Relatório sobre a força empuxo

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I 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
FÍSICA EXPERIMENTAL II 
 
 
Experiência 4: Determinação da densidade de um líquido 
 
 Professor: 
 Fermin Garcia Velasco 
 
 
 Grupo: 
Cinthia Dias Santana 
Gabriela Costa Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 Ilhéus (BA), 31 de outubro de 2017 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
Experiência 4: Determinação da densidade de um líquido 
Professor: Fermin Garcia Velasco 
CET833- FÍSICA EXPERIMENTAL (Prática- P12)- Eng. De Produção 
Alunos: 
1) Cinthia Dias Santana 
2) Gabriela Costa Santos 
Dia: 31/10/17 
 
1. Introdução 
Um corpo ou substância submerso à 
outra substância de caráter distinto do 
mesmo está sujeito à uma força equivalente 
à diferença de pressões aplicadas em seus 
extremos e verticalmente para cima na qual, 
por sua vez, equivale ao peso do corpo 
denominada Empuxo (𝐸), responsável pela 
certificação do Princípio de Arquimedes. 
Vale ressaltar que, ao emergir-se um corpo 
em uma determinada substância/ fluido, 
observa-se que, visualmente, o peso 
aparente (𝑃′) desse corpo possui menor 
valor que o seu peso real (𝑃). Sendo assim, 
tem-se que o valor numérico resultante da 
força Empuxo é dado por: 
𝐸 = 𝑃 − 𝑃′ 
De acordo com o Princípio de 
Arquimedes, "um corpo total ou 
parcialmente imerso em um fluido, recebe 
do fluido uma força vertical, dirigida para 
cima, cuja intensidade é igual à do peso do 
fluido deslocado pelo corpo”. 
 
Figura 1: corpo imerso num fluido sujeito à força 
empuxo 
 
Logo, tem-se que 
𝐸 = 𝑃 
Sabe-se que o peso (𝑃) de um corpo 
pode ser descrito pelo produto de sua massa 
(𝑚) pela aceleração da gravidade (𝑔), ou 
seja, 
𝑃 = 𝑚𝑔 
Também vale lembrar que a massa de 
um corpo pode ser descrita por meio do 
produto de sua densidade (𝜌) por seu 
volume (𝑉), ou seja, 
𝑚 = 𝜌𝑉 
Diante das considerações supracitadas, 
torna-se possível calcular a intensidade do 
empuxo em newtons por meio da equação 
descrita abaixo: 
𝐸 = 𝜌𝑔𝑉 
As unidades de medida de todas as 
grandezas aqui citadas serão padronizadas 
de acordo com o Sistema Internacional de 
Unidades (SI). Além disso, considera-se 
𝑔 = (9,81 ± 0,05) 𝑚/𝑠2 
 
1.1. Equações auxiliares 
Neste tópico, serão descritas algumas 
equações que serão de grande importância 
na etapa de Resultados e Discussões. 
Dada uma lista de N valores xi, com 
i=1,...,N é possível calcular: 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
Média aritmética: 
�̅� =
1
𝑁
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
 
Desvio Padrão: 
𝜎𝑥 = √
1
𝑁 − 1
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑁
𝑖=1
 
Desvio padrão da média: 
�̅�𝑥 =
𝜎𝑥
√𝑁
 
 
2. Objetivos 
A prática laboratorial descrita a seguir 
tem como foco prevalecente a determinação 
do valor numérico da densidade do fluído 
nele usado; E, atrelado a isso, a verificação 
e comprovação do princípio de 
Arquimedes, que é o responsável pelo 
objetivo supracitado. Tal prática 
laboratorial foi auxiliada por medições 
diretas e indiretas. 
 
3. Procedimento Experimental 
 
3.1. Materiais Necessários: 
• Paquímetro de precisão 2 X 10-5 m; 
• Corpo de prova (cilíndrico) graduado com 
uma escala de 8 marcações; 
• Dinamômetro de precisão de 0,05 N; 
• Haste com Suporte vertical metálico; 
• Béquer contendo fluido (água), onde a 
densidade da água equivale a 
aproximadamente 1000 𝑘𝑔/𝑚3. 
 
