Aula 5

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Convecção Forçada 
 
Escoamento Interno 
Professor Dyrney Araújo dos Santos 
Universidade Federal de Goiás 
Curso de Engenharia Química 
site: www.dyrney.com 
 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.1 Escoamento no Interior de Tubulações 
a) Considerações Fluidodinâmicas 
Escoamento Dinamicamente 
Desenvolvido: a partir do 
local onde ocorre a fusão da 
camada-limite no eixo central 
do tubo (xcd,v). A velocidade 
u não varia mais com x, 
apenas com r. 
 Escoamento Laminar (ReD<2300): ,
0,05Re
cd v
D
x
D
 
 
 
 Escoamento Turbulento (ReD>2300): ,
10
cd vx
D
 
 
 
Região sem efeitos viscosos 
Região de Entrada Região Plenamente Desenvolvida 
Região da camada limite 
xcd,v 
Comprimento de entrada dinâmico para a velocidade (xcd,v) 
sendo: 
Re médD
DV 


Obs: A velocidade média é 
normalmente calculada na região 
plenamente desenvolvida 
0
2 0
0
2
( ) r
r
médV u r dr
r
 
b) Considerações Térmicas 
Escoamento Termicamente 
Desenvolvido: a partir do local 
onde ocorre a fusão da 
camada-limite no eixo central 
do tubo (xcd,t). 
 Escoamento Laminar (ReD<2300): ,t
0,05Re Pr
cd
D
x
D
 
 
 
 Escoamento Turbulento (ReD>2300): ,t
10
cdx
D
 
 
 
Comprimento de entrada térmico (xcd,t) 
se Pr>1 implica xcd,v<xcd,t 
se Pr<1 implica xcd,v>xcd,t 
, logo 
, logo independe de Pr 
Obs1: em escoamentos 
desenvolvidos termicamente, 
a forma relativa do perfil de 
temperatura permanece 
inalterada, porém T(r,x) 
Condições na superfície (T const. ou q const.) 
Região de Entrada Região Plenamente Desenvolvida 
xcd,t 
Fluido sendo aquecido 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.1 Escoamento no Interior de Tubulações 
b) Considerações Térmicas 
Obs2: No escoamento desenvolvido, h 
independe de x 
xcd,t 
hcd,t 
hcd,t constante 
Temperatura Média: a temperatura média em uma 
determinada posição x é deduzida a seguir 
0
2 0
0
2
( )T(r) r
r
m
méd
T u r dr
V r
 
Visto da Termodinâmica que, para perfis de T uniformes na 
entrada e saída 
 p sai entQ mc T T 
Para perfis não uniformes, define-se Tm de modo que a taxa 
convectiva real possa ser obtida pela integração abaixo 
( ) T(r)p m p
A
mc T u r c dA 
Para cp e ρ constantes, tem-se: 
Lei de Resfriamento de Newton: logo, a taxa de transferência de calor pode ser dada por 
 s mQ hA T T 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.1 Escoamento no Interior de Tubulações 
Região 
entrada 
Região completamente 
desenvolvida 
Tent 
Tsai 
b) Considerações Térmicas 
i) Condições na superfície do tubo: Fluxo de calor constante ao longo de x (q=cte) 
Obs1: Para um fluxo constante na superfície a 
diferença de temperaturas Ts-Tm é constante ao 
longo do tubo na região completamente desenvolvida 
Logo, 
   , ,s s m p m sai m entQ hA T T mc T T   
Obs2: A temperatura média varia linearmente ao 
longo da tubulação. 
Na região de entrada, Ts-Tm aumenta pois h diminui 
(para que q seja constante) até que seja atingida uma 
condição plenamente desenvolvida 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.1 Escoamento no Interior de Tubulações 
b) Considerações Térmicas 
ii) Condições na superfície do tubo: Temperatura constante ao longo de x (Ts=cte) 
ΔTsai 
Tent 
ΔTent 
Tm aproximasse assintoticamente de Ts 
Obs1: Para Ts constante na superfície a diferença 
de temperaturas Ts-Tm varia exponencialmente ao 
longo da tubulação 
Logo, 
s mlQ hA T 
Sendo: 
 ln
sai ent
ml
sai ent
T T
T
T T
 
