Lógica Matemática

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Unidade I
Parte 1
Introdução
A primeira qualidade do estilo é a clareza. Aristóteles
Aristóteles é considerado o precursor da lógica. Aristóteles (384-322 a.C.)
Alguns matemáticos:
Leibniz (1646-1716)
Leonard Euler (1707-1783)
Augustus De Morgan (1806-1871)
George Boole (1815-1864) Século XIX
Alfred North Whitehead (1861-1947)
Bertrand Russell (1872-1970)
Claude E. Shannon:
Em 1938 mostrou a aplicação da Álgebra de Boole na análise de circuitos de relés, o que serviu de base para o desenvolvimento da teoria dos interruptores.
A lógica é:
“o estudo da razão” ou
“o estudo do raciocínio”.
O estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. Irving Copi
Proposições e conectivos
Proposição:
Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. (ALENCAR FILHO, 2002)
Ex.: Madrid é a capital da Espanha.
É uma sentença declarativa que pode ser como verdadeira ou falsa.
Cristóvão Colombo descobriu o Brasil.
Não pode ser ambígua. Suscitar dúvida.
“Eu vi uma foto sua no metrô”. (Ambígua)
Quem estava no metrô? Eu ou você?
Leis fundamentais
I. Princípio da identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo.
II. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
III. Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa.
A lógica matemática é uma lógica bivalente. (Não tem uma terceira alternativa)
Provável - Possivelmente verdadeira, Quero provar que é verdade.
Refutável - Possivelmente Falsa. Quero provar que é falso.
Incompletude matemática - uma proposição pode ser INDECIDÍVEL. Não é possível provar matematicamente que a proposição é verdadeira ou falsa.
Valores lógicos das proposições
O valor lógico de uma proposição ou é verdadeiro (V) se a proposição é verdadeira, ou é falso (F) se a proposição é falsa.
Exemplo:
O chumbo é mais pesado que a água.
O sol gira em torno de Marte.
Usando a notação:
V(a) = V
V(b) = F
Unidade I
Parte 2
Proposições simples e compostas
Proposição simples:
É aquela que não pode ser subdividida em outras proposições.
Convenção:
As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s etc.
Exemplos:
p) João é careca.
q) Alice é jogadora de futebol.
r) O número 16 é ímpar.
Proposição composta:
É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.
Convenção:
As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S etc.
Exemplos:
p) João é careca e Alice é estudante.
q) Alice é bonita ou Viviane é estudante.
r) Se João é careca, então é infeliz.
Observações:
As proposições compostas também costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.
As proposições simples são também chamadas de átomos, pois, assim como o átomo, não são divisíveis, enquanto a proposição composta é chamada de molécula.
Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação das proposições simples p, q, r etc., escreve-se:
P (q, r, s etc.). Essas proposições simples serão chamadas de proposições componentes simples quando for o caso.
As proposições componentes de uma proposição composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas.
Conectivos
Definição:
Chamam-se conectivos as palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. (ALENCAR FILHO, 2002)
Exemplos:
p) O número 10 é par e o número 27 é impar.
q) O quadrilátero ABCD é retângulo ou é quadrado.
r) Não está quente.
s) Se Roberto é físico, então sabe matemática.
t) O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
Tabela-verdade
Considerando o princípio do terceiro excluído a proposição simples “p” terá a seguinte representação tabular:
p
V
F
chamada Tabela-verdade.
O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. (ALENCAR FILHO, 2002)
Exemplo com duas proposições simples:
p q
V V
V F
F V
F F
(Quantidade de linhas em uma tabela verdade vai ser igual a “proposições componentes”²)
Exemplo com três proposições simples:
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Unidade I
Parte 3
Operações lógicas sobre proposições
Negação (~)
p ~p
V F
F V
Exemplos de negação (~)
p: 3 + 3 = 6 e ~p: 3 + 3 ≠ 6
q: 10 < 4 e ~q: 10 > 4
r: Brasília é a capital da Argentina (F) e ~r:
Brasília não é a capital da Argentina.
