF
2
011 ψγγγ
Devido a outra 
carga variável
0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; ...
1,0 ; 1,2; 1,4 ; 1,5 ; ...
Devido à carga variável predominante
1,0 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,4 ; ...
Devido à carga 
permanente
25,1)0,1(1 oug =γ
(*)Obs.: Existem outros γg para “Durante 
a construção” e “Excepcionais”.
Ações de uso: 5,1=qγ
(*) Existem outros γq para “Recalques diferenciais” e “Variações de 
temperatura” , além de valores para “Durante a construção” e 
“Excepcionais”
Sobrecargas .......................................................: 7,0;5,0=jψ
(*) Existem outros ψ j de combinação e de redução
Demais ações var.: 4,1=qγ
Pressão dinâmica de vento ................................: 6,0=jψ
Estrut. metálicas
4,1)0,1(1 oug =γElem. indurstrializ.
1,0 ; 1,2; 1,4 ; 1,5 ; ...
g1 = 0,33 KN/m(peso próprio da viga)
g2 = 3,50 KN/m(peso próprio do piso 
e revestimentos)
q1 = 4,00 KN/m(sobrecarga)
6,4 m
qv = 2,20 KN/m(vento: sobrepressão)
6,4 m
pd = 1,25×0,33 + 1,4×3,5 + 1,5×4,0 + 1,4×0,6×2,20 
→ pd = 13,16 kN/m
6,4 m
pd = 1,25×0,33 + 1,4×3,5 + 1,4×2,20 + 1,5×0,7×4,00 
→ pd = 12,59 kN/m
Combinação 1 Combinação 2
Solução alternativa
Obtenção do esforço de cálculo a partir do Combinação dos esforços referentes a 
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4
6,4 m
pd = 13,16 kN/m
kNmM g 69,18
4,633,0 2
1 =
×
=
kNmM g 92,178
4,650,3 2
2 =
×
=
kNmM q 48,208
4,600,4 2
1 =
×
=
kNmM qV 26,118
4,620,2 2
=
×
=kNmM Sd 38,678
4,616,13 2
=
×
=
kNm
M Sd
38,6726,116,04,148,205,1
92,174,169,125,1
=××+×+
+×+×=
Obtenção do esforço de cálculo a partir do 
carregamento combinado de cálculo
Combinação dos esforços referentes a 
cada carregamento característico
Possibilidade de agrupamento de ações permanentes e variáveis
∑ ∑ 






