provas de calculo II UFPA projeto newton

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Universidade Federal do Para´
Ca´lculo II - Projeto Newton
Todas as provas
Prof. Juaci Picanc¸o da Silva
Relac¸a˜o das provas
1. 1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
2. 1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
3. 1a Prova - tipo A - segunda chamada - 2o semestre de 2013
4. 1a Prova - tipo B - segunda chamada - 2o semestre de 2013
5. 1a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
6. 1a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
7. 1a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
8. 1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
9. 1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
10. 1a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
11. 1a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
12. 1a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
13. 1a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
14. 1a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
15. 1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2015
16. 1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2015
17. 1a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2015
18. 2a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
19. 2a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
20. 2a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2013
21. 2a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
22. 2a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
23. 2a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
24. 2a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
25. 2a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
26. 2a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
Page 2
27. 2a Prova - simulado - 2o semestre de 2014
28. 2a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
29. 2a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
30. 2a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
31. 2a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
32. 3a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
33. 3a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
34. 3a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2013
35. 3a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
36. 3a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
37. 3a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
38. 3a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
39. 3a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
40. 3a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
41. 3a Prova - simulado - 2o semestre de 2014
42. 3a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
43. 3a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
44. 3a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
45. 3a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
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Prova 1
1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. (2,5 pts). Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = y + x2 explicitando as curvas de n´ıvel
de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
2a Questa˜o (2 pts). Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = x4y2 − x2y + x− 3y + 2.
2. (2,5 pts). Uma part´ıcula desloca-se no espac¸o descrevendo uma trajeto´ria que coincide
com a imagem da func¸a˜o γ(t) = (1, t2, t3). Calcule o comprimento da trajeto´ria da
part´ıcula entre os pontos (1, 0, 0) e (1, 1, 1).
3. (2 pts). Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que e´ perpendicular ao plano 2x+
4y + 3z = 0 e e´ tambe´m tangente a` curva α(t) = (2t, t2 − 1, t2 − t).
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. (2,5 pts.) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = y − x2 explicitando as curvas de n´ıvel
de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
2. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = x2y4 − xy2 + x− 5y + 3.
3. (2,5 pts.) Uma part´ıcula desloca-se no espac¸o descrevendo uma trajeto´ria que coincide
com a imagem da func¸a˜o γ(t) = (1, 3t2, 2t3). Calcule o comprimento da trajeto´ria da
part´ıcula entre os pontos (1, 0, 0) e (1, 3, 2).
4. (2 pts.) Determine equac¸o˜es parame´tricas da reta que e´ perpendicular ao plano 3x+
6y + 4z = 0 e e´ tambe´m tangente a` curva α(t) = (3t, t2 − 2, t2 − 2t).
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1a Prova - tipo A - segunda chamada - 2o semestre de 2013
1. (2,5 pts.) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
y
x2 + 1
explicitando as curvas de n´ıvel
de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
2. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = x2 cos(x4y2 − y).
3. (2 pts.) Calcule o comprimento da curva γ(t) = (2, 5− cos t, t− sent), 0 ≤ t ≤ pi.
4. (2,5 pts.) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
(a)(1pt.) lim
(x,y)→(0,0)
x3y
x2 + y2
(b)(1,5 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x− y2
1a Prova - tipo B - segunda chamada - 2o semestre de 2013
1. (2,5 pts.) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
1
x2 + y2 + 1
explicitando as curvas de
n´ıvel de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
2. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = y2 sen(x2y4 − x).
3. (2 pts.) Calcule o comprimento da curva γ(t) = (3, 4− cos t, t− sent), 0 ≤ t ≤ pi.
4. (2,5 pts.) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
(a)(1pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y2
(b)(1,5 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2 − y
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1a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (2,5 pts). Determine o domı´nio, o conjunto imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) =
1
x2 + y2
explicitando as curvas de n´ıvel de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico com
os planos coordenados xz e yz.
2. (2 pts). Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = x4 ln(x2 + y2 + 1).
3. (2,5 pts). Calcule o limite caso exista, se na˜o existir, justifique.
(a) (1pt.) lim
(x,y)→(0,0)
7xy2√
x2 + y2
(b) (1,5 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
6xy
x2 − y2
4. (2 pts). Calcule o comprimento da curva α(t) = (2t,
√
3 t2, t3), −1 ≤ t ≤ 1.
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (2,5 pts.) Determine o domı´nio, o conjunto imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) =
1
x2 + y2
explicitando as curvas de n´ıvel de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico com
os planos coordenados xz e yz.
2. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = x3
√
x2 + y2.
3. (2,5 pts.) Calcule o limite caso exista, se na˜o existir, justifique.
(a) (1pt.) lim
(x,y)→(0,0)
5xy2√
x2 + y2
(b) (1,5 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
3xy
y2 − x2
4. (2 pts.) Calcule o comprimento da curva α(t) = (3t,
√
3 t2, 2
3
t3), −1 ≤ t ≤ 1.
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1a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
1. (2,5 pts.) Determine o domı´nio, o conjunto imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) =
1
x2 + y2 + 1
explicitando as curvas de n´ıvel de f e a intersecc¸a˜o do gra´fico
com os planos coordenados xz e yz.
2. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = ex
2
3
√
x2y2 − x+ y.
3. (2 pts.) Calcule o comprimento da curva α(t) = (cos t, sent, ln(cos t)), 0 ≤ t ≤ pi
4
.
4. (2,5 pts.) Dentre todas as retas tangentes a` curva γ(t) = (t, t2, t3), determine as
equac¸o˜es parame´tricas daquela que na˜o toca o plano x+ 2y + z = 0.
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1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
da func¸a˜o
f(x, y) = 5x4y2 − 4xy + 3x2 − 5y3 + 2
2. (2,5 pts.) Determineo domı´nio, o conjunto imagem, as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
f(x, y) =
√
x2 + y2 e fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f destacando as curvas de contorno
e a intersecc¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
3. (2 pts.) Calcule o limite caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x2 + y2
(b) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 − y2
4. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Encontre uma equac¸a˜o vetorial para a reta que e´ tangente a` curva
α(t) = (2t, t3 − 1, t2 − 2) no ponto de intersecc¸a˜o da trajeto´ria de α com o
plano xz.
(b) (1,5 pt.) Calcule o comprimento da curva γ(t) = (2t2, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1.