Observações:
Nos casos mais simples, antepõe-se o advérbio “não” ao verbo da proposição.
p: Ursa Maior é uma estrela.
~p: A Ursa Maior não é uma estrela.
Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada expressões tais como “não é verdade que”, “é falso que”, por exemplo, a negação da proposição.
q: Jorge é jogador de futebol.
~q: Não é verdade que Jorge é jogador de futebol.
~q: É falso que Jorge é jogador de futebol.
Cuidado!
A negação de
“Todas as mulheres são amáveis”
é
“Nem todas as mulheres são amáveis”
Representação no diagrama de Venn:
Conjunção (^): = E
A conjunção de duas proposições p e q é proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras, e falso (F) nos demais casos.
Ou seja:
V ^ V = V,
V ^ F = F,
F ^ V = F,
F ^ F = F.
Exemplos de conjunção (^)
p: 	A clara do ovo é branca (V)
q: 	3<7 (V)
p ^ q: 	A clara do ovo é branca
e
3 < 7 (V)
V(p ^ q) = V(p) ^ V (q) = V ^ V = V
Exemplo de conjunção (^)
p: 	Enxofre é azul (F)
q: 	17 é um número primo (V)
p ^ q: 	Enxofre é azul e 17 é um número primo (F)
V(p ^ q) = V(p) ^ V (q) = F ^ V = F
Representação no diagrama de Venn:
Disjunção inclusiva ou soma lógica (v) = OU
A disjunção de duas proposições p e q é proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira, e falso (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.
Ou seja:
V v V = V,
V v F = V,
F v V= V,
F v F = F
Exemplos de disjunção (v)
p: 	Madrid é a capital da Espanha (V)
q: 	9 - 4 = 5 (V)
p v q: Madrid é a capital da Espanha
ou
9 - 4 = 5 (V)
V(p v q) = V(p) v V (q) = V v V = V
Exemplos de disjunção (v)
p:	Camões escreveu os Lusíadas (V)
q:	π = 3 (F)
p v q: Camões escreveu os Lusíadas
ou
π = 3 (V)
V(p v q) = V(p) v V (q) = V v F = V
Representação no diagrama de Venn:
Disjunção exclusiva (v) = OU EXLUSIVO
É proposição representada por “p v q”, que se lê: “ou p ou q” ou “p ou q”, mas não ambos; é verdadeira quando p e q possuem valores lógicos diferentes; é falsa (F) quando p e q possuem valores lógicos idênticos.
Disjunção exclusiva (v)
Ou seja:
V v V = F,
V v F = V,
F v V= V,
F v F = F.
Exemplos de disjunção exclusiva (v)
p: 	Maria é alagoana
q: 	Maria é gaúcha
p v q: 	Ou Maria é alagoana ou Maria é gaúcha.
Como Maria não pode ser alagoana e gaúcha simultaneamente então:
V(p v q) = V
Representação no diagrama de Venn:
Condicional (→) = Se, então
É uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falso (F), no caso em que p é verdadeira e q é falsa e verdadeira (V) nos demais casos. Operações lógicas sobre proposições
Exemplos de condicional (→)
p: 	Galois morreu em um duelo (V)
q: 	3 é um número real (V)
p → q:	Se Galois morreu em um duelo,
então,
3 é um número real (V)
V(p → q) = V(q) → V → V = V
Representação no diagrama de Venn:
Bicondicional (↔)
Ou seja:
V v V = V,
V v F = F,
F v V= F,
F v F = V.
Exemplos de bicondicional (↔)
p: 	Rússia fica na Europa (V)
q: 	A grama é verde (V)
p ↔ q: Rússia fica na Europa se e somente se a grama é verde (V)
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V (q) = V ↔ V = V
Exemplos de bicondicional (↔)
p: 	Einstein descobriu o Brasil (F)
q: 	Tiradentes foi um mártir (V)
p ↔ q: Einstein descobriu o Brasil se, e somente se, Tiradentes foi um mártir (F)V(p ↔ q) = V(p) ↔ V (q) = F ↔ V = F
Representação no diagrama de Venn:
Unidade I
Parte 4
Valor lógico de uma proposição composta
Para toda proposição composta P (p, q, r,...), sempre se pode determinar o seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos das proposições simples que a compõe p, q, r,...