 
 
Caso específico: Caso a temperatura do fluido externo T∞ e não Ts for especificada, os mesmos 
resultados podem ser utilizados substituindo Ts por T∞ na média e h por U (coeficiente global de 
transferência). Logo, 
s mlQ UA T 
e 
1
s tot
U
A R

sendo Rtot a resistência total, 
convectiva e condutiva 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.1 Escoamento no Interior de Tubulações 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.2 Escoamento Laminar em Tubos Circulares 
i) Fluxo térmico na superfície uniforme 
Número de Nusselt independente de Pr 
e da posição axial 
a) Condições Plenamente Desenvolvidas 
ii) Temperatura na superfície uniforme 
 sT = constante
Número de Nusselt independente de Pr e 
da posição axial 
b) Condições de Entrada: 
 
Correlação de Hausen: Temperatura na superfície uniforme (Pr > 5). é o valor médio 
da entrada até x 
Obs: Todas as propriedades das correlações aqui 
devem ser avaliadas no valor médio da 
temperatura média, 
DNu
 m , ,saiT 2m ent mT T 
 
 
D 2 3
0,0668 Re Pr
Nu 3,66
1 0,04 Re Pr
D
D
D x
D x
 
   
para 
Obs: é o valor médio da entrada até x. Todas as propriedades, exceto μs (avaliada a Ts), 
devem ser avaliadas a 
 
1 3
0,14
D
Re PrD
Nu 1,86 D s
x
    
 0,0044 9,75s  
b) Condições de Entrada: 
 
Correlação de Sieder-Tate: Temperatura na superfície uniforme. Aplicada para grandes 
variações de Ts-Tm, onde os efeitos da temperatura sobre a viscosidade são considerados 
DNu
mT
6.8.3 Escoamento Laminares em Tubos Não Circulares 
Obs: Para Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido os valores de Nu podem ser 
obtidos com a correlação de Kay-Crawford, cujos valores são dispostos na tabela a seguir 
para diferentes geometrias da seção transversal em função do diâmetro hidráulico da 
tubulação DH (DH = 4Ac/P) 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.2 Escoamento Laminar em Tubos Circulares 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
seção transversal
4,36
 fluxo 
uniforme
 
uniforme
sT
D HNu hD k
3,66
2,98
3,39
3,96
4,44
5,14
5,60
7,54
3,61
4,12
4,79
5,33
6,05
6,49
8,24
círculo
retângulo
elipse
seção transversal
 fluxo 
uniforme
 
uniforme
sT
4,36
4,56
4,88
5,09
5,18
3,66
3,74
3,79
3,72
3,65
triângulo isósceles
2,45
2,91
3,11
2,98
2,68
1,61
2,26
2,47
2,34
2,00
9.8.3 Escoamento Laminares em Tubos Não Circulares 
sendo k avaliado a 
mT
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.4 Escoamento Turbulento em Tubos Circulares 
a) Correlação de Dittus-Boelter: aplicada para escoamento plenamente desenvolvido com 
gradientes moderados de temperaturas (Ts – Tm) 
para 
0,7 Pr 16.700 
Obs: todas as propriedades, exceto μs (avaliada a Ts), são avaliadas a . As equações acima são 
válidas para fluxo de calor uniforme ou temperatura constante na parede, e tubos lisos 
b) Correlação de Sieder-Tate: aplicada para escoamento plenamente desenvolvido com 
grandes variações de temperatura (Ts – Tm) 
 
0,144 5 1 3
DNu 0,027Re PrD s 
para 
0,6 Pr 160 
n = 0,4 para aquecimento 
n = 0,3 para resfriamento 
mT
 