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (2 pts.) 1a Questa˜o. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
da func¸a˜o
f(x, y) = 7x2y4 − 2xy + 5x3 − 3y2 + 1
2. (2,5 pts.) Determine o domı´nio, o conjunto imagem, as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
f(x, y) =
√
x2 + y2 e fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f destacando as curvas de contorno
e a intersecc¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
3. (2 pts.) Calcule o limite caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x2 + y2
(b) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 − y2
4. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Encontre uma equac¸a˜o vetorial para a reta que e´ tangente a` curva
α(t) = (t, t3 − 8, t2 − 1) no ponto de intersecc¸a˜o da trajeto´ria de α com o plano
xz.
(b) (1,5 pt.) Calcule o comprimento da curva γ(t) = (t2, 2t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1.
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1a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
1. (2 pts.) Encontre a func¸a˜o f(x, y) que satisfaz f(0, 0) = 1 e


∂f
∂x
= 7 + 4xy4 − 2 cos 2x
∂f
∂y
= 8x2y3 + yey
2. (2,5 pts.) Determine o domı´nio, o conjunto imagem, as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
f(x, y) =
1
x2 + y2
e fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f destacando as curvas de contorno e a intersecc¸a˜o
do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
3. (2 pts.) Calcule o limite caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(2,1)
x− 2y
x2 − 4y2
(b) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x3 + y3
4. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Calcule o comprimento da curva α(t) = (t, t2, 2
3
t3), 0 ≤ t ≤ 1.
(b) (1,5 pts.) Determine uma equac¸o˜es vetorial da reta que e´ tangente a` curva
γ(t) = (4t+1, t2+3, 2t2−2t) e que e´ tambe´m perpendicular ao plano 2x−y−3z =
3.
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1a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) =
cos(x2 + y3)
x2 + 1
.
2. (2,5 pts.) Calcule o limite, caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
x3y2 − xy4
x4 − y4 .
(b) (1,5 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x3 + 3y3
.
3. (2 pts.) A trajeto´ria de uma part´ıcula que se desloca no espac¸o e´ dada, em func¸a˜o do
tempo t, por α(t) =
(
t2, 4
3
t
√
t, t
)
. Calcule o comprimento da trajeto´ria da part´ıcula
entre os instantes t
1
= 1 e t
2
= 2.
4. (2,5 pts.) Seja pi o plano que passa pelos pontos (1, 2, 1), (2, 1, 1) e (4, 2, 0). Encontre
uma equac¸a˜o vetorial para a reta que e´ tangente a` curva
α(t) =
(
1
2
t2 + 3t, −1
2
t2 + 7t, 2
3
t3 + 7t
)
e e´ tambe´m perpendicular ao plano pi.
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) =
sen(x2 − y3)
x2 + 1
.
2. (2,5 pts.) Calcule o limite, caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
x3y2 − xy4
x4 − y4 .
(b) (1,5 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x3 + 3y3
.
3. (2 pts.) A trajeto´ria de uma part´ıcula que se desloca no espac¸o e´ dada, em func¸a˜o do
tempo t, por α(t) =
(
t2, 4
3
t
√
t, t
)
. Calcule o comprimento da trajeto´ria da part´ıcula
entre os instantes t
1
= 1 e t
2
= 2.
4. (2,5 pts.) Seja pi o plano que passa pelos pontos (1, 2, 1), (2, 1, 1) e (4, 2, 0). Encontre
uma equac¸a˜o vetorial para a reta que e´ tangente a` curva
α(t) =
(
1
2
t2 + 3t, −1
2
t2 + 7t, 2
3
t3 + 7t
)
e e´ tambe´m perpendicular ao plano pi.
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1a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
da func¸a˜o
f(x, y) = x2 5
√
x2y3 − x3 + y2 .
2. (2,5 pts.) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
y
x2 + 1
explicitando as curvas de n´ıvel
e a intersec¸a˜o do gra´fico com os planos coordenados xz e yz.
3. (2 pts.) Calcule o limite caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(1,1)
x3 − y3
x− y .
(b) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
.
4. (2,5 pts.) Calcule o comprimento da curva
α(t) =
(
2
5
t
5
2 , cos t + t sent, sent− t cos t
)
, 0 ≤ t ≤ 3.
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1a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
da func¸a˜o
f(x, y) = x3 sen(x2y − 2y2).
2. (2 pts.) Calcule o limite, caso exista. Se na˜o existir, justifique.
(a) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
x3y
x2 + y2
(b) (1 pt.) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x3 + y3
3. (2 pts.) A trajeto´ria de uma part´ıcula que se desloca no espac¸o e´ dada, em func¸a˜o do
tempo t, por
α(t) =
(
t, 8
3
t
√
t, 4t2
)
, t ≥ 0.
Calcule o comprimento da trajeto´ria dessa part´ıcula entre os instantes t = 1 e t = 2.
4. (2,5 pts.) Encontre o ponto da curva α(t) = (3t2 + 12t, 6t3, 3t4) no qual a sua reta
tangente e´ perpendicular ao plano que passa por (2, 1, 3), (−1, 2, 3) e (2, 3, 6).
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1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2015
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = x2 cos(xy3) .
2. (2 pts.) Encontre a intersec¸a˜o do plano yz com a reta que e´ tangente a` curva
α(t) = (6− 2t, t2 + 2, t3 + 1)
no ponto (4, 3, 2).
3. (2,5 pts.) Calcule o comprimento da curva γ(t) =
(
1
2
t2,
√
3
2
t2, 2
3
t3
)
, 0 ≤ t ≤ 1.
4. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
y
x2 + 1
.
(a) (0,5 pt.) Determine a intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano xz e a intersec¸a˜o
do gra´fico de f com o plano yz.
(b) (1 pt.) Determine as curvas de n´ıvel de f .
(c) (1 pt.) Esboce o gra´fico de f .
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2015
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = y2 sen(x3y) .
2. (2 pts.) Encontre a intersec¸a˜o do plano xz com a reta que e´ tangente a` curva
α(t) = (6− 2t, t2 + 2, t3 + 1)
no ponto (2, 2, 3).
3. (2,5 pts.) Calcule o comprimento da curva γ(t) =
(
1
2
t2,
√
3
2
t2, 2
3
t3
)
, 0 ≤ t ≤ 1.
4. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
y
x2 + 1
.
(a) (0,5 pt.) Determine a intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano xz e a intersec¸a˜o
do gra´fico de f com o plano yz.
(b) (1 pt.) Determine as curvas de n´ıvel de f .
(c) (1 pt.) Esboce o gra´fico de f .