Exemplo 1:
Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q) = 	~(p v q) 	↔ 	~ p ^ ~q
~(V v F) 	↔ 	~ V ^ ~F
~V 		↔ 	F ^ V
F 		↔ 	F
P (p, q) = 	V
Exemplo 2:
Sabendo que:
V (p) = V,
V (q) = F e
V (r) = F,
Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição:
P (p, q, r) = (q ↔ (r → ~p)) v ((~q → p) ↔ r)
P (p, q, r) = (q ↔ (r → ~p)) v ((~q → p) ↔ r)
V (p) = V
V (q) = F
V (r) = F
V(P) = (F ↔ (F → ~V)) v ((~F → V) ↔ F)
(F ↔ (F → F)) v ((V → V) ↔ F)
(F ↔ V) v (V ↔ F)
F v F
F
Ordem de precedência dos conectivos
(1) Maior precedência: ~ (mais “fraco”)
(2) ^ 
(3) V
(4) →
(5) Menor precedência: ↔ (mais “forte”)
Exemplos:
~p v q = (~p) v q
~p v q → r v s = ((~p) v q) → (r v s)
p → q ↔ s ^ r = (p → q) ↔ (s ^ r)
Tautologia, contradição e contingência
Tautologia 
é toda proposição composta P(p, q, r,...) cujo valor lógico é sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r,... Que a compõe.
Exemplo:
A proposição p V (q ^ ~q) ↔ p é tautológica, conforme mostra a tabela verdade:
Exemplo:
A proposição p ^ r → ~q v r é tautológica, conforme mostra a tabela-verdade:
Contradição 
é toda proposição composta P(p, q, r,...) cujo valor lógico é sempre F (falso), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r,... que a compõe.
Exemplo:
A proposição p ↔ ~p é contraditória, conforme mostra a tabela-verdade:
Exemplo:
A proposição (p ^ q) ^ ~(p v q) é contraditória, conforme mostra a tabelaverdade:
Contingência 
é toda proposição composta P(p, q, r,...) cujo valor lógico depende dos valores lógicos das proposições simples p, q, r,... que a compõe.
Exemplo:
A proposição (p ^ q) ^ ~(p v q) é contraditória, conforme mostra a tabela verdade, porém, as colunas intermediárias são contingências.
Unidade I
Interatividade
1 - Qual das alternativas abaixo é verdadeira:
=>a) Cos π/2 = 0
b) Cervantes escreveu os Sertões.
c) O número 17 é um número igual 29.
d) O sol gira em torno da terra.
e) 0! = 0
2- Construa a tabela-verdade para uma proposição composta P (p, q, r, s) e determine a quantas linhas ela possui:
=> a) 16 linhas.
b) 32 linhas.
c) 64 linhas.
d) 128 linhas.
e) 256 linhas.
3 - Escreva a sentença abaixo utilizando a notação proposta para as proposições simples e seus conectivos:
Ou você é gordo ou você é magro.
=>a) p: você é gordo; q: você é magro; p v q.
b) p: você não é gordo; q: você é magro; p v q.
c) p: você é gordo; q: você não é magro; p v q.
d) p: você é gordo; q: você é magro; p ^ q.
e) p: você é gordo; q: você é magro; p v q.
4 - Qual das proposições compostas abaixo é tautológica.
=>a) [(p → q) ^ (q → p)] ↔ (p ↔q).
b) (p → q) ^ (q → p).
c) p ^ q.
d) p v q.
e) q ↔ q.