2
0,790ln Re 1,64Df

   
Obs: Existem na literatura correlações mais recentes e mais precisas, tanto para fluxo quanto 
para temperatura uniformes na parede e tubos rugosos, tais como: 
c) Correlação de Petukhov: aplicada para escoamento plenamente desenvolvido 
d) Correlação de Gnielinski: aplicada para escoamento plenamente desenvolvido 
  
   
D 1 2 2 3
8 Re 1000 Pr
Nu
1 12,7 8 Pr 1
Df
f


 
para 
0,5 Pr 2000 63000 Re 5.10D 
 
   
D 1 2 2 3
8 Re Pr
Nu
1,07 12,8 8 Pr 1
Df
f

 
para 
0,5 Pr 2000 
4 61.10 Re 5.10D 
Obs: Para tubos lisos o fator de atrito é dado 
pela equação ao lado, caso contrário deve ser 
obtido pelo diagrama de Moody. 
Propriedades 
avaliadas a 
Propriedades 
avaliadas a 
mT
mT
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.4 Escoamento Turbulento em Tubos Circulares 
5 . Convecção 
Diagrama de Moody para medir o fator de atrito (f) 
e) Correlação de Skupinski et al.: aplicada para fluxo constante na superfície e tubos 
circulares lisos 
 
0,827
DNu 4,82 0,0185 Re PrD 
f) Correlação de Seban-Shimazaki: aplicada para temperatura constante na superfície e tubos 
circulares lisos 
 
0,8
DNu 5,0 0,025 Re PrD 
para 
3 23.10 Pr 5.10  
3 53,6.10 Re 9,05.10D 
2 410 Re Pr 10D 
para 
3 53,6.10 Re 9,05.10D 
Re Pr 100D 
Obs: Para o escoamento turbulento plenamente desenvolvido envolvendo metais líquidos, tem-se 
as seguintes correlações 
Propriedades 
avaliadas a 
mT
Propriedades 
avaliadas a 
mT
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.4 Escoamento Turbulento em Tubos Circulares 
9.8.5 Escoamento Turbulento em Tubos Não Circulares 
Obs: Para escoamento turbulento plenamente desenvolvido em tubos de seção não 
circular, utiliza-se as correlações anteriores para seção circular substituindo o 
diâmetro D pelo diâmetro hidráulico da tubulação (DH) 
A metodologia, para escoamentos turbulentos se 
aplica para ReD ≥ 2300 e Pr ≥ 0,7. 
 
 
Exemplo de cálculo do diâmetro hidráulico: Tubo de seção quadrada de lado l. 
l 
l 
2
cA l
4P l
24
4
H
l
D
l
 HD l
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9.8.6 Escoamento em Região Anular entre Tubos Concêntricos 
A transferência de calor por convecção na região anular pode ocorrer tanto na superfície 
do tubo interno quanto na superfície do tubo externo 
Os fluxo são dados por: 
 ,i i s i mq h T T   ,ee e s mq h T T 
Logo, hi e he são dados por: 
qe 
Ts,e 
i H
i
h D
Nu
k

e H
e
h D
Nu
k

e 
e 
O diâmetro hidráulico é calculado a seguir: 
qi 
De 
 2 24 4e i
H
e i
D D
D
D D

 