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1a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2015
1. (2 pts.) Calcule as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da func¸a˜o
f(x, y) = ex
3
√
x2y4 + 1
2. (2 pts.) Determine equac¸o˜es parame´tricas para a reta que e´ tangente a` curva
α(t) = (4t+1, t2+3, 2t2−2t) e que e´ tambe´m perpendicular ao plano 2x−y−3z = 3.
3. (2,5 pts.) Calcule o comprimento da curva γ(t) =
(
2
3
t
3
2 , 2
√
6
5
t
5
2 , 6
7
t
7
2
)
, 0 ≤ t ≤ 1.
4. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
(a) (0,5 pt.) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) (0,25) Desenhe a intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano xz.
(c) (0,25) Desenhe a intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano yz.
(d) (0,5 pt.) Desenhe as curvas de n´ıvel de f .(e) (1 pt.) Desenhe o gra´fico de f .
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Prova 2
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. (2 pts.) Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel e F (t) = f(4 cos t, 2 sent). Calcule
F ′(pi
3
) sabendo que
∂f
∂x
(
2,
√
3
)
= 3
√
3 e
∂f
∂y
(
2,
√
3
)
= 5.
2. (2,5 pts.)
(a) (1pt.) A equac¸a˜o x3y2 + 4x2z = 7x − 2y2z3 define implicitamente uma func¸a˜o
z = z(x, y). Expresse
∂z
∂x
em termos de x, y e z.
(b) (1,5 pt.) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = e5x
2−4y no ponto (2, 5) e na
direc¸a˜o do vetor −→v = (−3, 4).
3. (2,5 pts.) Determine, caso existam, os pontos de ma´ximo local, os de mı´nimo local e
os de sela da func¸a˜o f(x, y) =
x3
3
+
y2
2
+ 2xy − x− 2y.
4. (2 pts.) Determine os planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2 + 2 e que
contenham o eixo x.
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. (2 pts.) Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel e F (t) = f(8 cos t, 2 sent). Calcule
F ′(pi
3
) sabendo que
∂f
∂x
(
4,
√
3
)
= 2
√
3 e
∂f
∂y
(
4,
√
3
)
= 2.
2. (2,5 pts.)
(a) (1pt.) A equac¸a˜o x3y2 + 2x2z = 5x − 3y2z3 define implicitamente uma func¸a˜o
z = z(x, y). Expresse
∂z
∂x
em termos de x, y e z.
(b) (1,5 pt.) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = e4x−5y
2
no ponto (5, 2) e na
direc¸a˜o do vetor −→v = (4,−3).
3. (2,5 pts.) Determine, caso existam, os pontos de ma´ximo local, os de mı´nimo local e
os de sela da func¸a˜o f(x, y) =
x3
3
+
y2
2
+ xy − 3x+ 3y.
4. (2 pts.) Determine os planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2 + 2 e que
contenham o eixo y.
Page 17
2a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2013
1. (2,5 pts.) Determine o plano que seja paralelo ao plano 2x+ 3y − 2z = 0 e tangente
ao gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = xy + y2.
2. (2 pts.) Considere a equac¸a˜o x3 + 2x2y2 + y3 = 0.
(a) (1pt.) Mostre que essa equac¸a˜o define implicitamente uma func¸a˜o diferencia´vel
y = y(x).
(b) (1pt.) Expresse
dy
dx
em termos de x e y.
3. (2 pts.) Seja f(x, y) = xarctg (x
y
). Calcule
∂f
∂−→u (1, 1, ), em que
−→u e´ o vetor que aponta
na direc¸a˜o e sentido de maior crescimento de f no ponto (1, 1).
4. (2,5 pts.) Verifique se a func¸a˜o
f(x, y) =


xy2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
e´ diferencia´vel em (0, 0).
Page 18
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (2 pts.) Verifique que a equac¸a˜o
x+ 2x2y3 + yz = y − x2z3
define implicitamente uma func¸a˜o diferencia´vel z = z(x, y) e calcule as derivadas
parciais
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
2. (2,5 pts.) Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o de classe C1 em R2, com x =
3
√
t − 2 e
y =
8
t
+ 1. Sabendo que
∂f
∂x
(0, 2) = 6 e
∂f
∂y
(0, 2) = 2, calcule a derivada da func¸a˜o
z = z(t) para t = 8.
3. (2,5 pts.)
(a) (1pt.) Calcule a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = x2y3 − 2x no ponto
(2, 1) e na direc¸a˜o do vetor −→u = (3
5
, 4
5
)
.
(b) (1,5pt.) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da func¸a˜o f(x, y) =
sen(x2 + y3).
4. (2 pts.) Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = x2 + y2 e e´ tambe´m perpendicular ao vetor −→v = (1,−1,−1
2
).
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (2 pts.) Verifique que a equac¸a˜o
x+ 2y + yz = x2y3 − x2z3
define implicitamente uma func¸a˜o diferencia´vel z = z(x, y) e calcule as derivadas
parciais
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
2. (2,5 pts.) Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o de classe C1 em R2, com x =
3
√
t − 1 e
y =
8
t
− 2. Sabendo que ∂f
∂x
(1,−1) = 3 e ∂f
∂y
(1,−1) = 4, calcule a derivada da
func¸a˜o z = z(t) para t = 8.
3. (2,5 pts.)
(a) (1pt.) Calcule a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = x2y3 − 3x no ponto
(2, 1) e na direc¸a˜o do vetor −→u = (3
5
, 4
5
)
.
(b) (1,5 pt.) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da func¸a˜o
f(x, y) = sen(x3 + y2).
4. (2 pts.) Encontre uma equac¸a˜o para o plano que e´ tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = x2 + y2 e e´ tambe´m perpendicular ao vetor −→v = (−1, 1,−1
2
).
Page 19
2a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
1. (2 pts.) Seja F (t) = f(2t
3
, sen2t), em que f(x, y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel no R2.
Calcule F ′(0), sabendo que
∂f
∂y
(1, 0) = 4.
2. (2,5 pts.) Considere a equac¸a˜o 3
√
x2 + y2 = x cos(x − y). Mostre que essa equac¸a˜o
define implicitamente uma func¸a˜o diferencia´vel y = y(x) e expresse
dy
dx
em termos de
x e y.
3. (2 pts.) Seja f(x, y) = arctg (x
y
). Calcule
∂f
∂−→u (3, 3), em que
−→u e´ o vetor unita´rio que
tem a mesma direc¸a˜o e sentido do vetor −→v = (1, 1).
