porcentagem

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segunda-feira, 11 de maio de 2015
PORCENTAGEM EXERCÍCIOS
PORCENTAGEM EXERCÍCIOS
    No artigo de porcentagem, estudamos a teoria e fizemos vários exemplos. Abaixo estão exercícios com diferentes níveis de dificuldade e todos estão com resolução comentada.
EXERCÍCIOS
1) Uma cidade possui uma população de 100.000 habitantes, dos quais alguns são eleitores. Na eleição para a prefeitura da cidade havia 3 candidatos. Sabendo-se que o candidato A obteve 20% dos votos dos eleitores, que o candidato B obteve 30%, que os votos nulos foram 10%, que o candidato C obteve 12.000 votos e que não houve abstenções, a parte da população que não é eleitora é de quantos habitantes.
SOLUÇÃO:
População: 100.000
A = 20% dos votos
B = 30% dos votos
C = ?
N = 10%
N + A + B + C = 100% --> 10 + 20 + 30 + C = 100 ----> C = 40%
Fazendo uma regra de três (diretamente proporcional):
12000 ---- 40%
    x   ------100%
x = 30.000 habitantes, Logo 100.000 - 30.000 = 70.000 habitantes não são eleitores.
2) (Metrô-Técnico de Contabilidade-2°G-IDR/94) João, Antônio e Ricardo são operários de uma certa empresa Antônio ganha 30% a mais que João, e Ricardo, 10% a menos que Antônio. A soma dos salários dos três neste mês, foi de R$ 4.858,00. Qual a quantia que coube a Antônio?
SOLUÇÃO:
João (J), Antônio(A) e Ricardo(R).
 Juntos no mês ganham: J + A + R = 4.858.
Antônio ganha 30% a mais que João:
A = J + (J . 0,30) ---> A = J . ( 1 + 0,30)  ---> A = J1,30 ---> J = 1/1,30A ---: J = 10/13A
 Ricardo, 10% a menos que Antônio:
R = A - (A . 0,10) ---> R = A . (1 - 0,10) ---> R = 0,9A---> R = 9/10A
SUBSTITUINDO:
J + A + R = 4.858 ---> (10/13A) + A +  (9/10A) = 4.858 ---> 100A + 130A + 117A = 631.540 ---> 347A = 631.540 ---> A = 1.820.
Logo, coube a Antônio a quantia de R$ 1.820,00.
3) (CEB-Contador-IDR/94) Para obter um lucro de 25% sobre o preço de venda de um produto adquirido por R$ 615,00, o comerciante deverá vendê-lo por quanto?
SOLUÇÃO:
Eu não posso calcular assim:
L = 25% de 615 = 153,75---> V = C + L ---> V = 615 + 153,75 = 768,75
Neste caso você calculou o lucro sobre o preço de custo o que é normal e costumeiro, quando nada for dito, entretanto o problema pede o preço sobre o preço de venda, note que é diferente o lucro será maior nesse segundo caso:Lucro 25% sobre a venda: L = V . 0,25 = 0,25V; C = preço de custo, V = venda.
V= C+L---> V = C + 0,25.V ---> V = 615 + 0,25V ---> 615 = V - 0,25V ---> 615 = 0,75V ---> V = 820 . Logo: R$ 820,00
4)(TTN/89-2°G) Antônio comprou um conjunto de sofás com um desconto de 20% sobre o preço de venda. Sabendo-se que o valor pago por Antônio foi de R$ 1.200,00, de quanto era o preço de venda da mercadoria?
SOLUÇÃO:
Antônio pagou então 80% sobre o preço de venda, pois teve um desconto de 20%. V = venda.
80% = 0,8 -----> 0,8.V = 1200 ---> V = 1.500.
Logo, o preço de venda era de R$ 1.500,00
5) (TTN/89) Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a despesas. De quantos por cento foi o lucro líquido do comerciante?
SOLUÇÃO:
Se não se fala em nada, tem-se que os lucros são vistos em função do custo.
lucro bruto de 20%: L = 20% . C. = 0,2C
V = C + L ---> V = C + (0,2.C) = 1,2C
Mas veja que 10% de todo esse valor foi a despesa.
10% de 1,2C = 0,10 . 1,2C = 0,12C
Lucro líquido é lucro bruto menos as despesas.
L líquido = L bruto - despesas = 1,2C - 0,12C = 1,08C
Note que esse é o preço da venda colocando na fórmula e separando as partes do resultado:
V = C + L ---> V = 1,08C ---->  V = C + 0,08C ---> L = 0,08C ---> L = 8%
Logo, o lucro foi de 8%.( Note que na fórmula ficou o valor de C (custo) e o Lucro de 8% em cima do custo).
6) Um cliente obteve de um comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve, por parte do comerciante um lucro ou um prejuízo e de quanto?
SOLUÇÃO:
Vamos tirar os dados: Preço de venda em desconto 20% superior ao preço de custo V = 1,2C.
