Briot Ruffini

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Considere as funções polinomiais abaixo. Utilize o método de Briot-Ruffini 
para realizar a fatoração e determinar as raízes. 
 
Se a soma dos coeficientes for igual a zero, uma das raízes é x = 1. 
 
Se todos os termos tiverem potência de x, uma das raízes é x = 0. 
 
Se o coeficiente principal (𝒂𝒏) for diferente de 1, haverá raíz 
fracionária. 
 
A raiz pode ser calculada por uma fração, onde o numerador são 
os divisores de 𝒂𝟎 e o denominador são os divisores positivos de 𝒂𝒏 
 
 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3 − 5𝑥2 − 20𝑥 − 12 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 27𝑥 + 9 
g) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 − 4𝑥 
 
 
Resolução: 
a) Usando o método de Briot-Ruffini, deve-se escrever os coeficientes 
do polinômio (potências de x ordenadas, ou seja, da maior para a 
menor, até o termo constante) em uma linha de cálculo. Passar um 
traço para separar os valores de teste de raiz e resultados para 
coeficientes novos pela fatoração. Para o polinômio: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 −
𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 tem-se então: 
 1 -2 -5 6 
Considerando a dica 1. (Neste caso: 1+(-2)+(-5)+6 =0 , tendo uma raiz igual a 
1) 
 
Deve-se escrever a raiz a ser testada no início da segunda linha, abaixo do 
traçado, fazendo: 
 
 1 -2 -5 6 
 1 
 
Para completar a linha deve-se baixar o valor do coeficiente principal (neste caso 
com valor 1) 
 
 1 -2 -5 6 
1 1 
Para preencher as demais posições da segunda linha, deve-se multiplicar o 
último valor conhecido dela (neste caso 1) pela raiz em teste (neste caso 1), e 
somar o resultado com o coeficiente da primeira linha a ser recalculado (neste 
caso o -2) resultado: 1x1+(-2) = -1. O valor obtido é inserido na segunda linha 
abaixo do coeficiente que está sendo recalculado. 
 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 
 
 
Repetindo o processo: (-1)x(1) + (-5) = -1 -5 = -6 
 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 -6 
Repetindo o processo (-6)x(1)+6 = 0 
 
 1 -2 -5 6 
1 1 -1 -6 0 
Quando a tabela está completa e na última posição surgir um zero (0), como 
ocorreu neste caso, indica que o valor testado é uma raiz do polinômio e pode-
se reescrever o polinômio original na forma fatorada como sendo: 
 
(𝑥 − 1). (1. 𝑥2 − 1𝑥 − 6) 
 
Note que o primeiro fator envolve a raiz (x menos raiz), e o segundo fator tem os 
coeficientes determinados pelos valores numéricos que estão na segunda linha 
da tabela (em verde). Exclui-se o zero da direita (que somente indica que a 
divisão é exata) e a partir dele, da direita para a esquerda tem-se o coeficiente 
constante (-6), o coeficiente de x (que é -1) e o coeficiente de 𝑥2 (que é 1). O 
valor inicial (à esquerda) na segunda linha é a raiz que foi obtida. 
 
De forma análoga pode-se fatorar o polinômio que obtivemos (𝑥2 − 𝑥 − 6) O 
valor -6 (coeficiente constante) sugere ser múltiplo de 2 ou 3 (sinais positivos e 
negativos devem ser considerados). 
 
Testando para x = 2 
 
 1 -1 -6 
 2 1 1 -4 
 
O último valor numérico da segunda linha não é zero (resultou -4) indicando que 
x = 2 não é raiz. 
 
 
 
 
Testando para x = -2 
 
 1 -1 -6 
 -2 1 -3 0 
 
O último valor da segunda linha é zero, logo o valor testado x = -2 é raiz da 
equação polinomial inicial. 
 