4. (2,5 pts.) Determine uma equac¸a˜o para o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e
(−1, 1, 1) e que seja tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = xy.
Page 20
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (2,5 pts.)
(a) (1,5 pt.) Determine equac¸o˜es para o plano tangente e para a reta normal ao
gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = x3 + xy2 − 2y no ponto (1, 2).
(b) (1 pt.) Calcule a derivada direcional da func¸a˜o g(x, y) = ex−y cos(x2 − y2) no
ponto (2, 2) e na direc¸a˜o e sentido de maior crescimento de f .
2. (2 pts.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel e α(t) =
(
2t− 3,√t). Calcule a
derivada da func¸a˜o F (t) = f(α(t)) em t = 4, sabendo que
∂f
∂x
(5, 2) = 2 e
∂f
∂y
(5, 2) =
−8.
3. (2 pts.) Mostre que a equac¸a˜o x2y−4y2z−xyz2 = 3x−z3 define implicitamente uma
func¸a˜o diferencia´vel z = z(x, y) e expresse as derivadas parciais
∂z
∂x
e
∂z
∂y
em termos
de x, y e z.
4. (2,5 pts.) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x, y) =
y4
4
+ y3− 2xy2+2x2− 2x
e classifique-os como pontos de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de sela.
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (2,5 pts.)
(a) (1,5 pt.) Determine equac¸o˜es para o plano tangente e para a reta normal ao
gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = y3 − x2y − 2x no ponto (2, 1).
(b) (1 pt.) Calcule a derivada direcional da func¸a˜o g(x, y) = ex−y sen(x2 − y2) no
ponto (2, 2) e na direc¸a˜o e sentido de maior crescimento de f .
2. (2 pts.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel e α(t) =
(√
t, 2t− 3). Calcule a
derivada da func¸a˜o F (t) = f(α(t)) em t = 4, sabendo que
∂f
∂x
(2, 5) = −4 e ∂f
∂y
(2, 5) =
3.
3. (2 pts.) Mostre que a equac¸a˜o xy2−4x2z−xyz2 = 3y−z3 define implicitamente uma
func¸a˜o diferencia´vel z = z(x, y) e expresse as derivadas parciais
∂z
∂x
e
∂z
∂y
em termos
de x, y e z.
4. (2,5 pts.) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x, y) =
y4
4
+ y3+2xy2+2x2+2x
e classifique-os como pontos de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de sela.
Page 21
2a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
1. (2 pts.) Encontre uma equac¸a˜o para o plano tangente e uma equac¸a˜o para a reta
normal a` superf´ıcie dada por 2x3y2 + yz2 = 3x2z no (1, 1, 2).
2. (2,5 pts.) Seja z = x5y3 + x2y6 + x − y, com x = u2 + 2v3 e y = 2u3 − uv2. Calcule
∂z
∂u
e
∂z
∂v
para u = 1 e v = −1.
3. (2 pts.) Seja f(x, y) = x arctg x
y
. Calcule
∂f
∂−→u (1, 1), em que
−→u aponta na direc¸a˜o e
sentido de maior crescimento de f , no ponto (1, 1).
4. (2,5 pts.) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x, y) =
x3
3
+
y2
2
+ xy − x + y e
classifique-os como ponto de mı´nimo local, de ma´ximo local ou de sela.
Page 22
2a Avaliac¸a˜o - Simulado - 2o semestre de 2014
1. (2,0 pts.) Encontre equac¸o˜es para o plano tangente e para a reta normal a` superf´ıcie
determinada pela equac¸a˜o 2xz3 + y3z2 + 4z = x3y no ponto (1, 2,−1).
2. (2,0 pts.)
(a) (1 pt.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜odiferencia´vel e F (t) = f
(
te2−t, 8
t
)
. Calcule
F ′(2) sabendo que
∂f
∂x
(2, 4) = −7 e ∂f
∂y
(2, 4) = 2.
(b) (1 pt.) Determine um vetor unita´rio que na direc¸a˜o do qual a derivada direcional
da func¸a˜o f(x, y) = 2x3 − xy + y2 − y no ponto (1, 3) e´ nula.
3. (2,5 pts.) Calcule
∂w
∂u
para u = 1 e v = 2, em que w = x4y + 2y2z + z3, x = u + v,
y = uv e z = u2 − v2.
4. (2,5 pts.) Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x, y) =
x3
3
+
y2
2
− 2xy + 3x e
classifique-os como pontos de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de sela.
Page 23
2a Prova - tipo A - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Determine a equac¸a˜o reduzida da reta tangente a` curva representada pela
equac¸a˜o x3 + 2xy + y2 + y = 1 no ponto (−1, 2).
2. (2,5 pts.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel no R2 e F (t) = f(2t + 3, cos t).
Calcule F ′(0), sabendo que
∂f
∂x
(3, 1) = 6.
3. (2,5 pts.) A func¸a˜o T (x, y) = x2y − y2 mede a temperatura no ponto (x, y) de uma
chapa meta´lica identificada com uma regia˜o do plano xy.
(a) (1 pt.) Calcule a taxa de variac¸a˜o da temperatura da chapa no ponto (2, 1) e na
direc¸a˜o do vetor −→v = (3,−4).
(b) (1 pt.) Seja −→u o vetor unita´rio que, a partir do ponto (2, 1), indica a direc¸a˜o e
sentido de maior crescimento da temperatura. Calcule
∂T
∂−→u (2, 1).
(c) (0,5 pt.) Encontre um vetor unita´rio −→w para o qual ∂T
∂−→w (2, 1) = 0.
4. (2,5 pts.) Mostre que a equac¸a˜o x3y+y3z+z3x = 2 define implicitamente uma func¸a˜o
x = g(y, z), que satisfaz g(1, 2) = 0 e calcule as derivadas parciais
∂x
∂y
e
∂x
∂z
no ponto
(1, 2).
2a Prova - tipo B - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Determine a equac¸a˜o reduzida da reta tangente a` curva representada pela
equac¸a˜o y3 + 2xy + x2 + x = 1 no ponto (2,−1).
2. (2,5 pts.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel no R2 e F (t) = f(cos t, 2t + 3).
Calcule F ′(0), sabendo que
∂f
∂y
(1, 3) = 4.
3. (2,5 pts.) A func¸a˜o T (x, y) = x2y − y2 mede a temperatura no ponto (x, y) de uma
chapa meta´lica identificada com uma regia˜o do plano xy.
(a) (1 pt.) Calcule a taxa de variac¸a˜o da temperatura da chapa no ponto (2, 1) e na
direc¸a˜o do vetor −→v = (3,−4).