++=
=
n
j
jjd QQGF
2
014,14,1 ψ 2/5/ mkNQp uso <
∑ ∑ 






++=
=
n
j
jjd QQGF
2
015,135,1 ψ 2/5/ mkNQp uso >
g1 = 0,33 KN/m(peso próprio da viga)
g2 = 3,50 KN/m(peso próprio do piso 
e revestimentos)
q1 = 4,00 KN/m(sobrecarga)
6,4 m
qv = 2,20 KN/m(vento: sobrepressão)
6,4 m
kNmM Sd 59,658
4,681,12 2
=
×
=
( ) mkNpd 81,122,26,04,10,45,333,04,1 =××+++×=
( Quando se sabe o valor de Quso por m2 )
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5
Combinação de carregamentos para análise de Estado Limite de Serviço (ELS)
∑∑
=
++=
n
j
jj QQGF
2
212 ψψ
Devido a outra carga 
variável considerada
Devido à carga variável predominante
Devido à carga 
permanente
Sobrecargas em edificações residenciais ..................: 3,02 =ψ
Valores de ψ2 para Combinação Quase Permanente
Sobrecargas em edificações comerciais ou públicas : 4,02 =ψ
Pressão dinâmica do vento .........................................: 02 =ψ
Combinação Quase Permanente : 
Combinação Frequente : 
∑∑
=
++=
n
j
jjd QQGF
2
211 ψψ
Combinação Rara: 
∑∑
=
++=
n
j
jjd QQGF
2
11 ψ
Exemplos de flechas máximas admissíveis:
Vigas de piso (combinação quase permanente): 350Ladm =δ
Vigas de cobertura (combinação quase permanente): 250Ladm =δ
L
δ0 (contraflecha)
vG (deslocamento devido a cargas permanentes)
vQ (desloc. devido a cargas variáveis)
δmax
(desloc. devido a 
todas as ações)
vtotal
admδδ ≤max
admQv δ≤
(*)Obs.: Em casos específicos:
Verificação de Estado Limite de Serviço (ELS)
qv = 2,20 KN/m(vento: sobrepressão)
Exemplo
- Combinação quase permanente;
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6
g1 = 0,33 KN/m(peso próprio da viga)
g2 = 3,50 KN/m(peso próprio do piso 
e revestimentos)
q1 = 4,00 KN/m(sobrecarga)
6,4 m
(vento: sobrepressão)
mkNp 03,500,43,0)50,333,0( =×++=
m)10(36,8)10(57,6)10(0,2
4,603,5
384
5 3
58
4
max
−
−
=
×
×
=δ
45 )10(57,6 mI −=
Exemplo:
kPaE )10(0,2 8=
madm )10(3,18350
4,6 3−
==δ
- Viga suporte de piso;
- Combinação quase permanente;
Sistemas de Unidades
Cargas permanentes e sobrecargas: 222 ;;
m
kgf
m
kN
m
N
Sistemas e tensões:
2
11:
m
NPamNPa =−−
2
11:
mm
NMPammNMPa =−−
2
11:
m
kNkPamkNkPa =−−
2
11:
cm
NdakPacmNdakPa =−−
decaquilopascal
( )PakPadakPa 410101 ==
2
11:
cm
kNdaMPacmkNdaMPa =−−
decamegapascal
( )PaMPadaMPa 710101 ==
cmkgf
cm
kgf
−−2 ( )Pacm
kgf 5
2 101 =
( )2cmN
( )2cmkN
Método das Tensões Admissíveis
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7
Método das Tensões Admissíveis
Tensão de serviço máxima ≤
Tensão limite (geralmente de 
escoamento) do material, 
dividida por um coeficiente de 
segurança
Exemplo:
Tensão normal máxima resultante de carga 
permanente e sobrecarga – Aço SAE 1008:
MPa
SC
f y






≅
=
=
≤ 103
67,1..
172
maxσ
Tensão normal máxima resultante de vento –
Aço SAE 1008:
MPa
SC
f y






≅
=
=
≤ 137
67,1..
172
333,1maxσ
Tensão de cisalhamento máxima resultante 
de carga permanente e sobrecarga – Aço 
SAE 1008:
MPa
SC
f y






≅
=
=
≤ 69
5,2..
172
maxτ
ENG 299 - Construções de Aço
Barras Tracionadas
Prof. Alberto B. Vieira Jr.
UFBA – Escola Politécnica
Depto. de Construção e Estruturas
A
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r
t
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Verificação: ddRdtSdt RNouNN ≤≤ ,,
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Regiões da barra tracionada
I (interna ou 
seção bruta)
E (extremidades; 
ligações ou seções 
com furos)
Verificação da região I (seção bruta)
dNdN
()10,11, == a
yg
Rdt
fA
N
γ
)( brutaÁreatbAg =
Verificação da região E (seções com furos)
- Verificação da resistência da área líquida efetiva
- Verificação de cisalhamento de bloco
No caso de combinação normal de ações
E (extremidades; 
ligações ou seções 
com furos)
Verificação da resistência da área líquida efetiva
b fd
fdb −
( ) )( efetivalíquidaÁreatdbCA
nA
fte
48476
−=
dN
dN
( )35,12, == a
ue
Rdt
fA
N
γ
eA
6,01 ≥−=
l
eC ct
Excentricidade em rel. à face da ligação
Comprimento da ligação ou distância longitudinal 
entre o primeiro e o último parafuso
Verificação de Cisalhamento de Bloco (Rasgamento)
l
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9
tl
VA
tA
( Área cisalhada )
( Área tracionada )
Vl
dN
dN
( ) ( )tutsVuaRdt AfCAfN +== 6,035,1
1
2
, γ
( ) ( )tutsVgya AfCAf +=≤ 6,035,1
1
2γ
p/ tensão uniforme na área tracionada
p/ tensão não uniforme na área trac.
0,1=tsC
5,0=tsC
= Limite: Escoamento em cisalhamento
b
dN
dN
fd
p
g
s s s
Verificação de ruptura em “zigue-zague”
4444 34444 21
nA
fte tdg
sbCA 