Podemos reescrever 
(𝑥 − 1). (𝑥 + 2). (𝑥 − 3) = 0 
 
E as raízes são 1, -2 e 3. 
 
 
b) Para o polinômio 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 a soma dos 
coeficientes não é nula, logo x = 1 não é raiz. Usando a dica 4, o 
coeficiente constante (-3) é múltiplo de 3, -3 e -1, que poderiam ser 
alguma raiz a ser determinada. 
Testando x = 3 
 
 1 -1 -5 -3 
3 1 2 1 0 
 
Pode-se reescrever: 
(𝑥 − 3). (𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 0 
 
O coeficiente constante (1) somente é múltiplo de 1 e de -1, mas é sabido que 
x=1 não é raiz, restando x = -1. Testando vem: 
 1 2 1 
-1 1 1 0 
 
 
Reescrevendo tem-se: 
(𝑥 − 3). (𝑥 + 1). (𝑥 + 1) = 0 
 
As raízes obtidas são : 3, -1 (raiz dupla). 
 
 
 
c) Para o trinômio 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 observa-se que há termos 
com potências de x faltantes (𝒙𝟑, 𝒆 𝒙). Para empregar o método de 
Briot-Ruffini é necessário completar as potências faltantes, e então 
escreve-se 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝒙𝟒 + 𝟎. 𝒙𝟑 − 𝟏𝟑. 𝒙𝟐 + 𝟎𝒙 + 𝟑𝟔 
O valor x = 1 não é raiz pois a soma dos coeficientes não é nula. 
 
O valor +36 sugere multiplicidade envolvendo -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 9, -9, 
12, -12, 18, e -18. 
 
Testando para x = -1 
 1 0 -13 0 36 
-1 1 -1 -12 12 24 
 
Não é raiz. 
 
Testando para x = 2 
 
 1 0 -13 0 36 
2 1 2 -9 -18 0 
 
O valor x = 2 é raiz, e resulta pela fatoração: 
(𝑥 − 2). (𝑥3 + 2𝑥2 − 9𝑥 − 18) = 0 
 
O valor -18 sugere multiplicidade envolvendo -2, 3, -3, 6, -6, 18 e -18. 
 
Testando para x = -2 
 1 2 -9 -18 
-2 1 0 -9 0 
 
Resultando para fatoração: 
(𝑥 − 2). (𝑥 + 2). (𝑥2 − 9) = 0 
 
O valor -9 sugere multiplicidade de 3, -3, 9 e -9. 
 
Testando para x = 3 vem: 
 1 0 -9 
3 1 3 0 
 
A fatoração completa é : (𝑥 − 2). (𝑥 + 2). (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0 que resulta 
para as raízes os valores, 2, -2, 3 e -3. 
 
 
d) No polinômio 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟐 nota-se que o 
coeficiente principal não é igual a 1, o que implica em ter raiz 
fracionária (dica 3). Para a determinação desta raiz, deve-se pensar 
em uma fração onde o numerador é divisor do coeficiente constante 
(-12) (valores seriam 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 e -12) e o 
denominador é divisor positivo do coeficiente principal (2) (valores 
seriam 1, e 2). 
As combinações resultariam em ±
1
2
 e ±
3
2
 , pois os demais valores poderiam 
ser simplificados resultando inteiros. 
 
Testando x = ½ 
 2 5 -5 -20 -12 
½ 2 6 -2 -21 -45/2 
Não é raiz. 
 
Testando x = -½ 
 2 5 -5 -20 -12 
−
1
2
 2 4 -7 -33/2 -15/4 
Não é raiz. 
 
Testando x = 
3
2
 
 2 5 -5 -20 -12 
3
2
 2 8 7 -19/2 -105/4 
Não é raiz. 
 