(b) (1 pt.) Seja −→u o vetor unita´rio que, a partir do ponto (2, 1), indica a direc¸a˜o e
sentido de maior crescimento da temperatura. Calcule
∂T
∂−→u (2, 1).
(c) (0,5 pt.) Encontre um vetor unita´rio −→w para o qual ∂T
∂−→w (2, 1) = 0.
4. (2,5 pts.) Mostre que a equac¸a˜o x3y+y3z+z3x = 2 define implicitamente uma func¸a˜o
x = g(y, z), que satisfaz g(1, 2) = 0 e calcule as derivadas parciais
∂x
∂y
e
∂x
∂z
no ponto
(1, 2).
Page 24
2a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Calcule a taxa de variac¸a˜o da func¸a˜o f(x, y) = ex seny no ponto
(
0,
pi
3
)
e
na direc¸a˜o do vetor −→v = (−6, 8).
2. (2,5 pts.) Seja z = x2 + xy3, com x = uv2 +w3 e y = u+ vew. Calcule
∂z
∂u
,
∂z
∂v
e
∂z
∂w
para u = 2, v = 1 e w = 0.
3. (2,5 pts.) Encontre equac¸o˜es para as retas que sa˜o tangentes a` curva x2+xy+y2 = 28
e paralelas a` reta 4x+ 5y = 1.
4. (2,5 pts.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel no R2, z = 4x+ y− 4 uma equac¸a˜o
para o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 2, f(1, 2)) e F (t) = f(2 −
t2, t3 + 1). Calcule F ′(1).
Page 25
2a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
1. (2 pts.) Encontre a equac¸a˜o reduzida da reta tangente a` curva, representada pela
equac¸a˜o x2y − y3 = 3, no ponto (2, 1).
2. (2 pts.) A func¸a˜o T (x, y) = x2 − xy2 mede a temperatura do ponto (x, y) de uma
chapa meta´lica identificada com uma regia˜o do plano xy. Calcule a taxa de variac¸a˜o da
temperatura da chapa no ponto (2,−1) e na direc¸a˜o e sentido no quais a temperatura
mais cresce.
3. (2,5 pts.)
(a) (1,5 pts) Explique por que existe uma func¸a˜o diferencia´vel y = f(x) que satisfaz
x3 − 2xf(x) + f(x)4 = 4 e f(1) = −1.
(b) (1 pt.) Calcule f ′(1).
4. (2,5 pts.) Sejam f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel no R2, 4x+ y− z = 3 uma equac¸a˜o
para o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 2, 3) e F (t) = f(t2−3, 3t−4).
Calcule F ′(2).
Page 26
Prova 3
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. (2 pts.) Calcule a integral dupla ∫∫
D
(4x2 − 2y) dA
em que D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2− x}.
2. (2,5 pts.) Calcule o volume do so´lido abaixo do paraboloide z = 9− x2 − y2 e acima
do plano xy.
3. (2 pts.) Calcule
∫∫∫
E
x2 dV em que E e´ o so´lido que esta´ dentro do cilindro x2+y2 = 1,
acima do plano z = 0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
4. (2,5 pts.) Calcule ∫∫∫
E
x
√
x2 + y2 + z2 dV
em que E e´ a parte da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1 contida no primeiro octante.
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. (2 pts.) Calcule a integral dupla ∫∫
D
(4x2 − 2y) dA
em que D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2− x}.
2. (2,5 pts.) Calcule o volume do so´lido abaixo do paraboloide z = 9− x2 − y2 e acima
do plano xy.
3. (2 pts.) Calcule
∫∫∫
E
x2 dV em que E e´ o so´lido que esta´ dentro do cilindro x2+y2 = 1,
acima do plano z = 0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
4. (2,5 pts.) Calcule ∫∫∫
E
x
√
x2 + y2 + z2 dV
em que E e´ a parte da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 1 contida no primeiro octante.
Page 28
3a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2013
1. (2 pts.) Calcule a integral dupla
∫∫
B
(3x2 − 2y) dA
em que B = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ x+ 2}.
2. (2,5 pts.) Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo por todos os pontos (x, y, z) tais
que x ≥ 0, y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ z ≤ 1.
3. (2 pts.) Calcule
∫∫∫
E
x
√
x2 + y2 dV em que E e´ o conjunto de todos os pontos (x, y, z)
tais que x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
4. (2,5 pts.) Calcule ∫∫∫
E
x
x2 + y2 + z2
dV
em que E e´ a regia˜o entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4 e contida no
primeiro octante.
Page 29
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (2 pts.) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) =
2
3
x3 + x2y +
1
2
y2 − 2y
e classifique-os como pontos de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de sela.
2. (2,5 pts.) Calcule a integral dupla
∫∫
B
(2x − 4y)dA em que B e´ o conjunto que
corresponde a a´rea hachurada na figura abaixo.
3. (2 pts.) Calcule
∫∫
D
y
(
x2 + y2
)5
dxdy em que
D = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 1}.
4. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
z
√
x2 + y2 + z2 dxdydz, em que E e´ a semi-esfera
E = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥ 0 e x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Page 30
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (2 pts.) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = −2x3 + x2y + 1
2
y2 + 2y
e classifique-os como pontos de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de sela.
2. (2,5 pts.) Calcule a integral dupla
∫∫
B
(4x− y)dA em que B e´ o conjunto que corre-
sponde a a´rea hachurada na figura abaixo.
3. (2 pts.) Calcule
∫∫
D
y
(
x2 + y2
)7
dxdy em que
D = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 1}.
4. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
z
√
x2 + y2 + z2 dxdydz, em que E e´ a semi-esfera
E = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥ 0 e x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Page 31
3a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
1. (2 pts.) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x
e classifique-os como pontos de ma´ximo local, de mı´nimo local ou de sela.
2. (2,5 pts.) Calcule a integral
∫∫
B
y
x+ y2
dA em que
B = {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ √x}.
3. (2,5 pts.) Calcule
∫∫
D
ex
2+y2dxdy em que
D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, −x ≤ y ≤ x, x ≥ 0}.
4. (2 pts.) Calcule
∫∫∫
E
z dxdydz, em que E e´ o conjunto
E = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥
√
x2 + y2, x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Page 32
3a Prova - tipoA - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (4 pts.)
(a) (2 pts.) Calcule ∫∫
R
(3x2y − 4x)dA,
em que R e´ o retaˆngulo {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.