−+= ∑∑ 4
2
(Teste de várias linhas de ruptura)
( )
43421
nA
fte tdbCA −=
Cantoneiras – Área líquida
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10
dN
1b
fd
s s
g
2b
t
444444 3444444 21
nA
fte tdg
s
tbbCA 





−+−+= ∑∑ 4
2
21( )444 3444 21
nA
fte tdtbbCA −−+= 21
Barras com Extremidades Soldadas
dN
Barras rosqueadas
( ) ( )10,135,1
75,0
12
,
=
≤
=
=
a
yg
a
ug
Rdt
fAfA
N
γγ
( Limite: escoamento da 
seção bruta )
No caso de combinação 
normal de ações
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0,12 =⇒≥ tw Cbl
87,025,1 =⇒<≤ tw Cblb
75,05,1 =⇒<≤ tw Cblb
wl
b
b
cA
g
c
t A
A
C =
Especificações e Disposições construtivas
Limitação de esbeltez: 300≤λ ( Exceto para tirantes pré-tensionados de ferro redondo )
Diâmetros dos furos e dos parafusos: mmdd pf 5,3+=
Diâmetro padrão do furo: mmdd ppadr 5,1+=
( diâmetro “fictício” )
pd3
parafusododiâmetrod p :
mmdmmd pp 619 +⇒≤
mmdmmd pp 72619 +⇒<<
mmdmmd pp 93026 +⇒<≤
mmdmmd pp 103630 +⇒≤≤
pp dmmd 25,136 ⇒>
Corte com maçarico:
Serra ou tesoura: pd75,1⇒
( diâmetro padrão )
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(Material preliminar, 
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12
ENG 299 - Construções de Aço
Barras Comprimidas
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Flambagem global Flambagem local
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13
Verificação: ddcdcdRdcSdc RNouRNouNN ≤≤≤ ,,
1
,
a
yg
Rdc
fAQ
N
γ
χ
=
Redução dev. à flambagem global
Redução dev. à flambagem local
Se todas as partes da seção 
estiverem dentro das esbeltezes 
limites, Q = 1,00
0λ
χ
e
yg
N
fAQ=0λ
λε
pi
λ 






= y
Q
0
2
2
fl
e l
IEN pi=
Esbeltez reduzida
Aço MR250 : λλ 0113,00 Q=
Força de flambagem elástica
(*) Obs.:
2
0658,05,10
λχλ =⇒≤
2
0
0
877,05,1 λχλ =⇒>
λ
pi
λ
E
fQ y10 =
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15
Flambagem Local 00,1=⇒≤ Qbb
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16
Coeficiente de redução Q aplicado aos 
casos de Flambagem local:
00,1
lim
=⇒



≤ Q
tt
sa QQQt
b
t
b
=⇒





>
lim
Redução p/ elementos AA
Redução p/ elementos AL
Classificação dos elementos da seção em AA e AL
Elementos AA : Duas bordas longitudinais 
vinculadas
Elementos AL : Apenas uma borda longitudinal 
vinculada
aQ sQ
Elementos AL – Grupo 3
Elementos AA – Grupo 1
yf
E
t
b 40,1
lim
=





6,39
250
lim
=





MRAço
t
b
g
ef
a A
AQ =
( )tbbAA efgef ∑ −−=






−=
σσ
E
tb
CE
tb aef 192,1
Larguras efetivas de todos os 
elementos AA da seção:
Tubos retangulares: Ca = 0,38. 
Outros elementos: Ca = 0,34
yy fouf == σχσ
( adotando Q = 1,00 )
Total das áreas efetivas de todos 
os elementos AA da seção:
Elementos AA – Grupo 2
yf
E
t
b 49,1
lim
=