O cliente pagou na mercadoria com 20% de desconto 80% no preço da mercadoria, ou seja, preço de venda 0,8V.
  Note que como pagou 0,8.V e V = 1,2C, logo 0,8 . 1,2C = 0,96C, veja que não passou nem de 1 que no caso significaria que passou 100% do preço de custo. Veja colocando na fórmula para você visualizar.
V = C + L --->V = 0,96C ----> V = C - 0,04C
Portanto, o comerciante teve um prejuízo de 4%.
7) Um terreno foi vendido por R$16.500,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:
SOLUÇÃO:
L = 10% do custo = 0,10C, Venda = 16.500.
V = C + L ---> 16.500 = C + 0,10C ----> C = 16.500/1,10 ---> C = R$ 15.000,00
Na segunda venda o lucro foi de:
V = C + L ---> 20.700 = 15.000 + L ---> L = 5.700
A pergunta é qual a porcentagem sobre o lucro inicial:
5.700/15.000 = 0,38 ou 38%.
8) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$4.500,00 e R$5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em porcentagem de:
SOLUÇÃO:
Note que 90% do salário bruto(SB) é o salário líquido(SL) : 
SL = 90/100SB ----> SL = 9/10SB---> SB = 10/9SL
primeiro mês:  parte fixa: 2.300,  salário líquido (SL) 4.500:
 SB = 10/9SL = (10/9) . 4.500 = (10.4500)/9 = 5.000
segundo mês:  parte fixa: 2.300,  salário líquido (SL) 5.310:
 SB = 10/9SL = (10/9) . 5.310 = (10.5310)/9 = 5.900
     Veja que todo valor que excedeu a parte  fixa é os 3% que excedeu as vendas, posso até colocar na fórmula, como ele não teve custo e o lucro foi os 3% sobre a venda (3/100. V = (3.V)/100).
Primeiro mês: 5.000 - 2.300 = 2.700 --> (comissão 3%)
V= C+L --> 2.700 = 0 + (3.V)/100---> V= (2.700 . 100)/3 = 90.000
   Esse cálculo corresponde ao valor excedido de R$10.000,00. Assim somamos R$10.000,00 ao valor.
V = 90.000 + 10.000 = 100.000
segundo mês: 5.900 - 2.300 = 3.600 --> (comissão 3%)
V= C+L--->3.600 = 0 + (3.V)/100----> V= (3.600 . 100)/3= 120.000
     Esse cálculo corresponde ao valor excedido de R$10.000,00. Assim somamos R$10.000,00 ao valor .
V = 120.000 + 10.000 = 130.000
Pergunta qual a porcentagem do segundo mês em relação ao primeiro?
       segundo/primeiro = 130.000/100.000 = 1,30 ou 130%. Portanto suas vendas aumentaram 30%.
9) A diferença entre o preço de custo e o preço de venda de um determinado produto é de R$5.000,00?  Se for dado um desconto de 10% sobre o preço de venda, ainda haverá um lucro de 20% sobre o custo para o vendedor. O preço de custo, em reais, desse produto, é
(A) 15.000    (B) 23.000    (C) 28.000    (D) 30.000    (E) 35.000
SOLUÇÃO:
(1ª informação: A diferença entre o preço de custo e o preço de venda de um determinado produto é de R$5.000,00)
V - C = 5.000
(2ª informação: desconto de 10% sobre o preço de venda, ainda haverá um lucro de 20% sobre o custo)
V = C + L ---> ( V - V.0,1) = C + 0,2C ----> 0,9V = 1,2C
Montando o sistema com as informações:
V - C = 5.000 ---> V = 5.000 + C
0,9V = 1,2C ----> 0,9 . ( 5000 + C ) = 1,2C ---> 4500 + 0,9C = 1,2C ---> C = 4500 / 0,3 ---> C = 15.000.
Portanto resposta letra (A).
10) (ESAF) José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de participação na sociedade e deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de sua participação, o valor que José deve empregar na empresa é:
a) R$ 110.000,00  
b) R$ 170.000,00
c) R$ 82.500,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 50.000,00
SOLUÇÃO:
    José tem 40% de 150.000 = 60.000
   João possui o resto de participação que corresponde a 60% de 150.000 = 90.000 .
   Raciocine, se José aumentar de 40% para 55% a sua participaçãojoão fica com 45%. 
   João não deseja alterar sua participação (João 45% permanece 90.000, temos que calcular o 100%), pois calculamos o novo valor do capital através de uma regra de três (diretamente proporcional):
  45% ---> 90.000 (capital João)
100% ---> C (novo capital)      
   A diferença do novo capital pelo antigo é o valor que josé deve empregar na empresa (200.000 - 150.000 = 50.000).
   A resposta é a letra e.