(b) (2pts.) Sejam D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 3 − x} e f(x, y) = 2xy,
com (x, y) ∈ D. Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo pelos pontos (x, y, z)
que esta˜o abaixo do gra´fico de f e acima do plano xy.
2. (2 pts.) Calcule ∫∫
B
x
√
x2 + y2 dxdy,
em que B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0, e x2 + y2 ≤ 1}.
3. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
z e3x
2+3y2 dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ; x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 2}.
4. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
x√
x2 + y2 + z2
dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4}.
Page 33
3a Prova - Tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (4 pts.)
(a) (2 pts.) Calcule ∫∫
R
(6xy2 − 2y)dA,
em que R e´ o retaˆngulo {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.
(b) (2pts.) Sejam D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 3 − x} e f(x, y) = 4xy,
com (x, y) ∈ D. Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo pelos pontos (x, y, z)
que esta˜o abaixo do gra´fico de f e acima do plano xy.
2. (2 pts.) Calcule ∫∫
B
y
√
x2 + y2 dxdy,
em que B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0, e x2 + y2 ≤ 1}.
3. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
z e5x
2+5y2 dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ; x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 2}.
4. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
x√
x2 + y2 + z2
dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4}.
Page 34
3a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
1. (4 pts.)
(a) (2 pts.) Calcule ∫∫
R
(xy − y2)dA,
em que R e´ o retaˆngulo {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤ 1}.
(b) (2 pts.) Calcule ∫∫
B
y dA,
em que B = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ pi, 0 ≤ x ≤ seny}.
2. (2 pts.) Calcule ∫∫
B
x(x2 + y2)5 dxdy,
em que B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, −x ≤ y ≤ x e x2 + y2 ≤ 1}.
3. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
xyz dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 3}.
4. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
xz
x2 + y2 + z2
dxdydz
em que E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4}.
Page 35
3a Prova - Simulado - 2o semestre de 2014
1. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Calcule ∫∫
R
(4x3y − 2x− 6y)dA,
em que R e´ o retaˆngulo {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4}.
(b) (1,5 pt.) Sejam D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 2 e 1
x
≤ y ≤ x} e f(x, y) = x3y, com
(x, y) ∈ D. Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo pelo ponto (x, y, z) que esta˜o
abaixo do gra´fico de f e acima do plano xy.
2. (2 pts.) Calcule ∫∫
B
xy dxdy,
em que B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0, e 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
3. (2 pts.) Calcule ∫∫∫
E
yz2
(x2 + y2)2
dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ∈ R3 ; y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 3}.
4. (2,5 pts.) Calcule ∫∫∫
E
z2√
x2 + y2 + z2
dxdydz,
em que E = {(x, y, z) ∈ R3 ; z ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4}.
Page 36
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Encontre, caso existam, os pontos de mı´nimo local, os de ma´ximo local e
os de sela da func¸a˜o f(x, y) = x3 + 2y2 + 2xy − x+ 2y.
2. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo pelos pontos (x, y, z) que satis-
fazem 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ 3x2 + 2y.
(b) (1,5 pt.) Calcule
∫∫
B
x(x2 + y2) dxdy em que
B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 1}.
3. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
(x2+y2) dxdydz, em que E e´ o so´lido constitu´ıdo pelo pontos
(x, y, z) que esta˜o no primeiro octante e abaixo do paraboloide z = 1− x2 − y2.
4. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
x dxdydz, em que
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Encontre, caso existam, os pontos de mı´nimo local, os de ma´ximo local e
os de sela da func¸a˜o f(x, y) = x3 + 2y2 + 2xy − 2x+ 4y.
2. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo pelos pontos (x, y, z) que satis-
fazem 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ 3x2 + 2y.
(b) (1,5 pt.) Calcule
∫∫
B
x(x2 + y2) dxdy em que
B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 1}.
3. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
(x2+y2) dxdydz, em que E e´ o so´lido constitu´ıdo pelo pontos
(x, y, z) que esta˜o no primeiro octante e abaixo do paraboloide z = 1− x2 − y2.
4. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
x dxdydz, em que
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Page 37
3a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
1. (2,5 pts.) Encontre, caso existam, os pontos de mı´nimo local, os de ma´ximo local e
os de sela da func¸a˜o f(x, y) = 2y4 + 2y3 + 2xy2 + x2 + 2x.
2. (2,5 pts.)
(a) (1 pt.) Calcule
∫∫
B
2x dxdy, em que
B = {(x, y) ∈ R2 ; −1 ≤ y ≤ 2 e y2 − 1 ≤ x ≤ y + 1}.
(b) (1,5 pt.) Calcule
∫∫
B
(2x2 + 3y) dxdy em que
B = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 4}.
3. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
zy2(x2 + y2) dxdydz, em que E e´ o so´lido constitu´ıdo pelos
pontos que esta˜o dentro do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo do plano z = 2.
4. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
y dxdydz, em que
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 e x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Page 38
3a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
1. (2 pts.) Encontre os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x, y) = 2x3 + 4y2 + 4xy + x + 3y e
classifique-os como pontos de mı´nimo local, pontos de ma´ximo local e pontos de sela.
2. (1 pt.) Calcule o volume do so´lido constitu´ıdo pelos pontos (x, y, z) que satisfazem
0 ≤ x ≤ 1, x3 ≤ y ≤ 2− x e 0 ≤ z ≤ 5x+ 2y.
3. (1 pt.) Calcule
∫∫
B
x
x2 + y2
dxdy, em que
B = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
4. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
zx2
√
x2 + y2 dxdydz, em que E e´ a parte do cilindro x2+y2 ≤
1 que esta´ acima do parabolo´ide z = x2 + y2 e abaixo do plano z = 4.
5. (2,5 pts.) Calcule
∫∫∫
E
y dxdydz, em que
E = {(x, y, z) ∈ R3 ; y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Page 39
Respostas
1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
2.
∂f
∂x
(x, y) = 4x3y2 − 2xy + 1, ∂f
∂y
(x, y) = 2x4y − x2 − 3.
3.
1
27
(
13
√
13− 8
)
4.


x = 4 + 2λ
y = 3 + 4λ
z = 2 + 3λ
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
2.
∂f
∂x
(x, y) = 2xy4 − y2 + 1, ∂f
∂y
(x, y) = 4x2y3 − 2xy − 5.
3. 2
(
2
√
2− 1)
4.


x = 9 + 3λ
y = 7 + 6λ
z = 3 + 4λ
1a Prova - tipo A - segunda chamada - 2o semestre de 2013
2.