Unidade I
Questionário
Pergunta 1 = a
	
Pergunta 2 = c
Pergunta 3 = e
Pergunta 4 = d
Duas pessoas que sabiam lógica, um estudante e um garçom, tiveram o seguinte diálogo em uma lanchonete:
Garçom: O que deseja?
Estudante: Se eu comer um sanduíche, então não comerei salada, mas tomarei sorvete.
A situação que torna a declaração do estudante FALSA é:
(ESAF/Técnico de Controle Interno-RJ/1999)
O estudante não comeu salada, mas tomou sorvete.
O estudante comeu sanduíche, não comeu salada e tomou sorvete.
O estudante não comeu sanduíche.
O estudante comeu sanduíche, mas não tomou sorvete.
O estudante não comeu sanduíche, mas comeu salada.
Pergunta 5 = a
Comentário: na negação da tabela-verdade aparecerá apenas uma linha, a segunda, com valor lógico verdadeiro, uma vez que esta é a única que se observa com valor lógico falso
Pergunta 6 = e
Como se determina a quantidade de linhas na tabela-verdade de uma proposição composta formada por "n" proposições simples?
	2n 
Comentário: cada proposição simples só admite dois valores lógicos possíveis: verdadeiro, falso e não existe um terceiro valor possível. Para cada proposição simples que se introduz em uma proposição composta, dobra-se a quantidade de possibilidades da proposição original, uma vez que, deveremos, para cada uma das possibilidades já existentes, considerar os novos valores lógicos, verdadeiro ou falso.
Pergunta 7 = b
Qual a representação molecular para a proposição composta: Se João é astronauta, então, José é marinheiro e Pedro é balconista.
Comentário: considere “p”, “q” e “r”, respectivamente, as proposições: João é astronauta. José é marinheiro. Pedro é balconista. A alternativa correta é a “b”, levando-se em conta a regra de precedência das operações lógicas que consta no livro texto. Assim, devemos primeiro operar o conectivo “e” para depois operar o “se... então...”. Os parênteses utilizados na resposta são desnecessários e servem apenas ao aumento da clareza e do entendimento da questão. Para compreensão do que é proposição molecular.
Pergunta 8 = e
Quando p é verdadeiro, pode-se afirmar que:
Pergunta 9 = c
Quantas linhas existem na tabela-verdade de uma proposição composta formada por 8 proposições simples?
Resposta Selecionada: 
a.1024
b.512
c.256
d.128
e.64
Pergunta 10 = e
Sejam as proposições:
p: O professor é, antes de tudo, um educador.
q: As universidades são formadas por professores.
Como deve ser escrita a conjunção dessas duas proposições?
Unidade II
Parte 1
Objetivo
Apresentar regras e estruturas adicionais sobre o uso de proposições.
Conceituar implicação lógica, tautologias, e as propriedades sobre proposições.
Apresentar os fundamentos da dedução, métodos dedutivos e técnicas de redução da quantidade de conectivos.
Introdução
Nesta unidade, serão apresentados temas mais avançados sobre proposições, o que permitirá ao aluno, técnicas adicionais às já estudadas na unidade anterior, possibilitando assim lidar com operações lógicas mais complexas.
Operações adicionais sobre proposições
Implicação lógica:
Definição: Uma proposição P (p, q, r,...) implica logicamente uma proposição Q (p, q, r,...) se Q (p, q, r,...) é verdadeira todas as vezes que P (p, q, r,...) for verdadeira.
Notação:
P (p, q, r,...) => Q (p, q, r,...)
Exemplo de implicação lógica:
A tabela-verdade da proposição
(p v q) ^ ~p:
Essa proposição é verdadeira somente na linha 3 e, nessa mesma linha, a proposição “q” também é verdadeira.
Então: (p v q) ^ ~p => q
Propriedades da implicação lógica.
Reflexiva: P implica sempre ela mesma
P (p, q, r,...) => P (p, q, r,...)
Transitiva:
Se P (p, q, r,...) => Q (p, q, r,...) e
Q (p, q, r,...) => R (p, q, r,...), então
P (p, q, r,...) => R (p, q, r,...)