11) (FCC) Numa universidade, no vestibular do ano passado, houve uma média de 8 candidatos por vaga oferecida. Neste ano, com um aumento de 20% no número de candidatos e de t% no número de vagas, a relação média de candidato por vaga passou a ser 7,5. O valor de t é:
a) 22     b) 24     c) 26     d) 28     e) 30
SOLUÇÃO:
    Obtendo os dados (fórmulas vistas em porcentagem): 
    Candidatos (C) em média 8 por vaga (V):  
C = 8.V
   Aumento 20% candidatos [(1 + i) . C = (1 + 20/100) . C = (1 + 0,2) . C] número de vagas aumento de t% ((1 + i) . V = (1 + t%) . V = (1 + t%) . V) número de vagas e média de 7,5 candidatos por vaga: 
     Substituindo a primeira equação na segunda: 
    A resposta é a letra d.
12) (FCC) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é:
a) 10%    b) 15%    c) 23%    d) 28%    e) 33%
SOLUÇÃO:
         Esta questão é fácil. O pintor pintou 30% do muro e sobrou 70% (100% - 30% = 70%).
        O outro pintor pintou 60% do que faltou pintar que é 70%. Observe que vai pintar mais 60% de 70%; o problema pede o que vai faltar pintar; posso tratar como um desconto.
     A resposta é a letra d.
13) (FCC) Numa loja, o preço de um produto tem um desconto de 15% se for pago à vista ou um acréscimo de 5% se for pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que pagaria, com desconto, à vista. Então a soma dos preços do produto à vista com desconto e no cartão é:
a) R$ 700,00 b) R$ 740,00 c) R$ 760,00 d) R$ 720,00 e) R$ 780,00
SOLUÇÃO:
    Observe que R$ 80,00 está em relação ao percentual total, ou seja, o acréscimo está em cima do preço (P). Observe o esquema abaixo:
   Em termos percentuais o R$ 80,00 representa a variação (vista 15% e a cartão 5%) de 20% (15% + 5%). 
   Então, temos 20% do preço é igual a R$ 80,00.
  O valor do preço é de R$400,00 e pago à vista tenho o desconto de 15%: (com o desconto de 15% o valor será de R$ 340,00)
  O valor do preço é de R$400,00 e pago a cartão tenho o acréscimo de 5%: (com o acréscimo de 5% o valor será de R$ 420,00)
   O problema pede a soma do valor à vista e a cartão (340,00 + 420,00 = 760). A resposta é a letra c. 
14) (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50    b) 10    c) 20    d) 40    e) 70
SOLUÇÃO:
    Observando os dados, montei o esquema abaixo representado por C os cães e por G os gatos:
   Agora só pegar a equação, já sublinhei a parte de cães que vamos pegar: (lembre-se que 10 gatos estão hospedados onde tiver a letra G de gato podemos substituir por 10).
    A resposta é a letra e.
15) (FCC) O Governo deseja diminuir 24% do dinheiro circulante. Se ele tem sob seu controle 60% desse dinheiro, então a porcentagem do dinheiro controlado que deverá tirar de circulação é:
a) 28%    b) 32%    c) 36%    d) 40%    e) 44%
SOLUÇÃO: 
     Observe que 60% do dinheiro o governo tem 100% de controle; para sabermos 24% basta fazer uma regra de três simples (diretamente proporcional):
60% ---> 100%
24% ---> x%
   A resposta é a letra d.
16) (FCC) Ao responder um teste, um aluno acertou 20 das 30 primeiras questões e errou 64% do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a 47,5% do número de questões propostas. O total de questão do teste é um número:
a) quadrado perfeito;   
b) primo;
c) menor ou igual a 48;
d) entre 65 e 75;
e) maior ou igual a 78.
SOLUÇÃO:
    Vamos relacionar os dados pelo número de acertos:
    Das 30 primeiras questões acertou 20.
    A variável x é o total. Observe que 64% errei então acertei 100% - 64% = 36. As questões que correspondem a 36% será x - 30 (total - 30 primeiras questões).
   Por último, verificamos que 47,5% do total são os acertos (47,5% . x).
   Montando o cálculo:
  Temos 80 questões; a resposta será a letra e.
17) (FCC) Do total de alunos de uma escola, 40% estão matriculados na 1ª série, 30%, na 2ª série e 30%, na 3ª série. Ao final do ano letivo, 80% do total de alunos da escola foram aprovados. Entre os alunos da 1ª série, a aprovação foi de 70% e, entre os alunos da 2ª série, a aprovação foi de 75%. Determine o total de alunos da escola, sabendo que na 3ª série foram aprovados 59 alunos.
a) 200
b) 260
c) 270
d) 240
e) 250
SOLUÇÃO:
  1ª série foram aprovados 70% do total de 40%:
   2ª série foram aprovados 75% do total de 30%:
      Na 3ª série para saber o total de aprovação; basta somar o percentual da 1ª série com a 2ª (28% + 22,5% = 50,5%) e diminuir de 80% (80% - 50,5% = 29,5%).
  Se foram aprovados 59 alunos esses são os 29,5% então 100% será x alunos, é uma regra de três simples (diretamente proporcional):
   A resposta é a letra a.