H e iD D D 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
Regime de escoamento: Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido 
a) Condições nas superfícies: uma superfície adiabática e a outra a uma temperatura 
uniforme 
Di / De Nui Nue 
Kay e Perkins (1972) 
0
0,05
0,10
0,25
0,5
1,00
___
17,46
11,56
7,37
5,74
4,86
3,66
4,06
4,11
4,23
4,43
4,86
Propriedades 
avaliadas a 
mT
9.8.6 Escoamento em Região Anular entre Tubos Concêntricos 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
b) Condições nas superfícies: uma superfície adiabática e a outra com fluxo térmico 
uniforme 
Regime de escoamento: Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido 
Di / De Nui Nue 
0
0,05
0,10
0,20
0,4
0,6
___
17,81
11,91
8,499
6,583
5,912
4,364
4,792
4,834
4,883
4,979
5,099
0,8
1,00
5,58
5,385
5,24
5,385
Propriedades 
avaliadas a 
mT
9.8.6 Escoamento em Região Anular entre Tubos Concêntricos 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
Regime de escoamento: Escoamento Turbulento Completamente Desenvolvido 
Neste caso tem-se: hi ≈ he (região anular) 
• Utiliza-se o diâmetro hidráulico com a equação de Dittus-Boelter 
para 
0,6 Pr 160 
Aquecimento 
4 5 0,40,023Re PrD DNu 
Resfriamento 
4 5 0,30,023Re PrD DNu 
H e iD D D 
Propriedades 
avaliadas a 
mT
9.8.6 Escoamento em Região Anular entre Tubos Concêntricos 
9.8 Convecção Forçada: Escoamento Interno 
9 . Convecção 
9 . Convecção 
Exercício Proposto: Considere uma região anular entre dois tubos concêntricos 
na qual os diâmetros interno e externo são de 25 mm e 50 mm. Água entra na 
região anular a 0,04 kg/s e com uma temperatura média de 25 °C. 
 
a) Se a parede do tubo interno for aquecida eletricamente a uma taxa (por 
unidade de comprimento de) 4000 W/m, enquanto a parede do tubo externo é 
termicamente isolada (taxa nula), qual deve ser o comprimento dos tubos para 
que a água atinja uma temperatura média de 85 °C na saída? 
 
b) Qual é a temperatura na superfície do tubo interno na saída, onde condições 
plenamente desenvolvidas podem ser consideradas? 
Introdução à Transferência de Massa por 
Difusão 
Professor Dyrney Araújo dos Santos 
Universidade Federal de Goiás 
Curso de Pós Graduação em Engenharia Química 
site: www.dyrney.com 
 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
10.1 Origem Física 
Conceito: Transferência de massa é massa em trânsito como o resultado de uma diferença de 
concentrações de uma espécie em uma mistura 
Concentração 
da espécie B 
Concentração 
da espécie A 
Removendo-se uma divisória entre recipientes 
contendo duas espécies diferentes (A e B) 
ocorrerá um fluxo difusivo das espécies 
contrário ao gradiente de suas concentrações 
Transcorrido um tempo suficiente, são atingidas 
concentrações uniformes de A e B, e não há mais 
transporte líquido da espécie A ou da espécie B 
através do plano. 
Observação: A difusão mássica pode ocorrer em líquidos, sólidos e gases. 
Sólido Líquido Gás 
Facilidade de 
Difusão < < A transferência de massa é fortemente influenciada pelo 
espaçamento molecular. 
10.2 Composição de Misturas 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
i i iM C 
Em uma mistura qualquer constituída por dois ou mais constituintes químicos (espécies), 
denotados aqui pelo índice “i”, tem-se as seguintes definições: 
Concentração mássica (ρi): massa do componente i (mi) presente num volume V, por unidade de 
volume 
i
i
m
V
 
Concentração molar (Ci): quantidade de moles de i (ni) presentes num volume V, por unidade de 
volume 
i
i
n
C
V

A concentração mássica (kg/m3) e a concentração molar (kmol/m3) estão relacionadas através da 
massa molar da espécie, Mi (kg/kmol), de modo que 
i i i
ii i
i
m m
mC n
M

 
10.2 Composição de Misturas 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Como ρi representa a massa da espécie i por unidade de volume da mistura, a densidade da 
mistura é dado por 
i
i
 
Analogamente, o número total de mols por unidade de volume da mistura é 
i
i
C C
Fração mássica de um componente i (wi): relação entre a massa do componente i e a massa total 
contida no volume V 
i
iw