Testando x = -
3
2
 
 2 5 -5 -20 -12 
−
3
2
 2 2 -8 -8 0 
 
Uma das raízes é x = -3/2, que permite fatorar o polinômio como sendo: 
(𝑥 +
3
2
) . (2𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥 − 8) = 0 
 
 
 
O segundo fator tem todos os coeficientes pares, então o valor2 pode ser 
evidenciado, resultando 
(𝑥 +
3
2
) . (2𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥 − 8) = (𝑥 +
3
2
) . 2(𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4)
= 2. (𝑥 +
3
2
) . (𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 − 4) = 0 
Observando o coeficiente constante (-4) do último polinômio, sugere 
multiplicidade com 1, -1, 2, -2, 4 e -4. A possibilidade de raiz x =1 é excluída pois 
a soma dos coeficientes não é nula. 
 
Testando x = -1. 
 1 1 -4 -4 
-1 1 0 -4 0 
Obteve-se uma raiz, que leva a fatoração. 
2 (𝑥 +
3
2
) . (𝑥 + 1). (𝑥2 + 0𝑥 − 4) = 0 
 
Para o último polinômio, o coeficiente constante sugere raízes -2 e 2. 
 
Testando x = 2 
 1 0 -4 
2 1 2 0 
 
O valor testado é raiz e tem-se a fatoração completa: 
2 (𝑥 +
3
2
) . (𝑥 + 1). (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 
Com raízes -3/2, -1, 2 e -2. 
 
 
 
e) Para o polinômio 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝟕𝒙 + 𝟗 = 𝟎 considerando os 
divisores do coeficiente constante (9), tem-se 1, -1, 3, -3, 9 e -9 que 
serão os possíveis numeradores da raiz fracionária. Observando o 
coeficiente principal (3), tem divisores 1, -1, 3 e -3 que serão 
possíveis valores para o denominador da raiz fracionária. 
Combinando estes valores, as possíveis frações seriam 1/3 e -1/3. 
Testando x = 1/3 
 3 -1 -27 9 
1
3
 3 0 -27 0 
 
O valor testado é raiz, levando a forma fatorada 
(𝑥 −
1
3
) . (3𝑥2 + 0𝑥 − 27) = (𝑥 −
1
3
) . 3(𝑥2 − 9) = 3. (𝑥 −
1
3
) . (𝑥2 − 9) = 0 
 
O coeficiente constante do binômio 𝑥2 − 9 sugere multiplicidade com 3 e -3. 
 
Testando para x = 3, vem: 
 
 1 0 -9 
3 1 3 0 
 
Pode-se escrever a fatoração completa como 
3. (𝑥 −
1
3
) . (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) = 0 
 
Sendo as raízes 1/3, 3 e -3. 
 
f) Considerando o polinômio 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 observa-
se que todos os termos tem a variável x (dica 2), que pode ser 
fatorada resultando 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝒙. (𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 +
𝟖𝒙 − 𝟒) = 𝟎 Considerando o polinômio 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒 o 
coeficiente principal indica que há uma raiz fracionária onde o 
numerador poderá ser 1, -1, 2, -2, 4 e -4 (divisores de 4 – coeficiente 
constante) e o numerador poderá ser 1, -1, 2 e -2 (divisores de 2 – 
coeficiente principal).Fazendo as combinações tem-se ½ e -½ como 
possibilidades. 
Testando x = ½ 
 2 -1 8 -4 
½ 2 0 8 0 
 
Pode-se escrever na forma fatorada 
 𝑥. (2𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 − 4) = 𝑥. (𝑥 −
1
2
) . (2𝑥2 + 8) = 0 
 
No último binômio os coeficientes são pares e o 2 pode ser fatorado, resultando: 
𝑥. (𝑥 −
1
2
) . (2𝑥2 + 8) = 𝑥. (𝑥 −
1
2
) . 2(𝑥2 + 4) = 2𝑥. (𝑥 −
1
2
) . (𝑥2 + 4) = 0 
 
 
 
O binômio 𝑥2 + 4 não pode ser fatorado pois é uma expressão irredutível. É 
possível determinar as raízes imaginárias através de: 
𝑥2 + 4 = 0 
𝑥2 = −4 
𝑥 = ±√−4 = ±√4. (−1) = ±√4. √−1 = ±2𝑖 
 
As raízes do polinômio são: 0, ½ (reais) , 2i e -2i.(imaginárias)