3.2. Métodos: 
1 - O uso do paquímetro foi destinado, 
prioritariamente, às medições da altura e 
diâmetro do corpo de prova; 
2 - Seguidamente o uso do paquímetro foi 
designado às medições de altura de cada 
marcação presente no corpo de prova, 
finalizando com um total de 8 medições 
distintas; 
3 - O corpo de prova foi, então, acoplado ao 
dinamômetro para que fosse obtido, por sua 
vez, o valor do seu Peso Real; 
4 - O corpo de prova foi submergido no 
fluido, de forma gradativa, para que, por 
fim, fossem obtidos os valores do Peso 
Aparente, que correspondem a cada uma 
das marcações presentes na escala. Tal 
procedimento foi repetido por 3 vezes. 
 
4. Resultados e Discussões 
Inicialmente, os valores de peso 
aparente de cada marcação foram dispostos 
na tabela descrita abaixo: 
Tabela 1: Medidas de peso aparente em N 
Nº da 
marcação 
Peso aparente (N) 
1ª 
repetição 
2ª 
repetição 
3ª 
repetição 
1 0,30 0,30 0,30 
2 0,40 0,40 0,45 
3 0,50 0,45 0,50 
4 0,55 0,55 0,55 
5 0,65 0,60 0,65 
6 0,75 0,75 0,75 
7 0,85 0,85 0,85 
8 0,95 0,95 0,90 
 
Em seguida, usando as equações 
auxiliares presentes na Introdução, foram 
obtidos os valores de peso aparente médio, 
desvio padrão e desvio padrão médio para 
as três repetições em cada marcação. 
(6) 
(7) 
(8) 
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Tabela 2: Valores de peso aparente médio, 
desvio padrão e desvio padrão médio para 
as oito marcações 
Nº da 
marcação 
Peso 
aparente 
médio 
Desvio 
padrão 
Desvio 
padrão 
médio 
1 0,30 0,00 0,00 
2 0,42 0,03 0,02 
3 0,48 0,03 0,02 
4 0,55 0,00 0,00 
5 0,63 0,03 0,02 
6 0,75 0,00 0,00 
7 0,85 0,00 0,00 
8 0,93 0,03 0,02 
 
A partir dos valores de peso aparente 
médio presentes na tabela 2 e do peso real 
do cilindro medido no procedimento 
experimental (P = 1 N), é possível calcular 
a força empuxo em cada marcação por meio 
da equação (1). É importante ressaltar que o 
peso aparente (𝑃′) presente na equação (1) 
será equivalente ao peso aparente médio 
(𝑃′̅) em cada marcação. 
Tabela 3: Valores de empuxo para as oito 
marcações em N 
Nº da marcação Empuxo (N) 
1 0,70 
2 0,58 
3 0,52 
4 0,45 
5 0,37 
6 0,25 
7 0,15 
8 0,07 
 
Para obter a incerteza do empuxo é 
preciso fazer a propagação de incertezas, 
dada por: 
𝜎𝐸2 = (
𝜕𝐸
𝜕𝑃
)
2
𝜎𝑃2 + (
𝜕𝐸
𝜕𝑃′̅
)
2
𝜎𝑃′̅2 
As derivadas parciais do empuxo em 
função do peso real e do peso aparente 
médio são dadas, respectivamente, por: 
𝜕𝐸
𝜕𝑃
= 1 
𝜕𝐸
𝜕𝑃′̅
= −1 
A incerteza do peso real é a precisão do 
dinamômetro em newtons: 
𝜎𝑃 = 0,05 𝑁 
A incerteza do peso aparente médio é 
dada pela fórmula abaixo: 
𝜎𝑃′̅ = √�̅�𝑃′̅2 + 𝜎𝑃2 
Onde �̅�𝑃′̅ é o desvio padrão médio 
presente na tabela 2. 
Tanto para �̅�𝑃′̅ = 0,00 quanto para 
�̅�𝑃′̅ = 0,02 tem-se que 𝜎𝑃′̅ ≅ 0,05 𝑁. 
Dessa forma, tem-se a incerteza do 
empuxo é a mesma para as oito marcações. 
Logo, 
𝜎𝐸 ≅ 0,07 𝑁 
Posteriormente, as medições das alturas 
de cada marcação realizadas no 
procedimento experimental foram dispostas 
na tabela mostrada abaixo: 
Tabela 4: Medições de altura das oito 
marcações em m 
Nº da marcação Altura (m) 
1 0,05905 
2 0,05150 
3 0,04440 
4 0,03740 
5 0,03000 
6 0,02185 
7 0,01500 
8 0,00830 
 
