Aula 3 e 4 - Taxa equivalente, nominal e efetiva para juro composto

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DISCIPLINA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Professor Mateus Brasilino
AULA 3 e 4 – Taxa equivalente, 
nominal e efetiva
Taxa equivalente
Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa
equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por
exemplo, a taxa de 3 % ao mês e 9% ao trimestre são ditas
proporcionais, pois mantêm a seguinte relação:
1
3
=
3
9
São também equivalentes, pois promovem a igualdade
dos montantes de um mesmo capital ao final de certo
período de tempo.
Taxa equivalente
O conceito enunciado de taxa equivalente
permanece válido para regime de juros composto
diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da
taxa de juros. Por se tratar de capitalização
exponencial, a expressão da taxa equivalente
composta é a média geométrica da taxa de juros do
período inteiro, isto é:
𝑖𝑞 =
𝑞
1 + 𝑖 − 1
Onde:
q = número de períodos de capitalização
Taxa equivalente
Exemplo 1 - Qual a taxa equivalente composta mensal para uma
taxa semestral de 10,3826%?
Dados:
𝑖= 10,3826% a.s. = 0,103826
q = 1 semestre = 6 meses
Resolução:
Utilizamos a formula:
𝑖𝑞 =
𝑞
1 + 𝑖 − 1
𝑖6 =
6
1 + 0,103826 − 1
𝑖6 =
6
1,103826 − 1
𝑖6 = 1,0166 − 1
𝑖6 = 0,0166 = 1,66% 𝑎.𝑚
Portanto uma taxa de juro semestral de 10,3826% é equivalente
(igual) a uma taxa de juro mensal de 1,66%.
Taxa equivalente
Assim, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é
indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou
10,3826% ao semestre. Ilustrativamente, um capital de R$
100.000,00 aplicado por dois anos:
• Para i = 1,66 % e n = 24 meses
FV = 100.000,00 . (1,0166)24 = 𝑅$ 148.457,63
• Para i = 10,3826 % e n = 4 meses
FV = 100.000,00 . (1,103826)4 = 𝑅$ 148.457,63
Taxa equivalente
Exemplo 2 – Quais as taxas de juros compostos
mensal e trimensal equivalentes a 25% ao ano?
Resolução:
Para taxa de juros equivalente mensal
Dados:
𝑖= 25 % a.a. = 0,25
q = 1 ano = 12 meses
Utilizamos a formula:
𝑖𝑞 =
𝑞
1 + 𝑖 − 1
𝑖12 =
12
1 + 0,25 − 1
𝑖12 =
12
1,25 − 1
𝑖12 = 1,01877 − 1
𝑖4 = 0,01877 = 1, 877% 𝑎.𝑚
Para taxa de juros equivalente trimensal
Dados:
𝑖= 25 % a.a. = 0,25
q = 1 ano = 4 trimestres
Utilizamos a formula:
𝑖𝑞 =
𝑞
1 + 𝑖 − 1
𝑖4 =
4
1 + 0,25 − 1
𝑖4 =
4
1,25 − 1
𝑖4 = 1,05737 − 1
𝑖4 = 0,05737 = 5,737% 𝑎. 𝑡.
Taxa efetiva
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros
apurada durante todo o prazo n, sendo formada
exponencialmente através dos períodos de
capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de
formação dos juros pelo regime de juros compostos
ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela
seguinte expressão:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
Onde q representa o número de períodos de capitalização
dos juros.
Taxa efetiva
Exemplo 3 – Uma taxa de juros 3,8% ao mês determina
um montante efetivo de quanto em 1 ano?
Dados:
𝑖= 3,8% a.m. = 0,038
q = 1 ano = 12 meses
Resolução:
Utilizamos a formula:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟖)
𝟏𝟐 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏, 𝟎𝟑𝟖)
𝟏𝟐 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟓𝟔𝟒𝟒 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟓𝟔𝟒𝟒 = 𝟓𝟔, 𝟒𝟒% 𝒂. 𝒂.
Taxa Nominal
Quando se diz, por outro lado, que uma taxa de
juros é nominal, geralmente é admitido que o prazo de
capitalização dos juros (ou seja, período de formação e
incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo
daquele definido para a taxa de juros.
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no
mercado, não indica uma taxa efetiva. Toda taxa nominal
traz uma taxa efetiva implícita e é sempre calculada de
forma proporcional, no regime de juros simples
(PUCCINI, 2004).
Formula
𝑖𝑛 =
𝑖
𝑛
Onde: 𝑖𝑛 é a taxa nominal (proporcional ou linear)
Taxa Nominal
Exemplo 4 – Calcule a taxa nominal mensal de uma taxa de
juro composta anual de 36 %
Resolução: Quando se trata de uma taxa nominal é comum admitir-
se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. Assim:
𝑖𝑛 =
36
12
= 3% a.m. (Taxa proporcional ou linear)
Porém ao se capitalizar essa taxa nominal, apura-se uma taxa
efetiva de juros superior aquela declarada para a operação.
Baseando-se nos dados do exemplo acima, tem-se:
• Taxa juro composto da operação para o período = 36 %a.a.
• Taxa proporcional ou linear = 3% a.m.
• Taxa efetiva de juros: 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑)𝟏𝟐 −𝟏 = 𝟒𝟐, 𝟔% 𝒂.𝒂
Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros
de uma operação. Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas
capitalizados mensalmente, apura-se que a efetiva taxa de juros
atinge 42,6% ao ano.