∂f
∂x
(x, y) = 2x cos(x4y2 − y)− 4x5y2 sen(x4y2 − y),
∂f
∂y
(x, y) = −x2(2x4y − 1) sen(x4y2 − y).
3. 4
4. (a) 0 (b) Na˜o existe
1a Prova - tipo B - segunda chamada - 2o semestre de 2013
2.
∂f
∂x
(x, y) = y2(2xy4 − 1) cos(x2y4 − x),
∂f
∂y
(x, y) = 2y sen(x2y4 − x) + 4x2y5 cos(x2y4 − x).
3. 4
4. (a) 0 (b) Na˜o existe
1a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
2.
∂f
∂x
(x, y) = 4x3 ln(x2 + y2 + 1) +
2x5
x2 + y2 + 1
,
∂f
∂y
(x, y) =
2x4y
x2 + y2 + 1
.
Page 41
3. (a) 0 (b) Na˜o existe
4. 6
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
2.
∂f
∂x
(x, y) = 3x2
√
x2 + y2 +
x4√
x2 + y2
,
∂f
∂y
(x, y) =
x3y√
x2 + y2
.
3. (a) 0 (b) Na˜o existe
4.
22
3
1a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
2.
∂f
∂x
(x, y) = 2xex
2
3
√
x2y2 − x+ y+ (2xy
2 − 1)ex2
3 3
√
(x2y2 − x+ y)2 ,
∂f
∂y
(x, y) =
(2x2y + 1)ex
2
3 3
√
(x2y2 − x+ y)2 .
3. ln(
√
2 + 1)
4.


x = −1
3
+ λ
y = 1
9
− 2
3
λ
z = − 1
27
+ 1
3
λ
1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1.
∂f
∂x
(x, y) = 20x3y2 − 4y + 6x, ∂f
∂y
(x, y) = 10x4y − 4x− 15y2.
3. (a) 0 (b) Na˜o existe
4. (a) (x, y, z) = (2, 0,−1) + λ(2, 3, 2) (b) 1
27
(
29
√
29− 20√20)
1a Prova - tipo B - primeira chamada- 2o semestre de 2014
1.
∂f
∂x
(x, y) = 14xy4 − 2y + 15x2, ∂f
∂y
(x, y) = 28x2y3 − 2x− 6y.
3. (a) 0 (b) Na˜o existe
4. (a) (x, y, z) = (2, 0, 3) + λ(1, 12, 4) (b) 1
27
(
29
√
29− 20√20)
1a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
1. f(x, y) = 7x+ 2x2y4 − sen2x+ (y − 1)ey + 2
3. (a) 1
4
(b) Na˜o existe
Page 42
4. (a) 5
3
(b) (x, y, z) = (−3, 4, 4) + r(4,−2,−6).
1a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = −2x(x
2 + 1) sen(x2 + y3) + 2x cos(x2 + y3)
(x2 + 1)2
,
∂f
∂y
(x, y) = −3y
2 sen(x2 + y3)
x2 + 1
.
2. (a) 0 (b) Na˜o existe
3. 4
4. (x, y, z) = (8, 12, 58
3
) + λ(1, 1, 3)
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = −2x(x
2 + 1) cos(x2 − y3)− 2x sen(x2 − y3)
(x2 + 1)2
,
∂f
∂y
(x, y) = −3y
2 cos(x2 − y3)
x2 + 1
.
2. (a) 0 (b) Na˜o existe
3. 4
4. (x, y, z) = (8, 12, 58
3
) + λ(1, 1, 3)
1a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = 2x 5
√
x2y3 − x3 + y2+ x
2(2xy3 − 3x2)
5 5
√
(x2y3 − x3 + y2)4 ,
∂f
∂y
(x, y) =
x2(3x2y2 + 2y)
5 5
√
(x2y3 − x3 + y2)4 .
3. (a) 3 (b) Na˜o existe
4. 116
15
1a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = 3x2 sen(x2y − 2y2) + 2x4y cos(x2y − y2)
∂f
∂y
(x, y) = x3(x2 − 4y) cos(x2y − 2y2)
2. (a) 0 (b) Na˜o existe
3. 13
4. (−9,−6, 3)
1a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = x
[
2 cos(xy3)− xy3 sen(xy3)], ∂f
∂y
(x, y) = −3x3y2 sen(xy3).
Page 43
2. (0, 7, 8)
3. 2
3
(2
√
2− 1)
1a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = 3x2y3 cos(x3y),
∂f
∂y
(x, y) = y
[
2 sen(x3y) + x3y cos(x3y)
]
.
2. (−2, 0,−3)
3.
1a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2015
1.
∂f
∂x
(x, y) = 3x2ex
3
√
x2y4 + 1 +
2xy4ex
3
√
x2y4 + 1
,
∂f
∂y
(x, y) =
4x2y3ex
3
x2y4 + 1
.
2. (−2, 0,−3)
3.


x = −3 + 4λ
y = 4− 2λ
z = 4− 6λ
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. −13
2. (a)
∂z
∂x
=
7− 3x2y2 − 8xz
4x2 + 6y2z2
(b) −76
5
3. (1, 0) e´ ponto de sela e (3,−4) e´ ponto de mı´nimo local.
4. z = 2
√
2y e z = −2√2y.
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. −22
2. (a)
∂z
∂x
=
5− 3x2y2 − 4xz
2x2 + 9y2z2
(b) 76
5
3. (−2,−1) e´ ponto de sela e (3,−6) e´ ponto de mı´nimo local.
4. z = 2
√
2x e z = −2√2x.
2a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2013
1. z = −1
4
x+ y − 11
9
Page 44
2. (b)
dy
dx
= −3x
2 + 4xy2
4x2y + 3y2
3.
√(
pi
4
+ 1
2
)2
+ 1
4
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1.
∂z
∂x
= −1 + 4xy
3 + 2x
y + 3x2z2
∂z
∂y
= −6x
2y2 + z − 1
y + 3x2z2
2. 1
4
3. (a) 54
5
(b)
∂2f
∂x2
(x, y) = 2 cos(x2+y3)−4x2 sen(x2+y3), ∂
2f
∂y∂x
(x, y) = −6xy2 sen(x2+y3)
∂2f
∂x∂y
(x, y) = −6xy2 sen(x2+ y3), ∂
2f
∂x2
(x, y) = 6y cos(x2+ y3)−9y4 sen(x2+ y3).
4. z = 2x− 2y − 2
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1.
