Matemática Financeira: Taxas Equivalentes e Taxas Efetivas

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23/02/2014
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Matemática Financeira
Prof. Me. Reginaldo César Izelli
6ª Semana:
• Taxas equivalentes
• Taxa Efetiva
• Taxa Nominal
• Taxa Unificada
• Taxa Real
Taxa
Taxa é um índice numérico relativo cobrado
sobre um capital para a realização de
alguma operação financeira, ou seja, é a
unidade de medida pela qual os juros são
fixados na remuneração de um capital num
determinado período de tempo ( dias,
meses, anos etc).
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Taxas Equivalentes
Taxas equivalentes são taxas de juros
fornecidas em unidades de tempo diferentes
que ao serem aplicadas a um mesmo
principal durante um mesmo prazo
produzem um mesmo montante acumulado
no final daquele prazo, no regime de juros
compostos.
Taxas Equivalentes
Fórmulas:
Sendo que, 
iq: é a taxa de juros que deseja encontrar;
it: é a taxa de juros que tenho no problema;
q: período que quero,
t: período que tenho. 
Tenho Quero
it = iq = 
t = q =
( ) 11 −+= tqtq ii
Taxas Equivalentes
Exemplo 1: Em juros compostos, qual a taxa anual 
equivalente a 2% a.m.?
Solução:
( )
( )
a.a. %8,26
268,0
1268,1
102,1
1)02,01(
11
12
12
12
12
12
12
12
1
12
112
=
=
−=
−=
−+=
−+=
i
i
i
i
i
ii
mensal taxa:
anual taxa:
1
12
i
i
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Taxas Equivalentes
Exemplo 2: Em juros composto, qual a taxa
trimestral equivalente a 15% a.a.?
Solução:
anual taxa:
l trimestra taxa:
12
3
i
i
( )
( )
a.t. %56,3
0356,0
10356,1
115,1
1)15,01(
11
3
3
3
25,0
3
25,0
3
12
3
123
=
=
−=
−=
−+=
−+=
i
i
i
i
i
ii
Taxas Equivalentes
Exemplo 3: Em juros composto, qual a taxa
mensal equivalente a 8% a.t.?
Solução:
l trimestra taxa:
mensal taxa:
3
1
i
i ( )
( )
a.m. %57,2
0257,0
10257,1
108,1
1)08,01(
11
1
1
1
33,0
1
33,0
1
3
1
31
≅
=
−=
−=
−+=
−+=
i
i
i
i
i
ii
Taxas Equivalentes
Exemplo 4: Um capital de $ 6 000,00 foi aplicado a
juros compostos durante 3 anos, à taxa de 2%
a.m.
Solução:
mensal taxa:
anual taxa:
1
12
i
i
( )
( )
a.a. 62682417945,0
102,1
1)02,01(
11
12
12
12
12
12
1
12
112
=
−=
−+=
−+=
i
i
i
ii
( )
( )
32,12239
62682417945,016000
1
3
=
+=
+=
FV
FV
iPVFV n
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Taxas Equivalentes
Exemplo 4: Um capital de $ 6 000,00 foi aplicado a
juros compostos durante 3 anos, à taxa de 2%
a.m.
Solução:
meses 36
ano3
meses 21ano 1
Simples Três de Regra
=
→←
→←
n
n
( )
( )
32,12239
02,016000
1
36
=
+=
+=
FV
FV
iPVFV n
Taxa Efetiva
• A Taxa Efetiva é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a
que a taxa está referida.
�120% ao mês com capitalização mensal; 
�450% ao semestre com capitalização 
semestral; 
�1300% ao ano com capitalização anual. 
Obs: Quando trabalhamos com taxa efetivas, omitimos o
seu período de capitalização, pois eles estão na mesma
unidade de tempo da taxa em questão.
Taxa Nominal
• Taxa Nominal: é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo não coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é
sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de
capitalização podem ser semestrais, trimestrais,
mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
�12% ao ano, capitalizados mensalmente;
�24% ao ano, capitalizados semestralmente;
�10% ao ano, capitalizados trimestralmente,
�18% ao ano, capitalizados diariamente.
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Taxa Efetiva
Fórmula: 
Taxa Efetiva
Exemplo 1: Qual a taxa efetiva relativa à taxa
nominal de 24% a.a., capitalizada trimestralmen-
te?
Solução:
a.a. %25,26
a. a. 2625,0
1
4
24,01
11
4
=
=
−





+=
−





+=
f
f
f
k
f
i
i
i
k
ii
4ks trimestre4 ano 1
a.a. 24,0a.a. %24
:Dados
=⇒=
==i
Exemplo 2: Qual o montante de um capital de
R$ 5 000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24%
ao ano capitalizados trimestralmente?
Solução:
Lembre-se: Você nunca poderá usar a TAXA
NOMINAL nos cálculos com juros compostos.
( )
( )
53,7969
2625,015000
1
2
2
=
+=
+=
FV
FV
iPVFV fPV = 5000
n = 2 anos
i = 24% a.a. capitalizados trimestralmente
Pelo exemplo 1, temos:
a.a. %25,26=fi
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Taxa Unificada
• A utilização de taxas unificadas é muito útil em
regimes de economia inflacionária, como no
caso vivido no Brasil onde vários indexadores –
na verdade taxas de correção monetária – são
colocadas no mercado (IGP-DI) para tentar
zerar ou equilibrar a perda monetária provocada
pela inflação.
Taxa Unificada
• O problema é ter duas taxas ( i1 e i2) e 
torná-las únicas (iu) de forma que provoque o 
mesmo ganho/custo financeiro, se aplicadas 
isoladamente uma sobre a outra.
• Cuidado! Unificar duas taxas não significa 
somá-las: 
i u = i 1 + i 2
Taxa Unificada
Fórmula:
Exemplo 1: Em três meses sucessivos um fundo
de investimentos rendeu 1,6%, 1,8% e 2%,
respectivamente. Qual a taxa de rentabilidade
acumulada no período?
Solução:
]1)1(...)1()1[( 21 −+××+×+= nu iiii
%50,5
0550,0
]1)02,01()018,01()016,01[(
=
=
−+×+×+=
u
u
u
i
i
i
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Taxa Unificada
Exemplo 2: Calcule o montante resultante da
aplicação do capital de R$ 18.000,00 que esteve
aplicado durante 3 meses, no regime de juros
compostos, às taxas de 3,45%, 2,28% e 4,32%,
respectivamente.
Solução:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
33,19868
0432,010228,010345,0118000
111 321
=
+⋅+⋅+=
+⋅+⋅+=
FV
FV
iiiPVFV
Taxa Real
Taxa Real (ir) é a taxa efetiva (ie) corrigida pela
taxa inflacionária (ii) do período da operação.
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação.
A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva
e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma
ligação íntima entre as três taxas, dadas por:






−
+
+
= 1)1(
)1(
i
e
r i
ii
Taxa Real
Exemplo: Certa aplicação financeira obteve
rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a
taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine
o ganho real dessa aplicação.
Solução:
a.a. %1
010,0
1)049,01(
)06,01(
=
=






−
+
+
=
r
r
r
i
i
i