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Mecânica dos Fluidos II (PME 3330) Gabarito Primeira Prova - 2017 1. (2 pontos) Considere um campo de velocidade estacionário e bidimensional cuja componente u da velocidade na direção x é dada por: yxDxCyBxAu −++= 2 onde A , B , C e D são constantes com dimensões apropriadas. Gere uma expressão para o componente v da velocidade na direção y e restrições nas constantes, de forma que o escoamento seja incompressível, irrotacional e tenha velocidade nula na origem de coordenadas. Divergente: z w y v x u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ V ; rotacional: kjiV ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =×∇ y u x v x w z u z v y w Solução: Da condição de incompressibilidade e bidimensionalide, x u y v y v x u ∂ ∂ −= ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ =⋅∇ 0V yDxCA y v +−−= ∂ ∂ 2 ; integrando parcialmente, resulta ( )xfyDyxCyAv ++−−= 2 2 12 Da condição de irrotacionalidade: y u x v ∂ ∂ = ∂ ∂ ; ( ) 02 =⇒−=′+− CxDBxfyC e ( ) xDBxf −=′ Integrando, resulta: ( ) ExDxBxf +−= 2 2 1 , onde E é uma constante. Da condição de velocidade nula na origem de coordenadas, resulta 0=E . Substituindo, temos finalmente: yxDyBxAu −+= 22 2 1 2 1 yDxDyAxBv +−−= 2. (3 pontos) Se a velocidade de aproximação não for alta demais, uma saliência de altura H no fundo de um canal de água bi-dimensional de espessura h causará um afundamento h∆ do nìvel da água, que pode servir para a medição da vazão Q por unidade de comprimento na direção normal ao papel. Desprezando as perdas e supondo uma velocidade uniforme na seção de passagem, determinar as velocidades 1V , 2V e a vazão Q em função das variáveis anteriores e da aceleração gravitacional g . Dica: a superfície livre de água está a pressão atmosférica. Eq. de Bernoulli em uma linha de corrente, incompressível e permanente: cte 2 1 2 =++ zgVp ρρ Δh H h g V2 Conservação de massa, permanente: ( )dA A∫= nV .0 ρ (Adaptado de Mecânica dos Fluidos, F. M. White, McGraw-Hill, 2011) Solução: Da equação de continuidade entre as seções 1 e 2, resulta: ( ) 11221 VVHhh hVHhhVhV β= −∆− =⇒−∆−= , onde 1 1 1 ≥ − ∆ − = h H h hβ Da equação de Bernuolli para a linha de corrente da superfície, resulta: ( ) hgVVhhgVphgVp aa ∆=−⇒∆−++=++ 22 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 ρρρρ Eliminando 2V , resultam 2/1 21 1 2 − ∆ = β hgV , 2/1 22 1 2 − ∆ = β β hgV , 2/1 21 1 2 − ∆ == β hghhVQ 3. (5 pontos) Um líquido escoa em regime laminar sob cisalhamento com velocidade U entre uma placa fixa e outra móvel separadas uma distância h2 , como mostrado na figura. A gravidade é desprezada e o escoamento é completamente desenvolvido (não há variação da velocidade com x ). Supondo viscosidade µ conhecida, queremos encontrar o gradiente de pressão constante dx dp necessário para que a vazão de líquido que escoe para a esquerda (em valor absoluto) seja igual à que escoe para a direita. Resolver o exercício seguindo os seguintes passos: a) Determinar o perfil de velocidade na região hyh ≤≤− em função de U , dx dp e do resto dos parâmetros aplicando condições de contorno adequadas de velocidade nas paredes e na interface; (1.5 pontos) b) Encontrar dx dp em função de U e do resto dos parâmetros aplicando ao perfil de velocidade a condição adequada; (1.5 pontos) c) Eliminar dx dp e reescrever o perfil de velocidade adimensional na forma ( )*** yuu = , onde U uu =* , h yy =* ; (1 ponto) d) Encontrar a posição onde a velocidade troca de sinal e calcular a vazão adimensional por unidade de comprimento na direção normal que escoa para a esquerda ou direita hU Q Q de,* = . (1 ponto) Equação de Navier-Stokes direção x : ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ −= 2 2 2 2 2 2 z u y u x uG x p Dt Du x µρρ Ajudas para o cálculo: ( ) 3 41 1 1 *2* =−∫− dyy ; ( ) 21 1 1 ** =+∫− dyy ; ( ) 81 801 3/1 1 *2* =−∫− dyy ; ( ) 9 81 3/1 1 ** =+∫− dyy Raízes da equação 0123 *2* =−+ yy : 1* −=y e 3 1* =y . Solução: h h x y dp/dx U a) O perfil de velocidade para a região hyh ≤≤− surge de resolver: dx dp dy ud dy ud dx dp µ µ 10 2 2 2 2 =⇒=+− ByAy dx dpuAy dx dp dy du ++=+= 2 2 1;1 µµ com condições de contorno: ( ) 0 2 10 2 =+−⇒=− BhAh dx dphu µ ( ) UBhAh dx dpUhu =++⇒= 2 2 1 µ Resolvendo para A e B , obtemos: 2 2 1 2 ; 2 h dx dpUB h UA µ −== O perfil de velocidade resulta: ( ) ++ −−= h yU h y dx dphyu 1 2 1 2 22 µ b) Se a vazão para a direita e para a esquerda são iguais (em valor absoluto), então a vazão total Q (soma algébrica) deve ser zero: ( ) ( ) ( ) 01 2 1 2 ;0 1 1 **1 1 *2* 3 =++−−== ∫∫ ∫ −− − dyy hUdyy dx dphdyyuQ h h µ ( ) 2 3 2 302 23 4 2 h U dx dphU dx dph µ µ =⇒=+ − c) Substituindo no perfil de velocidade calculado no item a), obtemos o perfil adimensional: ( ) ( ) ( ) 4 1 2 1 4 31 2 11 4 3 *2**2*** −+=++−−= yyyyyu d) A posição onde a velocidade adimensional é zero resulta de resolver a equação de segundo grau: 01230 4 1 2 1 4 3 *2**2* =−+⇒=−+ yyyy As raízes da equação anterior são 0* =y (parede inferior) e 3 1* =y . Integrando o perfil de velocidade, determinamos as vazões para a esquerda e direita: ( ) ( )∫∫ −− == 3/1 1 ***3/ dyyuhUdyyuQ h he ( ) ( ) 2963,0 27 8 27 8 9 8 2 1 81 80 4 31 2 11 4 3 , * 3/1 1 **3/1 1 *2* ===⇒ −= + −=++−−= ∫∫ −− hU Q hU Q dyydyy hU Q de e Miscelâneas: O gráfico do perfil de velocidade resulta: A máxima velocidade para a esquerda e calculada da condição de extremo local 0* * = dy du , resultando 3 1* −=y e 3 1 3 1* −= −u . -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y* u*
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