1,42
250
lim
=





MRAço
t
b
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(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
17
Elementos AL – Grupo 3
yf
E
t
b 45,0
lim
=





7,12
250
lim
=





MRAço
t
b
E
f
t
bQf
E
t
b
f
E y
s
yy
76,0340,191,045,0 −=⇒≤<
2
53,091,0






=⇒>
t
bf
EQf
E
t
b
y
s
y
Elementos AL – Grupo 4
yf
E
t
b 56,0
lim
=





8,15
250
lim
=





MRAço
t
b
E
f
t
bQf
E
t
b
f
E y
s
yy
74,0415,103,156,0 −=⇒≤<
2
69,003,1






=⇒>
t
bf
EQf
E
t
b
y
s
y
Elementos AL – Grupo 5
cy kf
E
t
b 64,0
lim
=





Ek
f
t
bQ
kf
E
t
b
kf
E
c
y
s
cycy
65,0415,117,164,0 −=⇒≤<
2
90,0
17,1






=⇒>
t
bf
kEQ
kf
E
t
b
y
c
s
cy
76,035,0;4
00
≤≤= cc k
th
k
kc é relativo à capacidade da alma de atuar 
como engaste para a aba
Elementos AL – Grupo 6
yf
E
t
b 75,0
lim
=





2,21
250
lim
=





MRAço
t
b
E
f
t
bQf
E
t
b
f
E y
s
yy
22,1908,103,175,0 −=⇒≤<
2
69,003,1






=⇒>
t
bf
EQf
E
t
b
y
s
y
Paredes de tubos redondos
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
18
Paredes de tubos redondos
88
250
lim
=





MRAço
t
b
3
2038,045,011,0 +=⇒≤<
y
s
yy f
E
tD
Qf
E
t
D
f
E
00,111,0 =⇒< s
y
Qf
E
t
D
D
t
!45,0 utilizaçãoaprevistaNãof
E
t
D
y
⇒>
yf
E
t
D 11,0
lim
=





Flambagem por torção
( ) 





