RES.P1 FUND.MEC.6a.19h.CIV 2014 2

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RESOLUÇÃO DA PROVA 1 DE FUND. DE MECÂNICA-6ª FEIRA-ENG.CIVIL.2014.2 
 
 
 
1)(2,00) A posição de uma partícula é dada pelas funções 3( ) 5 20. 2.x t t t= + + e 3( ) 3 10. 4.y t t t= − − , 
onde x e y estão em metros e t, em segundos. Determine, representando em um sistema de 
eixos coordenados, o módulo, a direção e o sentido da aceleração da partícula no instante 
t = 2 s. 
( ) ( )
3
2
2
3
2
2
2 22 2 2
2
1 0 0
2
( ) 5 20. 2.
( ) 20 6
( ) 12 (2) 12(2) 24 /
( ) 3 10. 4.
( ) 10 12
( ) 24 (2) 24(2) 48 /
24 / 48 / 53,67 /
48 / 63, 43 26,57
24 /
X
X X
Y
Y Y
x t t t
v t t
a t t a m s
y t t t
v t t
a t t a m s
a m s m s m s
m s
tg
m s
θ θ
→
−
= + +
= +
= → = =
= − −
= − −
= − → = − = −
= + − =
 −
= = − → = − 
  
 
 
 [ 2( / )y m s ] 
 
 
 
 Xa 
 
 0 θ 2( / )x m s 
 Ya 
 
 
a
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
2)Um trem parte do repouso e se move com aceleração constante. Num determinado instante, 
sua velocidade é de 40m/s e, 180 m adiante, passa a trafegar a 60m/s. Determine: 
a)(0,67) O tempo necessário para percorrer os 180 m. 
 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
0
22
3600 140060 40 2 (180) 5,56 /
2 180
60 40 3,60
5,56
40 4(2,78)( 180)1(5,56)180 0 40 40
2 2(2,78)
60,0140 ' 3,59
5,56
a a a m s
v v at t t t s
OU
t
t t
t t s
−
= + → = → =
−
= + → = → =
− −
= + + → = − ±
= − ± → =
 
 
 
b)(0,67) O tempo necessário para atingir a velocidade de 40m/s. 
 
0
0
40 0 7,19
5,56
v v
v v at t t t s
a
− −
= + → = → = → = 
 
c)(0,66) A distância percorrida desde o repouso até o instante em que sua velocidade atinge 
40m/s. 
 
( ) ( )2 2 160040 0 2(5,56) 143,88
2(5,56)x x x m= + ∆ → ∆ = → ∆ = 
 
3) A figura desta questão mostra os vetores AF
→
, BF
→
 e CF
→
, os quais representam forças 
aplicadas a um corpo, cujos módulos são 20AF N= , 10BF N= e 40CF N= . Determine: 
a)(1,20) O vetor resultante, em notação de vetores unitários. 
b)(0,80) O módulo, a direção e o sentido do vetor força resultante, representando-o em um 
sistema de coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
 
 y(N) b) y(N) 
 BF
→
 
 
030 AF
→
 ax 
 
030 
 
 0 x(N) 0 x(N) 
 
 
040 a ay 
 CF
→
 
 
 
a) 
b) 
( ) ( )2 2
1 0
1 0
3,39 11,98 12, 45
11,98 74, 20
3,39
3,39 15,80
11,98
F F N
tg
ou
tg
θ
θ
→ →
−
−
= − + → =
− 
= = − 
− 
− 
= = − 
− 
 
 
 
( ) ( )
0 0
0 0
0 0
20cos30 17,32 20 30 10,00
10 30 5,00 10cos30 8,66
40 40 25,71 40cos 40 30,64
(17,32 5,00 25,71) 3,39
(10,00 8,66 30,64) 11,98
[ 3,39 ] [ 11,98 ]
AX AY
BX BY
CX CY
RX
RY
R
F N F sen N
F sen N F N
F sen N F N
F N N
F N N
F N i N j
→ →
= = → = =
= = → = =
= = → = =
= + − = −
= + − = −
= − −
→
 4
4)Do alto de uma torre com 75 m de altura, uma pedra é arremessada com velocidade escalar 
inicial de 50 m/s, formando um ângulo de 040 com a horizontal, conforme mostra a figura 
desta questão. Desprezando a resistência do ar, determine: 
a)(0,67) O tempo que a pedra permanece em vôo. 
b)(0,67) O módulo da velocidade escalar da pedra quando a mesma chega ao solo. 
c)(0,66) O alcance horizontal máximo atingido pela pedra. 
 