∂z
∂x
= −1 − 2xy
3 + 2xz3
y + 3x2z2
∂z
∂y
= −2 + z − 3x
2y2
y + 3x2z2
2. −1
4
3. (a) 51
5
(b)
∂2f
∂x2
(x, y) = 6x cos(x3+y2)−9x4 sen(x3+y2), ∂
2f
∂y∂x
(x, y) = −6x2y sen(x3+y2)
∂2f
∂x∂y
(x, y) = −6x2y sen(x3 + y2), ∂
2f
∂x2
(x, y) = 2 cos(x3 + y2)− 4y2 sen(x3 + y2).
4. z = −2x+ 2y − 2
2a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
1. 8
2.
dy
dx
= −
2x
3 3
√
(x2+y2)2
− cos(x− y) + x sen(x− y)
2y
3 3
√
(x2+y2)2
− x sen(x− y)
3. 0
4. x+ 6y − 2z = 3
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
Page 45
1. (a) 7x+ 2y − z = 10, (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ(7, 2,−1). (b) √2
2. 2
3.
∂z
∂x
= − 2xy − yz
2 − 3
3z2 − 4y2 − 2xyz ,
∂z
∂y
= − x
2 − 8yz − xz2
3z2 − 4y2 − 2xyz .
4.
(
1
2
, 0
)
e
(
5
2
, 2
)
sa˜o pontos de sela; (1, 1) e´ ponto de mı´nimo local.
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (a) 6x+ y + z = 6, (x, y, z) = (2, 1,−7) + λ(−6,−1,−1). (b) 4√2
2. 5
3.
∂z
∂x
= − y
2 − 8xz − yz2
3z2 − 4x2 − 2xyz ,
∂z
∂y
= − 2xy − xz
2 − 3
3z2 − 4x2 − 2xyz .
4.
(−1
2
, 0
)
e
(−5
2
, 2
)
sa˜o pontos de sela; (−1, 1) e´ ponto de mı´nimo local.
2a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
1. 6x− 8y − z = −4, (x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(−6, 8, 1).
2.
∂z
∂u
= 18,
∂z
∂v
= 28.
3.
√(
pi
4
+ 1
2
)2
+ 1
4
4. (−1, 0) e´ ponto de sela e (2,−3) e´ ponto de mı´nimo local.
2a Prova - simulado - 2o semestre de 2014
1. 8x− 11y + 6z = −20, (x, y, z) = (1, 2,−1) + λ(−8, 11,−6).
2. 3, (b)
(−4
5
, 3
5
)
ou
(
4
5
,−3
5
)
.
3. 400
4. (1, 2) e´ ponto de sela e (3, 6) e´ ponto de mı´nimo local.
2a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. y = −7
3
x− 1
3
2. 12
3. (a) 4
5
(b) 2
√
5 (c) −→w =
(√
5
5
,−2
√
5
5
)
Page 46
4.
∂x
∂y
(1, 2) = −3
4
∂x
∂z
(1, 2) = −1
8
2a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. y = −3
7
x− 1
7
2. 8
3. (a) 4
5
(b) 2
√
5 (c) −→w =
(√
5
5
,−2
√
5
5
)
4.
∂x
∂y
(1, 2) = −3
4
∂x
∂z
(1, 2) = −1
8
2a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
1. 4−3
√
3
10
2.
∂z
∂u
(2, 1, 0) = 85,
∂z
∂v
(2, 1, 0) = 178,
∂z
∂w
(2, 1, 0) = 54.
3. 4x+ 5y = 28, 4x+ 5y = −28.
4. −5
2a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
1. y = −4x+ 9
2. 5
3. (a) Existe uma tal func¸a˜o y = f(x) porque a func¸a˜o F (x, y) = x3 − 2xy+ y4− 4 e´
de classe C1 em R2, F (1,−1) = 0 e ∂F
∂y
(1,−1) 6= 0.
(b)
5
6
4. 19
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2013
1. −2
3
2. 81
2
pi
3. 2
5
pi
4. pi
20
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2013
Page 47
1. −23
6
2. 8pi
3. 2
5
pi
4. pi
20
3a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2013
1. −52
15
2. pi
8
3. 1
6
4. 3pi
8
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (−1, 1) e (2,−2) sa˜o pontos de sela e (0, 2) e´ ponto de mı´nimo local.
2. −11
10
3. 2
13
4. pi
5
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2014
1. (0,−2) e (−2, 6) sa˜o pontos de sela e (−1,−3) e´ ponto de mı´nimo local.
2. 3
5
3. 2
17
4. pi
5
3a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2014
1.
(
5
3
,−5
3
)
e´ ponto de mı´nimo local e (−1, 1) e´ ponto de sela.
2. 2
3
ln 2
3. pi
4
(e4 − e)
4. pi
8
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 2o semestre de 2014
Page 48
1. (a) −3 (b) 31
12
2. 1
4
3. 2pi
3
(e3 − 1)
4. 7pi
12
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 2o semestre de 2014
1. (a) 6 (b) 31
6
2. 1
4
3. 2pi
5
(e5 − 1)
4. 7pi
12
3a Prova - segunda chamada - 2o semestre de 2014
1. (a) −4
3
(b) pi
2.
√
2
13
3. 9
16
4. 7
9
3a Prova - simulado - 2o semestre de 2014
1. (a) 60 (b)
9
2
2.
15
8
3. 9
4.
5pi
2
3a Prova - tipo A - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1. (1,−1) e´ ponto de mı´nimo local e (−2
3
,−1
6
)
e´ ponto de sela.
2. (a) 17
60
(b) 1
5
3. pi
24
4. pi
16
Page 49
3a Prova - tipo B - primeira chamada - 1o semestre de 2015
1.
(
4
3
,−5
3
)
e´ ponto de mı´nimo local e
(−1,−1
2
)
e´ ponto de sela.
2. (a) 3
10
(b) 1
5
3. pi
24
4. pi
16
3a Prova - segunda chamada - 1o semestre de 2015
1.
(−5
4
, 1
2
)
e (−5,−2) sa˜o pontos de mı´nimo local e (−1, 0) e´ ponto de sela.
2. (a) 27
5
(b) 16 + 4pi
3. 16
24
pi
4. pi16
3a Prova - simulado - 1o semestre de 2015
1.
(
1
2
,−5
8
)
e´ ponto de mı´nimo local e
(
−1
6
,− 7
24
)
e´ ponto de sela.
2.
95
21
3. 1
4.
139
90
pi
5.
pi
8
Page 50