+= JG
LK
CE
r
N
zz
w
d
2
2
0
1 pi
Duas extremidades com torção impedida e 
empenamento livre → Kz = 1,00
Uma extremidade livre e a outra com torção e 
empenamento impedidos → Kz = 2,00
2
0
2
0
22
0 yxrrr yx +++=
Raio de giração polar
Coordenadas do centro de 
cisalhamento em relação ao 
centróide
Constante de empenamento da 
seção transversal
dezd NN ,=
Flambagem por flexo-torção
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(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
19
Especificações e disposições construtivas
200≤λ
Barras compostas (seções múltiplas): conjuntoligaçõesentre λλ 2
1≤
Diagonais de barras compostas: 140≤diagsλ
4
1
ou
( Diagonais em “X” com conectores nos 
cruzamentos: K = 0,7, consid. o compr. total )
A substituição das diagonais por barras espaçadas não é prevista na NB-14
Soldas ou parafusos de fixação de reforços: O espaçamento depende de cada situação e 
tipo de aço, mas está limitado a valores da ordem de 300 ou 450 mm.
Chapas de extremidade das colunas: Larguras maiores que a distância entre os 
centróides dos perfis componentes. Espessuras maiores que 1/50 dessa distância.
Especificações e disposições construtivas
4
1
ou
ENG299 - Prof. Alberto(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
20
200≤λ
Barras compostas (seções múltiplas): conjuntoligaçõesentre λλ 2
1≤
Diagonais de barras compostas: 140≤diagsλ
4
( Diagonais em “X” com conectores nos 
cruzamentos: K = 0,7, consid. o compr. total )
A substituição das diagonais por barras espaçadas não é prevista na NB-14
Soldas ou parafusos de fixação de reforços: O espaçamento depende de cada situação e 
tipo de aço, mas está limitado a valores da ordem de 300 ou 450 mm.
Chapas de extremidade das colunas: Larguras maiores que a distância entre os 
centróides dos perfis componentes. Espessuras maiores que 1/50 dessa distância.
Permite-se a adoção de um comprimento equivalente (diferente do que se obtém com K=1) no 
caso de cantoneiras simples, desde que respeitadas certas condições (Item E.1.4 da NB-14)
ENG 299 - Construções de Aço
Barras sob Flexão Simples
Prof. Alberto B. Vieira Jr.
UFBA – Escola Politécnica
Depto. de Construção e Estruturas
A
lb
e
r
t
o
Itens a se verificar:
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(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
21
Itens a se verificar:
- Limitação do momento resistente
- Flambagem local da mesa
- Flambagem lateral com torção
- Cisalhamento
- Flechas
- Flambagem local da alma
yf
yf
τ
δ
Flambagem local da mesa comprimida
Flambagem local da alma da viga
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(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
22
Flambagem por Flexo-torção (Flambagem Lateral com Torção)
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
23
Escoamento da mesa tracionada
1a
n
Rd
M
M
γ
=Momento Resistente de cálculo
yn fWM =
Plastificação total da seção yn fZM =
W = Módulo Elástico 
da seção transversal
Z = Módulo Plástico da 
seção transversal
Limitação para o Momento Nominal ( ) yn fWM 5,1max =
(*) Verificar a influência de furos nas mesas, se fgytufn AfYfA <
00,18,0 =→≤ tuy Yff
10,18,0 =→> tuy Yff
Áreas líquida e bruta da mesa tracionada
Neste caso, t
fg
ufn
n WA
fA
M = Módulo elástico da seção referente ao lado tracionado
yf
yf
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(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
24
Flambagem Local
wt
fb
ft
ft
wh 0h h
Seção compacta
Seção semicompacta 
devido à mesa
Seção semicompacta 
devido à alma
Seção esbelta
Seções semicompactas
Classificação das seções transversais
MM
θ
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
25
θ
M
pM
yM
Seção semicompacta
θ
M
pM
yM
Seção esbelta
θ
M
pM
yM
Seção compacta
MM
yf yf yf
f
f
b t
b5,0
=λ
y
p f
E38,0=λ
y
cr f
EkC
7,0
=λ
yp fZM =
( )
rycr fWM σ−=
ytr fWM <
nM
00,183,0:. == ckClam
w
c
th
kCsold
0
495,0:. ==
76,035,0 << ck
Seção compacta
Seção semicompacta
Seção esbelta
cySn WfQM =
Flambagem Local da Mesa (FLM)
c
b
n W
EMlam 2
69,0
:. λ=
c
b
c
n W
kEMsold 2
90,0
:. λ=
Seção semicompacta
Flambagem Local da Alma (FLA)
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
26
yp fZM =
yr fWM =
nM
w
w
b t
h
=λ
y
p f
ED=λ
y
r f
E70,5=λ
76,3:. =DsimDupla
( )
( )209,054,0:. −= rp
pc
MM
hh
DsimUma
Seção compacta
Seção semicompacta
Seção esbelta
( )ycytn fkWfWM ,min=








−
+
−=
yw
c
r
r
f
E
t
h
a
a
k 7,5
3001200
1
ar = razão entre as áreas da alma e 
da mesa comprimida (≤ 1,0)
hc = dobro da distância entre o 
centróide da seção e a face interna 
da mesa comprimida
Flambagem Lateral com Torção
bl
bl
( )fpnM
Flambagem Lateral com Torção (FLT) ( Dois eixos de simetria )
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
27
yp fZM =
( )
rycr fWM σ−=
( )fpnM
y
y
bp rf
El 76,1=
Viga curta Viga intermediária Viga longa
bl
( )