 v
→
 
 040 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0
0 2 0 2
2
2
) 50 cos 40 38, 30 / 50 40 32,14 /
( ) 75 (50 40 ) 4, 9 0 (50 40 ) 4, 9
32,14 (32,14 4( 4, 9)(75)0 45 32,14 4, 9
2( 4, 9)
32,14 1032, 98 1470, 00 32,14 2502, 98 32,14 50, 03
9, 8 9, 8
X Ya v m s v sen m s
y t sen t t sen t t
t t t
t
= = → = =
= + − → = −
− − −
= + − → =
−
− ± + − ± − ±
= = =
− − 9, 8
' 1, 83
'' 8, 38
.
t s
t s Tempo decorrido desde o
lançamento até chegar ao solo
−
→ = −
→ =
 
( ) ( )
0
2 2
) ( ) 9 , 8 1 3 2 ,1 4 ( ) 9 , 8 1(8 , 3 8 ) 3 2 ,1 4
( ) 5 0 , 0 7 /
( ) 5 0 4 0 ( ) 3 8 , 3 0 /
3 8 , 3 0 5 0 , 0 7 6 3 , 0 4 /
Y Y
Y
X X
b v t t v t
v t m s
v t s e n v t m s
v v m s
→ →
= − + → = − +
= −
= → =
= + − → =
 
 
c) 0 0(50cos 40 ) (50cos 40 )8,38 320,97R t R R m= → = → = 
 5
 
5) Uma pedra é lançada com velocidade 30 m/s, verticalmente para cima, do alto de um 
edifício, cuja altura em relação ao solo é 10 m. Desprezando o atrito com ar, determine: 
a)(0,5) As funções horárias que descrevem este movimento. 
b)(0,5) O tempo que a pedra leva até chegar ao solo. 
c)(0,5) A velocidade da pedra no instante t = 3 s. 
d)(0,5) Faça os gráficos de (x x t) , (v x t) e (a x t) para todo o tempo de observação, isto é, desde 
o tempo de lançamento até o instante em que a pedra chega ao solo. 
 
 
 
 
 
a) As funções horárias que descrevem este movimento. 
 
2
2
( ) 50 30 4,9
( ) 30 9,8
( ) 9,8 /
y t t t
v t t
a t m s
= − −
= − −
= −
 
 
b)(0,5) O tempo gasto pela pedra chega deste o lançamento até o momento em que chega ao solo. 
 
2
2 ( 30) ( 30) 4( 4,9)500 50 30 4,9
2( 4,9)
30 900 980 30 1880 30 43,36
9,8 9,8 9,8
' 7, 49
'' 1,36 .
t t t
t
t s
t s Tempo decorrido desde o lançamento até chegar ao solo
− − ± − − −
= − − → =
−
± + ± ±
= = =
− − −
→ = −
→ =
 
 
 
c)(0,50) A velocidade da pedra no instante t = 3 s. 
 
(3) 30 9,81(3) (3) 0,57 /v v m s= − → = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
d)(0,55) Faça os gráficos de (x x t) , (v x t) e (a x t) para todo o tempo de observação, isto é, desde o 
momento do lançamento até o instante em que a pedra chega ao solo. 
 
 
Gráficos da questão 4c. 
 
 x(m) v(m/s) 
 
 70 70 
 
 60 60 
55,92 
 5050 
 
 40 40 
 
 30 30 
 
 20 20 
 
 10 10 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 6,44 7 t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 t(s) 
 -10 
 - 10 
- -20 
 - 20 
 - 30 
 - 33 
 -40 
 
 -50 
 
 -60 
 
 -70 
 
 a(m/s2) 
 
 
 
 40 
 
 30 
 
 20 
 
 10 
 0 1 2 3 4 5 6 6,43 7 
 
 -9,8 t(s) 
 - 10