Lista Um

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Elementos de Ca´lculo 1: Lista - Um
(1) As afirmac¸o˜es a seguir se referem ao gra´fico da func¸a˜o f ilustrado abaixo. Classifique cada afirmac¸a˜o como
Verdadeira ou Falsa.
( ) f esta´ definida em x = 2, pore´m os limites laterais neste nu´mero sa˜o distintos, caracterizando uma
descontinuidade.
( ) Apesar de f ser cont´ınua a` direita de x = 3, lim
x→3−
f(x) = +∞ o que caracteriza uma descontinuidade
ass´ınto´tica.
( ) f e´ descont´ınua em x = 0, pois na˜o esta´ definida neste nu´mero.
( ) f possui duas ass´ıntotas horizontais, uma correspondente a lim
x→+∞
f(x) e outra a lim
x→−∞
f(x).
( ) Apesar de f ser cont´ınua a` esquerda de x = 1, f apresenta descontinuidade tipo salto neste nu´mero.
(2) Calcule os limites a seguir
(a) lim
x→1
(
1
x− 1 +
1
x2 − 3x + 2
)
;
(b) lim
x→1
sen(x− 1)
x2 + x− 2 ;
(c) lim
x→−6
2x + 12
|x + 6| ;
(d) lim
x→−∞
6x + 9
4
√
81x4 − 16x2 + 1;
(e) lim
x→+∞
ecos x−x;
(f) lim
x→−4
√
x2 + 9− 5
x + 4
.
(3) Encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais da func¸a˜o
f(x) =
x2 + 2x− 3
x3 − 3x2 + 2x .
(4) Responda corretamente os itens a seguir.
(a) Dada a func¸a˜o f(x) = 2x − log10 x23, mostre que existe um nu´mero real c tal que f(c) = 1000.
(b) Mostre que a equac¸a˜o x3 − 7x2 − 8x−√3 = 0 possui pelo menos uma ra´ız real.
*(c) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua tal que f(a) · f(b) < 0. Mostre que f possui pelo menos uma raiz
real.
(d) Prove que existe um nu´mero real cujo quadrado e´ igual ao seu cubo somado com 2.
(5) Obtenha os itens a seguir sobre a func¸a˜o
f(x) =

−1, , x ≤ −1
[[x]] , −1 < x ≤ 1
2x− 2 , 1 < x ≤ 2
7
x− 2 , x > 2
(a) Determine o conjunto onde f e´ cont´ınua.
(b) Classifique cada descontinuidade de f como remov´ıvel, tipo salto ou assinto´tica.
(6) (a) Use o Teorema do Confronto para obter lim
x→4
g(x) sabendo que
|g(x) + x| ≤ 3(4− x)2.
(b) Encontre um polinoˆmio P , de segundo grau, tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
(c) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = 3
√
x no ponto de abscissa 1.
*(7) Seja f : R → R uma func¸a˜o diferencia´vel em x = 0, tal que f(x + h) = f(x) · f(h), sendo f(x) 6= 0 em todos
os reais.
(a) Encontre f(0);
(b) Mostre que f ′(0) = lim
h→0
f(h)− 1
h
;
(c) Mostre que f ′(x) = f ′(0) · f(x).
*(8) Suponha que f e´ uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o f(x+ y) = f(x) + f(y) +x2y+xy2 para todos os nu´meros
reais x e y. Suponha que
lim
x→0
f(x)
x
= 1.
(a) Encontre f(0);
(b) Encontre f ′(0);
(c) Encontre f ′(x).
*(9) Suponha que f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e que g(x) = xf(x). Use a definic¸a˜o de derivada para mostrar que
g′(x) = xf ′(x) + f(x).
(10) (a) Se f(x) = |x− 3| mostre que f e´ cont´ınua em x = 3 mas na˜o e´ deriva´vel em x = 3. Esboce seu gra´fico.
(b) Verifique se a func¸a˜o f(x) = |x2 − 4|+ 1, e´ deriva´vel em x = −2. Esboce seu gra´fico.