+=
w
b
y
w
b
y
fpn C
lJ
I
C
l
IE
M
2
2
2
039,01
pi
escoam. flamb. inelástica flambagem elástica
y
wy
br I
C
J
JI
l
2
1
1
27
11
38,1 β
β ++= ( )
JE
Wf
ry σβ −=1( )30323
1
wff thtbJ += ( ) 42 yfw
I
thC −=
00,3
3435,2
5,12
max
max ≤
+++
=
CBA
b MMMM
MC
)2(2? fmm thhh −==
Viga longa :
Flechas máximas admissíveis
δ
Cisalhamento ( Viga sem enrijecedores transversais )
( )
1
6,0
46,2
a
yw
Rd
yw
w fAVf
E
t
h
γ
=⇒≤
ww thAlam =:.
( )
1
6,0
46,2
a
yw
vRd
yw
w fACVf
E
t
h
γ
=⇒>
y
flamb
v fC 6,0
τ
=
ww thA =
yww
v
yw
w
y f
E
th
Cf
E
t
h
f
E 46,206,346,2 =⇒≤<
( )2
50,706,3
wwy
v
yw
w
thf
ECf
E
t
h
=⇒>
τ
Significado de Cv :
ww thAsold 0:. =
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
28
Flechas máximas admissíveis
Viga de cobertura: L / 250
Viga de piso (combinação quase permanente) : L / 350 ou 15 mm
Terça de cobertura em geral (combinação rara de 
carga permanente e vento) : L / 180
Terça de cobertura em geral (sucção de vento) : L / 120
Travessa de fechamento (flexão no plano do fechamento) : L / 180
Travessa de fechamento (flexão decorrente do vento) : L / 120
δ
Especificações e Disposições construtrutivas
Vigas de alma esbelta
260≤
w
w
t
h
( )mesamenoralmamesamaior AAA +≤ 10
.
≤
comprmesa
alma
A
A( )
( ) 99
1
.
. ≤≤
traçmesay
comprmesay
I
I
yw
w
f
E
t
h
ha 7,115,1 ≤⇒≤
yw
w
f
E
t
h
ha 42,05,1 ≤⇒>
Módulo plástico de vigas I (dupla sim.)
( ) ( )22
4 f
w
fffx th
t
thtbZ −+−= 12,1. ≈W
ZformadeCoef
Cálculo de terças de chapas dobradas com o Método das Tensões Admissíveis
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
29
xq
yq
qα
y
y
y
x
x f
W
M
W
M
6,0≤+
( )y
y
y
x
x f
W
M
W
M
6,033,1≤+
( ) tth
V
2−
=τ
Cargas permanentes e sobrecarga
Cargas permanentes e vento
Cisalhamento da alma
t
h
yadm f4,0=τ
ENG 299 - Construções de Aço
Barras sob Flexão Composta
Prof. Alberto B. Vieira Jr.
UFBA – Escola Politécnica
Depto. de Construção e Estruturas
A
lb
e
r
t
o
Vigas-colunas curtas
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
30
11 ≤+⇒








×≤+
yyy
y fW
M
fA
N
ffW
M
A
N ou 1≤+
yy M
M
N
N
Caso se admita a plastificação 
total da seção
pM
( )