Fração molar de um componente i (xi): relação entre o número de moles do componente i e o 
número de moles total no volume 
i
i
C
x
C

i iw 
i iC x C
logo 
logo 
1i
i
w 
1i
i
x 
10.2 Composição de Misturas 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Mistura de gases Ideais: para uma mistura de gases ideais, a concentração mássica e a 
concentração molar de qualquer constituinte estão relacionadas à pressão parcial do constituinte 
(Pi) através da lei do gás ideal. Logo: 
i
i
P
C
RT

e 
i i
i
M P
RT
 
sendo T e R a temperatura e a 
constante dos gases ideais, 
respectivamente. 
John Dalton (1766-1844) 
Lei de Dalton: “Numa mistura de gases ideais, a pressão de cada 
componente é independente da pressão dos demais, a pressão total 
(P) é igual à soma das pressões parciais dos componentes” 
i
i
P Pi i
i
C P
x
C P
 
Logo, 
i iP x P
10.3 Lei de Fick para a Difusão Mássica 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Adolf Eugen Fick (1766-1844) 
A AB Aj D w  
*
A AB AJ CD x  
Lei de Fick: representa a equação da taxa para a difusão 
mássica, sendo que para a transferência da espécie A em uma 
mistura binária de A e B, ela pode ser escrita na forma vetorial 
como 
em termos mássicos 
em termos molares 
ou 
Sendo: 
Aj
ABD
*
AJ
: fluxo mássico difusivo da espécie A [kg/(m2.s) no S.I.] 
: fluxo molar difusivo da espécie A [kmol/(m2.s) no S.I.] 
: coeficiente de difusividade [m2/s no S.I.] 
Logo, o fluxo mássico ou molar da espécie A é proporcional ao gradiente da fração mássica 
ou molar de A, respectivamente. O sinal negativo indica que o fluxo é contrário ao gradiente. 
10.3 Lei de Fick para a Difusão Mássica 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
 Difusividade DAB em gases: 10
-5 m2/s < DAB < 10
-4 m2/s 
Admitindo comportamento de gás ideal, a teoria cinética pode ser usada para mostrar que 
(ver maiores detalhes em Bird et. al): 
 Difusividade DAB em líquidos: 10
-9 m2/s < DAB < 10
-8 m2/s 
Para soluções líquidas binárias, é necessário confiar exclusivamente em medições 
experimentais. Normalmente DAB aumenta com o aumento da temperatura (Incropera e 
Dewitt). 
 Difusividade DAB em sólidos: 10
-33 m2/s < DAB < 10
-9 m2/s 
3 2
AB
T
D
P

DAB em gases aumenta com a 
temperatura e diminui com a pressão 
O mecanismo da difusão de gases, líquidos e sólidos em sólidos é extremamente 
complicado e teorias generalizadas não estão disponíveis (Incropera e Dewitt). 
10.3 Lei de Fick para a Difusão Mássica 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Dados de difusão binária e misturas selecionadas a uma atmosfera (Incropera e Dewitt) 
Substância A Substância B T (K) DAB (m
2/s) 
Gases 
NH3 Ar 298 0,28 x 10
-4 
H2O Ar 298 0,26 x 10
-4 
CO2 Ar 298 0,16 x 10
-4 
Naftaleno Ar 300 0,62 x 10
-5 
Soluções Diluídas 
Cafeína H2O 298 0,63 x 10
-9 
Etanol H2O 298 0,12 x 10
-8 
Glicose H2O 298 0,69 x 10
-9 
Sólidos 
O2 Borracha 298 0,21 x 10
-9 
H2 Fe 293 0,26 x 10
-12 
Al Cu 293 0,13 x 10-33 
10.4 Transferência de Massa em Meios Não Estacionários 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Comentário: A difusão de uma espécie sempre envolve o movimento de moléculas ou átomos de um local 
para o outro o que pode desencadear um movimento global macroscópico. Neste caso, além do fluxo 
difusivo (dado pela Lei de Fick), tem-se que levar em consideração o fluxo advectivo. 
Conceito de Fluxo mássico (ou molar) absoluto de uma espécie 
ρA0 
 
