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Conservação da Massa, Momento e Energia Profa Marilda Carvalho sumário Introdução Conservação da Massa – Equação da Continuidade Análise da Equação da Continuidade - hipóteses Resolução de exercícios Exercício proposto Introdução A conservação da massa é um dos princípios mais úteis para a mecânica dos fluidos. Muitos dispositivos são analisados com base na conservação da massa. Como por exemplo, os escoamentos intratubulares que envolvem gases ou líquidos, as turbinas, os trocadoes de calor, as caldeiras, as bombas entre outros. As equações da conservação da massa são obtidas aplicadas a um volume de controle determinado, onde são analisadas as entradas , saídas na S.C. ou o acúmulo de massa no V.C. A partir da análise considerando a conservação da massa é possível determinar importantes parâmetros dos sistemas como velocidade e vazões de escoamentos. PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA As equações integrais de Mecânica dos Fluidos são utilizadas num volume de controle (V.C.) para analisar o campo de escoamento de maneira global. As equações diferenciais são utilizadas para estudar o campo de escoamento em forma mais detalhada. O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA é definido como: TAXA DE VARIAÇÃO DE MASSA DO V.C. VAZÃOOU FLUXO DE MASSA ATRAVÉS DA S.C. zero PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA é definido como: FORMA INTEGRAL DA EQ DA CONSERVAÇÃO DA MASSA EM UM V.C. TAXA DE VARIAÇÃO DE MASSA NO TEMPO DO V.C. VAZÃO/ FLUXO DE MASSA ATRAVÉS DA S.C. ZERO 0 = 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉 + 𝜌𝑉 𝑑𝐴 𝑆𝐶 𝑉𝐶 CONSERVAÇÃO DA MASSA 0 = 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉 + 𝜌𝑉 𝑑𝐴 𝑆𝐶 𝑉𝐶 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = − 𝛁.𝛒𝐯 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = − 𝜕 𝜕𝑥 ρu + 𝜕 𝜕𝑦 ρv + 𝜕 𝜕𝑧 ρw 𝑑 𝑑𝑡 𝜌𝑑𝑉 = 𝑚 − 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑉𝐶 𝑚 𝑠𝑎𝑖 Equação da Conservação da massa Forma Integral Forma Diferencial Forma Vetorial Em termos de Vazão Mássica 𝜕 𝜕𝑡 𝜌𝑑𝑉 + 𝜌𝑉 𝑑𝐴 = 0 𝑆𝐶 𝑉𝐶 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜕𝑥 ρu + 𝜕 𝜕𝑦 ρv + 𝜕 𝜕𝑧 ρw = 0 𝑑 𝑑𝑡 𝜌𝑑𝑉 = 𝑚 − 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑉𝐶 𝑚 𝑠𝑎𝑖 Equação da Conservação da Massa Escoamento incompressível Escoamento Incompressível – massa específica constante 𝜌=constante, o escoamento não depende do tempo , nem das coordenadas espaciais. Forma Diferencial Forma Vetorial Em termos de Vazão Mássica 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜕𝑥 ρu + 𝜕 𝜕𝑦 ρv + 𝜕 𝜕𝑧 ρw = 0 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 𝑑 𝑑𝑡 𝜌𝑑𝑉 = 𝑚 − 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑉𝐶 𝑚 𝑠𝑎𝑖 𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑚 𝑠𝑎𝑖 Velocidade e vazões Vazão volumétrica=volume/empo (m3/s) Vazão Mássica (kg/s) Vazão em peso Velocidade média de um escoamento Equação da Continuidade A1 V1 𝜌1 A2 V2 𝜌2 1. Água escoa em um tubo cuja seção possui área variável em todos os pontos. O líquido ocupa todo o interior do tubo. No ponto 1 a seção reta tem uma área de 0,15m2 onde velocidade do escoamento é de 3,0 m/s. Determine: a) velocidade do fluido na seção 2 que vale 0,2m2, b) a volume de água descarregada em 2 horas. 2 Exemplo 1 b) O volume de água descarregada em 2 horas= 7200 s. A1=0,15m2 v1=3 m/s 2 A2=0,20 m2 v2=? Solução 1 a) velocidade do fluido na seção 2 , A2=0,2m2 Usando a equação da continuidade para fluido incompressível: O volume V=Q/t Exemplo 2 solução Exemplo 3 Escoamento em junção de tubos 1 3 2 Considere o escoamento de um fluido em um sistema de junções tubular semelhante ao diagrama abaixo. Os diâmetros dos tubos 1, 2 e 3 valem respectivamente 50 cm2; 40cm2; 60 cm2. No tubo 1 a velocidade média é de 2m/s. Se o tubo 2 escoa uma vazão equivalente a 30% da vazão de entrada, determine a vazão total e a velocidade média em cada tubo. Solução 1 3 2 Considerando o escoamento permanente, a eq da continuidade se torna: Dados: D1=50 cm2; D2= 40cm2; D3=60 cm2; Q2=30%Q1=0,3Q1; Velocidade média em 1=u1=2m/s Exercício Proposto Considere o escoamento da água em um sistema de junção tubular conforme o diagrama abaixo. O reservatório 1 enche completamente em 3 min e o reservatório 3 em 7 minutos, ambos em formato cúbico. Determine a velocidade na seção de entrada, cujo diâmetro vale 90cm.
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