Taxa Nominal
Para que 36% ao ano fosse considerada taxa efetiva, a
formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa
equivalente composta, ou seja:
• 𝑖= 36 % a.a. = 0,36
• q = 1 ano = 12 meses
𝑖𝑞 =
𝑞
1 + 𝑖 − 1
𝑖12 =
12
1 + 0,36 − 1
𝑖12 = 0,026 = 2,6% 𝑎.𝑚
Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros
equivalente mensal chega-se, evidentemente aos 36% a.a.
𝑖= 2,6% a.m. = 0,026
q = 1 ano = 12 meses
𝑖𝑓 = (1 + 0,026)
12 −1
𝑖𝑓 = 0,36 = 36% 𝑎. 𝑎.
Taxa efetiva e Nominal
Exemplo 5 – Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros
cobrado por uma instituição, calcular o custo efetivo anual,
admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
A) mensal;
B) Trimestral
C) Semestral
Resolução:
A)
Taxa nominal = 24 %a.a.
q = 1 ano = 12 meses
Taxa proporcional ou linear = 24/12 = 2% a.m. = 0,02
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐)
𝟏𝟐 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟐𝟔𝟖𝟐 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝟐 = 𝟐𝟔, 𝟖𝟐% 𝒂.𝒂
b)
Taxa nominal = 24 %a.a.
q = 1 ano = 4 trimestres
Taxa proporcional ou linear = 24/4 = 6% a.t. = 0,06
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔)
𝟒 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟐𝟔𝟐𝟒 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟒 = 𝟐𝟔, 𝟐𝟒% 𝒂.𝒂
c)
Taxa nominal = 24 %a.a.
q = 1 ano = 2 semestres
Taxa proporcional ou linear = 24/2 = 12% a.s. = 0,12
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟐)
𝟐 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟐𝟓𝟒𝟒 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟒𝟒 = 𝟐𝟓, 𝟒𝟒% 𝒂.𝒂
Conversão de taxa efetiva em nominal
Muitas vezes, o mercado financeiro define, para
uma mesma operação, expressões diferentes de juros
em termos de sua forma de capitalização. Por
exemplo uma linha de crédito de cheque especial
costuma ser definida, na prática, tanto para taxa
efetiva como por taxa nominal (linear). Nestas
condições, para a comparabilidade dos custos é
essencial que se referenciem as taxas segundo um
critério de apuração dos juros.
Conversão de taxa efetiva em nominal
Exemplo 6 – Transformar a taxa efetiva de 48% a.a. em taxa nominal
com capitalização mensal:
Resolução:
Dados:
Taxa efetiva = 48%a.a. = 0,48
n = 1 ano = 12 meses
1 Passo é transformar a taxa efetiva anual para mensal, logo:
𝑖𝑞 =
𝑞
1 + 𝑖 − 1
𝑖𝑞 =
12
1 + 0,48 − 1
𝑖𝑞 =
12
1,48 − 1
𝑖𝑞 = 1,03321 − 1
𝑖𝑞 = 0,03321 = 3,321% 𝑎.𝑚.
2 Passo: Transformar para taxa nominal anual multiplicamos a taxa mensal por
n, logo:
𝑖𝑛 = 3,321 𝑥 12
𝑖𝑛 = 39,852% a.a.
Taxa efetiva e número de períodos de 
capitalização
À medida que o número de períodos de
capitalização de uma taxa nominal de juros aumenta,
a taxa efetiva também se eleva. Em outras palavras,
quanto maior a frequência de capitalização de uma
taxa nominal, mais alto é o rendimento acumulado.
Taxa efetiva e número de períodos de 
capitalização
Exemplo 7 – Admita uma taxa nominal de 18% ao ano, encontre a taxa
efetiva anual para os períodos semestral, quadrimestral, trimestral e mensal.
Semestral
Taxa nominal = 18 %a.a.
q = 1 ano = 2 semestres
Taxa proporcional ou linear = 18/2 = 9% a.s. = 0,09
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟗)
𝟐 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟏𝟖𝟖𝟏 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟖𝟏 = 𝟏𝟖, 𝟖𝟏% 𝒂.𝒂
Quadrimestral
Taxa nominal = 18 %a.a.
q = 1 ano = 3 quadrimestre
Taxa proporcional ou linear = 18/3 = 6% a.q. = 0,06
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔)
𝟑 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟏𝟎 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟏𝟎 = 𝟏𝟗, 𝟏𝟎% 𝒂.𝒂
Trimestral
Taxa nominal= 18 %a.a.
q = 1 ano = 4 trimestres
Taxa proporcional ou linear = 18/4 = 4,5% a.t. = 0,045
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟓)
𝟒 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟐𝟓 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟐𝟓 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟓% 𝒂.𝒂
Mensal
Taxa nominal = 18 %a.a.
q = 1 ano = 12 meses
Taxa proporcional ou linear = 18/12 = 1,5% a.q. = 0,015
Logo:
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝒊)
𝒒 −𝟏
𝒊𝒇 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓)
𝟏𝟐 −𝟏
𝒊𝒇 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟓𝟔 − 𝟏
𝒊𝒇 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟓𝟔 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟔% 𝒂.𝒂
Taxa efetiva e número de períodos de 
capitalização
Através dos resultados obtidos no exemplo 4
identificamos que quanto maior a frequência de
capitalização de uma mesma taxa nominal, mais alto
é o rendimento acumulado. Podemos observar isso
na tabela dos resultados