ρB0 
ρA 
 
ρB 
Para tanto, considere as espécies A e B em uma mistura binária onde ocorre uma reação: A → B 
V
BV
AV
Desta forma, tem-se: ρA0 > ρA e ρB0 < ρB 
sendo: 
= velocidade absoluta da espécie A (difusão + advecção)AV
= velocidade absoluta da espécie B (difusão + advecção)BV
 = velocidade mássica média para a misturaV
E, consequentemente, 
 
 
0 difusão para frente
0 contradifusão
A
B
V V
V V
  
  
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Os fluxos mássicos absolutos para as espécies A ( ) e B ( ) estão relacionados com suas 
respectivas velocidades absolutas por 
Uma velocidade mássica média para a mistura pode, então, ser obtida a partir de 
dividindo tudo por ρ, tem-se 
10.4 Transferência de Massa em Meios Não Estacionários 
A A An V
An Bn
B B Bn V
e 
A B A A B BV n n n V V      
A A B BV w V w V 
OBS: É a velocidade mássica média que é requerida 
nas equações que representam as conservações de 
massa, de momento e energia. 
Desta forma, pode-se também definir o fluxo mássico difusivo da espécie A em relação à 
velocidade mássica média da mistura como 
 A A Aj V V 
logo 
A A An j V 
Fluxo absoluto Fluxo difusivo Fluxo advectivo 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
Substituindo a Lei de Fick e as relações dos fluxos definidas anteriormente, pode-se reescrever a 
equação anterior como 
10.4 Transferência de Massa em Meios Não Estacionários 
 A AB A A A Bn D w w n n    
Observação: caso não haja fluxo advectivo, a segunda parcela do lado direito das equações 1 e 2 
acima se anulam, sobrando, apenas, o fluxo difusivo dado pela Lei de Fick, ou seja 
De forma análoga, para a espécie B, teremos: 
 B B Bj V V   B AB B B A Bn D w w n n    
logo 
B B Bn j V 
Fluxo absoluto Fluxo difusivo Fluxo advectivo 
Eq.1 
Eq.2 
A A AB An j D w   
e 
B B AB Bn j D w   
Visto que numa mistura binária: 
0A Bj j 
OBS: PROVE USANDO AS 
RELAÇÕES ANTERIORES!!!!!! 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
O mesmo procedimento pode ser usado para se obter resultados em Base Molar 
10.4 Transferência de Massa em Meios Não Estacionários 
A A AN C V B B BN C V
*
A B A A B BN N N CV C V C V    
*
A A B BV x V x V 
 * *A A AJ C V V 
* *
A A AN J C V   A AB A A A BN CD x x N N    
* * 0A BJ J 
Os fluxos molares absolutos para as espécies A ( ) e B ( ) estão relacionados com suas respectivas 
velocidades absolutas por 
AN BN
e 
e a velocidade molar média da mistura ( ), é obtida de 
*V
OBS: a velocidade molar 
média é diferente da 
velocidade mássica média. 
Finalmente, assim como foi feito para o fluxo mássico, o fluxo molar absoluto tonar-se: 
logo 
Fluxo absoluto Fluxo difusivo 
Fluxo advectivo 
Observação: caso não haja fluxo advectivo, a segunda parcela do lado direito da equação acima se 
anula, sobrando, apenas, o fluxo difusivo dado pela Lei de Fick, ou seja 
*
A A AB AN J CD x   
visto que 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
10.5 Aproximação de Meio Estacionário 
Observação 1: Quando a difusão de uma quantidade muito pequena da espécie A ocorre 
no interior de uma espécie B estagnada, o movimento molecular associado à transferência 
de massa NÃO INDUZIRÁ MOVIMENTAÇÃO GLOBAL SIGNIFICATIVA DO MEIO 
A A AB An j D w   
*
A A AB AN J CD x   
Logo, neste caso podemos assumir: 
Observação 2: Além disso, como a concentração da espécie A é pequena, a massa 
específica (ρ) ou a concentração molar total (C) é aproximadamente aquela do meio 
hospedeiro, a espécie B. 
10.6 Equação da Conservação da Massa para Componentes em Mistura 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
x 
y 
z 
,x
,x
A
A
n
n dydz dx dydz
x
 