Também foi feita uma medição do 
diâmetro do cilindro. Considerandoque o 
corpo cilíndrico é uniforme em toda a sua 
(9) 
(10) 
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extensão, tem-se que o diâmetro do cilindro 
é igual a 0,03963 m. 
A partir dos valores de altura de cada 
marcação presentes na tabela 4 e do 
diâmetro do cilindro citado no parágrafo 
anterior, é possível calcular o volume 
submerso de cada marcação. Considerando 
que o corpo em questão é um cilindro, seu 
volume é dado por: 
𝑉 = 
1
4
𝜋𝑑2ℎ 
onde h é a altura de cada marcação e d é o 
diâmetro do cilindro. 
Tabela 5: Valores (aproximados) de 
volume submerso das oito marcações em 
m3 
Nº da marcação Volume (m3) 
1 0,000073 
2 0,000064 
3 0,000055 
4 0,000046 
5 0,000037 
6 0,000027 
7 0,000019 
8 0,000330 
Para obter a incerteza do volume é 
preciso fazer a propagação de incertezas, 
dada por: 
𝜎𝑉2 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑑
)
2
𝜎𝑑2 + (
𝜕𝑉
𝜕ℎ
)
2
𝜎ℎ2 
As derivadas parciais do empuxo em 
função do diâmetro e da altura do cilindro 
são dadas, respectivamente, por: 
𝜕𝑉
𝜕𝑑
= 
1
2
𝜋𝑑ℎ 
𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 
1
4
𝜋𝑑2 
As incertezas do diâmetro e da altura são 
equivalentes à precisão do paquímetro em 
metros: 
𝜎𝑑 = 𝜎ℎ = 2 × 10−5 𝑚 
Levando em consideração que as 
incertezas do volume são diferentes de 
acordo com a altura de cada marcação, tem-
se a seguinte tabela: 
Tabela 6: Valores das incertezas 
(aproximadas) de volume submerso das oito 
marcações em m3 
Nº da marcação σV (m3) 
1 0,00000008 
2 0,00000007 
3 0,00000006 
4 0,00000005 
5 0,00000004 
6 0,00000004 
7 0,00000003 
8 0,00000003 
Obs.: Tendo em vista que os valores das 
incertezas são extremamente pequenos, foi 
preciso adotar um número de algarismos 
significativos maior que o adotado nos 
valores da tabela 5. 
Ao passo em que foram calculados os 
valores de empuxo (tabela 3), volume 
(tabela 5) e suas respectivas incertezas, foi 
possível construir um gráfico de pontos que 
relaciona as duas grandezas: 
 
Gráfico 1: Gráfico de pontos (E X V) 
É possível fazer o ajuste linear dos 
pontos do gráfico acima através do Método 
dos Mínimos Quadrados. Dada uma 
equação linear y = ax + b, pode-se 
(11) 
(12) 
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compará-la com a equação (5). Daí, 𝐸 = 𝑦, 
𝜌𝑔 = 𝑎, 𝑉 = 𝑥 e 0 = 𝑏. 
O coeficiente angular e o coeficiente 
linear podem ser calculados, 
respectivamente, por: 
22 xx
yxxy
a



 
xayb 
 
Os erros aleatórios de a e b podem ser 
calculados, respectivamente, por: 
2
22
22
1
a
xx
yy
N
a 



 
22 )()( xxab  
 
Os erros de exatidão de a e b podem ser 
calculados, respectivamente, por: 
22















X
e
Y
e
ae x
y
a
 
 22 xyb eaee 
 
Obs.: Nas equações acima, ΔX e ΔY são 
as amplitudes dos valores das grandezas x e 
x, dadas por: 
minmax XXX 
 
minmax YYY 
 
Os valores de eX e eY são, 
respectivamente, os maiores valores das 
incertezas das grandezas X e Y. 
Os erros totais de a e b podem ser 
calculados, respectivamente, por: 
22
aaa eE  
 
22
bbb eE 
 
Após a aplicação das equações de (13) a 
(20) obteve-se: 
𝑎 ≅ 9902,8 
𝑏 ≅ −0,02 
𝛿𝑎 ≅ 242,9 
𝛿𝑏 ≅ 0,005 
𝑒𝑎 ≅ 1094,6 
𝑒𝑏 ≅ 0,07 
𝐸𝑎 ≅ 1121,2 
𝐸𝑏 ≅ 0,07 
Após a obtenção dos coeficientes 
angular e linear, foi possível construir o 
seguinte gráfico: 
 