−++= 2
2
0
0 4 nywfyf
y
hftthftbM
( ) ywn ftyN 2=ny
Expressão aproximada: 1≤+
py M
M
N
N
Aproximação da NBR 8800:
1
2
2,0 ≤+⇒<
py
y M
M
N
NNN
1
9
82,0 ≤+⇒≥
py
y M
M
N
NNN
Vigas-colunas com extremidades deslocáveis
Vigas-colunas com extremidades indeslocáveis
2M
1M
L
N
2M
1M
Iδ IIδ
IIt δδδ += 1
IM
IIM
( )
max1, IdS
MBM =
xfl
Sd
m
N
NCB
,
1
1
1
−
= ( )0,11 ≥B
g
x
xfl A
EN 2
2
, λ
pi
=
Ausência de cargas transversais:
( )12 MM ≥
2M
1M
2M
1M
Presença de cargas transversais:
0,1=mC
1a
yg
cRd
fAQ
N
γ
χ
=
2
14,06,0
M
M
C m −=
( )−→
2
1
M
M
( )+→
2
1
M
M
1
2
2,0 ,
,
,
,,
≤+⇒<
Rd
dS
Rdc
Sdc
RdcSdc M
M
N
N
NN
1
9
82,0
,
,
,,
≤+⇒≥
Rd
Sd
Rdc
Sdc
RdcSdc M
M
N
N
NN
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)31
L
NH
∆M
∆
IMBNLHM 2=∆+=∆
LHM I =
LH
NB I∆
−
=
1
1
2
3
3 IE
LH
I =∆
h
h∆
∑
∑∆
−
=
d
dh
s H
N
hR
B
11
1
2
85,0=→ sRsaporticadaEstruturas
00,1=→ sRadascontraventEstruturas
( )
Ihh
∆=∆
Verificação de barras sob flexão composta e oblíqua ( Caso 
geral de flexão )
1
2
2,0 ≤++⇒<
Rdy
Sdy
Rdx
Sdx
Rd
Sd
RdSd M
M
M
M
N
NNN
1
9
8
9
82,0 ≤++⇒≥
Rdy
Sdy
Rdx
Sdx
Rd
Sd
RdSd M
M
M
M
N
NNN
N
H
H
q
z
y x
Método da amplificação dos esforços solicitantes
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
32
= +
Estrutura real Estrutura nt (indeslocável) Estrutura lt (deslocável)
ltntSd MBMBM 21 +=
ltntSd NBNN 2+=
1,12 ≤B → Estrutura de pequena deslocabilidade
4,11,1 2 ≤< B → Estrutura de média deslocabilidade
4,12 >B → Estrutura de grande deslocabilidade
O Método da Amplificação dos Esforços Solicitantes pode ser 
utilizado, para consideração dos efeitos de segunda ordem, 
no caso de estruturas de pequena e média deslocabilidade.
Ao invés de , na classificação pode-se usar , 
relação entre deslocamentos de um determinado andar 
em relação à base
2B III ∆∆
N
0δ
N N N N
bl
bl
L
Contraventamento
k
brF
Sistema de 
contenção nodal
Sistema de 
contenção relativa
Sdbr NF 010,0= Sdbr NF 004,0=
( )
r
b
Sd
l
Nnk γ242 −= r
b
Sd
l
Nk γ2=
( )35,1=rγ
Rigidez necessária :
(*) (*)
(*) Para uma imperfeição inicial 2000 bl=δ
Esforços em barras de contraventamento
( n pontos de contenção lateral )
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
33
1 – Deve-se preencher o nome na folha de prova (folha impressa) e no topo da página inicial 
da folha de respostas (folha pautada);
2 – O desenvolvimento e os desenhos podem ser a lápis, mas os números das questões, 
as letras dos itens e as respostas numéricas devem ser destacados a caneta;
3 – Cada questão e cada item precisam estar bem identificados e destacados, a caneta, no 
início de sua resolução. Deve-se destacar a separação de um item em relação ao outro, de 
preferência com um traço ou com uma linha horizontal;
4 – A resolução de um item não pode aparecer interrompida e retomada depois, após a 
resolução de outro item. A resolução deve apresentar ordem e continuidade. Não serão 
consideradas resoluções em locais indevidos (cantos de folhas, por exemplo) ou com 
resolução com letras, símbolos ou algarismos de difícil leitura;
5 - Todos os passos precisam estar mostrados. As equações devem ser mostradas com os 
valores utilizados (para se obter cada resultado intermediário) explicitamente colocados nas 
próprias equações, e não por símbolos que remetam a referências externas desses 
Regras para a realização de provas
6 - Diagramas devem trazer os valores numéricos (por exemplo, reações ou valores de esforços 
solicitantes em pontos importantes) nos próprios diagramas, e não por símbolos que remetam a 
referências externas desses valores. Os diagramas também precisam trazer os símbolos e as 
unidades dos valores apresentados;
7 - Deve-se utilizar pelo menos 03 algarismos significativos. Quando o número começa com “1”, 
é aconselhável usar 04 algarismos significativos;
8 – As respostas e resultados intermediários importantes devem ser acompanhados das 
unidades;
9 – Somente será fornecida folha pautada extra após o preenchimento completo da folha 
entregue inicialmente;
10 – A folha de prova deve ser entregue dentro da(s) folha(s) pautada(s).
valores;
ENG299 - Prof. Alberto 
(Material preliminar, 
sujeito a modificações)
34