  
 
,xAn dydz
,
,y
A y
A
n
n dxdz dy dxdz
y
 
  
 
,yAn dxdz
,zAn dxdy
,z
,z
A
A
n
n dxdy dz dxdy
z
 
  
 
Comentário: Qualquer espécie A pode entrar e sair de um volume de controle infinitesimal 
devido tanto ao movimento do fluido quanto à difusão através da superfície de controle. 
Da lei de conservação da massa para uma espécie A qualquer, tem-se: 
Análise dos termos de entrada e saída: considere as taxas de massa da espécie A que 
transpassam as faces de um volume de controle infinitesimal em uma mistura binária 
(espécies A e B). O volume do elemento abaixo é dado por dxdydz 
,entra ,gerada ,sai ,acumuladaA A A AM M M M  
10. Origem Física e Equações de Taxa 
As taxas mássicas de entrada e saída da espécie A do volume podem ser resumidas na 
tabela abaixo 
Faces Taxa mássica de entrada [MT-1] Taxa mássica de saída [MT-1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
nA,ydxdz 
nA,xdydz 
nA,zdxdy 
,x
,x
A
A
n
n dydz dx dydz
x
 
  
 
,y
,y
A
A
n
n dxdzdy dxdz
y
 
  
 
,z
,z
A
A
n
n dxdy dz dxdy
z
 
  
 
10.6 Equação da Conservação da Massa para Componentes em Mistura 
Análise do termo de geração: adicionalmente, podem existir reações químicas 
volumétricas (homogêneas) em todo o meio. A taxa na qual a espécie A é gerada no 
interior do volume de controle devido a essas reações é representada por 
A,gerada AM n dxdydz
Sendo a taxa de aumento ou diminuição da massa de A por 
unidade de volume da mistura [kg/(m3.s) no S.I.] 
An
10. Origem Física e Equações de Taxa 
 Finalmente, retornando à equação do balanço de massa para a espécie A no volume de 
controle infinitesimal, e substituindo os respectivos termos, tem-se: 
A,xA
A,x A,y A,z A,x
A,y A,z
A,y A,z A
n
dxdydz n dydz n dxdz n dxdy n dydz dxdydz
t x
n n
n dxdz dydxdz n dxdy dzdxdy n dxdydz
y z
   
     
  
    
       
   
Após simplificações e dividindo tudo pelo volume infinitesimal dxdydz, tem-se: 
A,yA,x A,zA
A
nn n
n
t x y z
  
   
   
Esta é a equação de conservação 
da massa para a espécie A em uma 
mistura Binária (espécies A e B). 
10.6 Equação da Conservação da Massa para Componentes em Mistura 
Análise do temo de acúmulo: Todos os processos anteriores podem alterar a massa da 
espécie A acumulada no interior do volume por meio da taxa 
A
A,acumuladaM dxdydz
t



10. Origem Física e Equações de Taxa 
Na forma compacta, em termos do divergente, tem-se: 
A
A A.n n
t

 

 De forma similar, a equação em termos da concentração molar pode ser obtida 
dividindo-se a equação anterior por MA (massa molar de A) 
A
A A
C
.N N
t

 

Sendo agora a taxa de aumento ou diminuição de mols de A por 
unidade de volume da mistura [mol/(m3.s) no S.I.] 
AN
Observação: Numa mistura binária, a soma entre as equações de conservação das massas 
das espécies A e B resultará em uma equação semelhante à equação da continuidade 
A
A A.n n
t

 

B
B B.n n
t

 

 . V 0
t
   

Tem-se que 
A Bn n 0  A massa de um componente que 
desaparece devido a uma reação 
química é igual a massa de outros 
componentes que aparecem, ao 
contrário do número de moles. 
Porém 
A BN N 0 
10.6 Equação da Conservação da Massa para Componentes em Mistura 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
a) Sistema envolvendo difusão e advecção com ρ (ou C) e DAB constantes, Transiente e 
Sistema Reacional 
A
A A.n n
t