Gráfico 2: Gráfico E X V com ajuste linear 
Segundo o Origin 8.0, software usado 
para a plotagem dos gráficos, o ajuste linear 
foi realizado com precisão de 
aproximadamente 99,4%. 
Sabendo que 𝜌𝑔 = 𝑎, é possível calcular 
a densidade em função do coeficiente 
angular e da aceleração da gravidade (𝑔 =
(9,81 ± 0,05) 𝑚/𝑠2), ou seja, 𝜌 = 
𝑎
𝑔
. 
Logo, 
𝜌 ≅ 1009,5 𝑘𝑔/𝑚3 
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
(17) 
(18) 
(19) 
(20) 
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Para obter a incerteza da densidade é 
preciso fazer a propagação de incertezas, 
dada por: 
𝜎𝜌2 = (
𝜕𝜌
𝜕𝑎
)
2
𝜎𝑎2 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑔
)
2
𝜎𝑔2 
As derivadas parciais da densidade em 
função do coeficiente angular e da 
aceleração da gravidade são dadas, 
respectivamente, por: 
𝜕𝜌
𝜕𝑎
= 
1
𝑔
 
𝜕𝜌
𝜕𝑔
= −
𝑎
𝑔2
 
Sabendo que 𝜎𝑎 = 𝐸𝑎 ≅ 1121,2 e 𝜎𝑔 =
0,05, tem-se que 
𝜎𝜌 ≅ 114,4 𝑘𝑔/𝑚3 
Portanto, a densidade do fluido é 
𝜌 = (1009,5 ± 114,4) 𝑘𝑔/𝑚3 
Para fins de avaliação, calcula-se o erro 
relativo e a diferença percentual, dados, 
respectivamente, por: 
𝐸𝑅(𝜌) =
𝜎𝜌
𝜌
× 100 
∆% =
|𝜌𝑡 − 𝜌𝑒𝑥𝑝|
𝜌𝑡
× 100 
Adotando 𝜌𝑡 ≅ 1000 𝑘𝑔/𝑚
3 e 𝜌𝑒𝑥𝑝 =
1009,5 𝑘𝑔/𝑚3, tem-se que 𝐸𝑅 ≅ 11,3 % e 
∆% = 0,95 %. 
Analogamente, é possível calcular o erro 
relativo para a e b, ou seja: 
𝐸𝑅(𝑎) =
𝐸𝑎
𝑎
× 100 ≅ 11,3 % 
𝐸𝑅(𝑏) =
𝐸𝑏
𝑏
× 100 ≅ 304,8 % 
 
5. Conclusão 
Diante dos resultados obtidos, é possível 
afirmar que o experimento foi satisfatório e 
atingiu os objetivos propostos. 
Por meio da linearização dos valores de 
empuxo X volume foi comprovada a 
proporcionalidade entre essas duas 
grandezas. Tal relação refletiu-se na 
porcentagem de precisão do ajuste (99,4%), 
considerada ótima. 
Outrossim, verificou-se a obtenção de 
um valor experimental de densidade que 
possui grande proximidade com o valor 
teórico adotado, como mostra a diferença 
percentual de 0,95%. 
Por conseguinte, percebeu-se a 
comprovação da validade do Princípio de 
Arquimedes que, por sua vez, possui grande 
utilidade no que se refere à determinação da 
densidade de um fluido a partir do peso 
aparente do corpo nele submerso. 
Todavia, é preciso considerar não só os 
valores absolutos das grandezas, mas 
também suas incertezas. A começar pela 
elevada porcentagem de erro relativo do 
coeficiente linear. Também ressalta-se o 
fato de o erro relativo da densidade estar 
fora do intervalo esperado (𝐸𝑅 < 10%). 
Acredita-se que os desvios elevados 
supracitados possam ser justificados 
sobretudo por erros sistemáticos 
observacionais. Erros na leitura do 
paquímetro e dinamômetro e no 
posicionamento das marcações submersas 
são exemplos de interferências possíveis 
neste caso. 
6. Referências 
EVANGELISTA, Adão Wagner Pêgo. 
Propriedades fundamentais dos fluidos. 
Disponível em:< 
https://www.agro.ufg.br/up/68/o/1.1.2__Pro
(21) 
(22) 
(23) 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
priedades_dos_fluidos.pdf>. Acesso em: 31 
de out 2017. 
HALLIDAY; RESNICK. Fundamentos da 
Física, v.2, 8ª ed.,LTC,2008. 
VEIT, Eliane A.. Princípio de Arquimedes. 
Disponível em:< 
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20022/J
eferson/Arquimedes-1.htm>. Acesso em: 31 
de out 2017. 
A figura 1 foi retirada do site Só Física, 
disponível em: 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mec
anica/EstaticaeHidrostatica/empuxo.php.