Geometria Analitica

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PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATOLICA DE MINAS GERAIS
GEOMETRIA ANALITICA
ENGENHARIA DE ENERGIA
1º PERIODO
ACSA STEFANIE AGUIAR
AS APLICAÇOES DA GEOMETRIA ANALITICA NA ENGENHARIA
BELO HORIZONTE
JUNHO
2017
INTRODUÇÃO
Na matemática clássica, a geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana.
Descartes e Fermat estabeleceram independentemente a geometria analítica na década de 1630, através da adaptação da álgebra de Viète no estudo do lugar geométrico. Entretanto, Descartes recebe, algumas vezes, o crédito exclusivo pelo desenvolvimento deste campo matemático.
APLICAÇÕES
 A geometria analítica na área de Energia tem uma atuação um tanto sutil, aparecendo mais indiretamente do que em outras áreas, porém ainda com sua importância.
Podemos perceber a geometria um tanto que escondida nessa área, mas com sua presença constante.
A geometria analítica se encontra por exemplo no movimento do sol: As únicas órbitas possíveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com outro são as secções cônicas: círculo, elipse, parábola ou hipérbole; planetas têm órbitas elípticas.
De acordo com a 1ª Lei de Kepler
 
A lei das órbitas elípticas dos planetas é uma consequência do tipo de força (F ∝ 1/r2) que atua entre os planetas e o Sol. 
 
Círculo Elipse  Parábola  Hipérbole
Um círculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b
Uma parábola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞
Uma hipérbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0
Se o corpo tiver movimento periódico, como os planetas, sua trajetória será circular ou elíptica; se o movimento for não periódico, como é o caso de alguns cometas e asteróides, a trajetória será parabólica ou hiperbólica.
O fator decisivo sobre o tipo de órbita é a energia do sistema.
energia <0 → órbita elíptica ou circular
energia = 0 → órbita parabólica
energia >0 → órbita hiperbólica
 
  Equaçao da Elipse:
 Area da Elipse:
	A = πab
De acordo com a 2ª lei de Kepler
O momentum angular dos planetas em relação ao Sol é constante, portanto dA/dt = h/2 = constante 
onde
da/dt = velocidade "areal" do planeta = área varrida pelo raio vetor que une o planeta ao Sol por intervalo de tempo
h = momentum angular por unidade de massa
Dedução:
(1)Definição de momentum angular: 
  L = r ×p = r ×mv 
 
onde o produto vetorial × é tal que o vetor resultante é perpendicular ao plano definido pelos dois vetores envolvidos na operação, e tem módulo igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo seno do angulo entre eles.
ou seja, se o ângulo entre r e v é α,então: 
  L = rmv senα
Se v são paralelos, r × v = 0
(2) Prova de que o momentum angular de um planeta em relação ao Sol é constante:
dL/dt = d( r × p )/dt = (dr/dt × p + r ×(dp/dt) = dv ×p + r ×(dp/dt) = r ×F
Se F tem a mesma direção de r, como é o caso da força gravitacional, então r ×F= 0  →  dL/dt = 0 e L = constante. 
 
(3) Prova de que o módulo do momentum angular do planeta é igual à área varrida pela linha reta que o liga ao Sol 
 
Considerando a figura abaixo:
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  A área descrita pela linha reta (r) unindo o ponto P a F, quando ele se desloca até Q, é aproximadamente (para um intervalo de tempo pequeno) igual à área de um triângulo de base rΔθ e altura r.
ΔA = 1/2 r rΔθ
Em um tempo Δt:
ΔA/Δt = 1/2 r²Δθ/Δt
O momentum angular é definido como:
L = r × mv  →  L = rmvt
Onde chamamos vt à componente de v na direção perpendicular a r. para um intervalo de tempo Δt pequeno, vt pode ser aproximado pelo pedaço da órbita percorrido durante esse tempo, que é igual ao arco subtendido pelo ângulo Δθ, ou seja:
L = m r² Δθ/Δt
Comparando a expressão de ΔA/Δt com a expressão de L, vemos que:
ΔA/Δt = 1/2 L/m
que é constante porque o momentum angular e a massa são constantes.
  Portanto:
A lei das áreas de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momentum angular. 
 
Considerando um intervalo de tempo infinitesimal, e adotando h = L/m, temos:
	dA/dt = h/2
Integrando a equação acima em um período orbital completo temos:
∫dA = h/2∫dt
ou
A = h/2 P
Como a área da elipse é
A = πab (área da elipse)
Logo o momentum angular por unidade de massa é:
	h= 2πab/P
	
Os usos da geometria na área vem desde retas, com o uso do plano cartesiano R2 e R3 e planos ao uso de cônicas, quádricas.
A geometria analítica também pode ser utilizada no cálculo de desenvolvimento de equaçoes, usada para encontrar vetores de força resistência que atuem sobre determinados projetos, encontrando-os e para assim poder anular os mesmos, fazendo assim a obra ter uma maior resistência e durabilidade. Os mostrados acima também são um exemplo.