 

10.7 Casos Especiais 
  A AB A A A B A. D w w n n n
t
       

Logo: 
2A
A AB A AV . D n
t
       

ou, em termos de moles: 
* * 2A
A A AB A A
C
V . C C .V D C N
t

      

OBS: PROVE USANDO AS 
RELAÇÕES ANTERIORES 
b) Meio estacionário (apenas fluxo difusivo) com ρ (ou C) e DAB constantes, Transiente e 
Sistema Reacional 
2A
AB A AD n
t
    

ou, em termos de moles: 
2A
AB A A
C
D C N
t

  

tem-se: 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
10.7 Casos Especiais 
c) Meio estacionário (apenas fluxo difusivo) com ρ e DAB constantes, Transiente e Sistema 
Não Reacional 
2A
AB AD
t



 

ou, em termos de moles: 
2A
AB A
C
D C
t

 

tem-se: 
d) Meio estacionário (apenas fluxo difusivo) com ρ e DAB constantes, Estado estacionário e 
Sistema Não Reacional 
2
AB AD 0 
ou, em termos de moles: 
2
AB AD C 0 
tem-se: 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
10.8 Equação Geral da Conservação da Massa para Componentes em Mistura 
em Diferentes Sistemas de Coordenadas 
 
 
  
 
A2A
Ar A A2
NC 1 1 1
r N sen N N
t r r rsen rsen
   
  
   
   
 
 
  
 
A2A
Ar A A2
n1 1 1
r n sen n n
t r r rsen rsen

    
  
   
   
  AA AzAr A
n n1 1
rn n
t r r r z


 
   
   
  AA AzAr A
NC N1 1
rN N
t r r r z


 
   
   
A,yA,x A,zA
A
nn n
n
t x y z
  
   
   
A,yA,x A,zA
A
NN NC
N
t x y z
 
   
   
Sistema de 
Coordenadas 
Cartesianas: 
Sistema de 
Coordenadas 
Cilíndricas: 
Sistema de 
Coordenadas 
Esféricas: 
10. Origem Física e Equações de Taxa 
10.9 Condições de Contorno 
1) Concentrações constantes na superfície (Ex: em x = 0) (Condição de Dirichlet) 
 A A,sC 0,t C  A A,sx 0,t x
 A A,s0,t   A A,sw 0,t w
em termos molares: ou 
em termos mássicos: ou 
2) Fluxo na superfície constante (Ex: em x = 0) (Condição de Neumann) 
em termos molares: ou em termos mássicos: 
*A
AB A,s
x 0
x
CD J
x 

 

A
AB A
x 0
w
D j
x



 

3) Superfície impermeável (Ex: em x = 0) 
em termos molares: ou em termos mássicos: 
A
x 0
x
0
x 



A
x 0
w
0
x 



10. Origem Física e Equações de Taxa 
10.9 Condições de Contorno 
4) Evaporação e Sublimação: transferência de A para uma corrente gasosa 
5) Solubilização de Gases em Líquidos e Sólidos: transferência de A para um líquido ou sólido 
Lei de Raoult 
   A A A,satP 0 x 0 P
sendo: 
PA: pressão parcial de A na fase 
gasosa 
xA: fração molar de A no líquido ou 
sólido na interface 
PA,sat: pressão de saturação da 
espécie A na temperatura da 
superfície 
Hipóteses: fase gasosa comporta-se como gás ideal 
e fase líquida ou sólida com alta concentração de A 
Lei de Henry 
   A AP 0 x 0 H
sendo: 
PA: pressão parcial de A na fase 
gasosa 
xA: fração molar de A no líquido ou 
sólido na interface 
H: constante de Henry (Tabelado) 
Hipóteses: espécie A fracamente solúvel no líquido 
ou no sólido