Exemplo de implicação lógica:
A tabela-verdade da proposição p ^ q, p v q, p ↔ q é:
A proposição p ^ q é verdadeira somente na linha 1 e, nessa linha, as proposições p v q e p ↔ q também são verdadeiras.
Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições.
Exemplo de implicação lógica.
Em símbolos:
p ^ q => p v q
e
p ^ q => p ↔ q
Tautologias e implicação lógica.
A proposição P (p, q, r,...) implica a proposição Q (p, q, r,...), isto é:
P (p, q, r,...) => Q (p, q, r,...)
Se, e somente se, a condicional:
P (p, q, r,...) → Q (p, q, r,...) é tautológica.
A toda implicação lógica corresponde uma condicional tautológica e vice-versa. (ALENCAR FILHO, 2002).
Observação
Os símbolos (→) e (=>) são distintos. 
(→) é de operação lógica.
Aplicado às proposições p e q, dá a nova proposição P: p → q.
(=>) é de relação.
Estabelece que a condicional P (p, q, r,...) → Q (p, q, r,...) é tautológica.
Equivalência lógica:
Definição: Uma proposição P (p, q, r,...) é logicamente equivalente ouapenas equivalente a uma proposição Q (p, q, r,...) se as tabelas-verdade dessas duas proposições são idênticas.
Notação
P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...)
Propriedades da equivalência lógica
Reflexiva:P (p, q, r,...) ⇔ P (p, q, r,...)
Simétrica:
Se P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...) então
Q (p, q, r,...) ⇔ P(p, q, r,...)
Transitiva:
Se P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...) e
Q (p, q, r) ⇔ R (p, q, r,...) então
P (p, q, r) ⇔ R (p, q, r,...)
Exemplos de equivalência lógica:
As proposições ~~p e p são equivalentes, isto é, ~~p ⇔ p (regra da dupla negação).
É o que demonstra a tabela-verdade:
Exemplos de equivalência lógica:
As proposições ~p → p e p são equivalentes, isto é, ~p → p ⇔ p é o que demonstra a tabela:
Exemplos de equivalência lógica:
A condicional p → q e a disjunção ~p v q têm tabelas-verdade idênticas:
Tautologias e equivalência lógica:
A proposição P (p, q, r,...) é equivalente à proposição Q (p, q, r,...), isto é:
P (p, q, r,...) ⇔ Q (p, q, r,...)
Se, e somente se, a bicondicional:
P (p, q, r,...) ↔ Q (p, q, r,...) é tautológica.
Observação: 
Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos.
(↔) é de operação lógica.
Aplicado às proposições p e q , dá a nova proposição.
(⇔) é de relação.
Estabelece que a bicondicional
P (p , q, r,...) ↔ Q (p, q , r,...) é tautológica.
Unidade II
Parte 2
Operações adicionais sobre proposições
Proposições associadas a uma condicional:
Dada a condicional (p→q), chamam-se proposições associadas a (p→q) as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q:
Recíproca de p → q: q → p
Contrária de p → q: ~p → ~q
Contrapositiva de p → q: ~q → ~ p
As tabelas-verdade dessas quatro proposições são:
A condicional:			p → q
E a sua contrapositiva 	~q → ~p
São equivalentes.
Ou seja: 			p → q ⇔ ~q → ~p
A recíproca 	q → p
E a contrária 	~p → ~q
São equivalentes, ou seja:
q → p ⇔ ~p → ~q
Exemplos:
Seja a condicional relativa a um quadrilátero Q:
p → q: se Q é quadrado, então Q é retângulo.
A recíproca dessa proposição é:
q → p: se Q é retângulo, então é quadrado.
Aqui, a condicional p → q é verdadeira, mas a sua recíproca q → p é falsa.
Exemplos:
Seja a proposição relativa à lei de trânsito:
p → q: Se eu bebo, então eu não dirijo.
A contrapositiva dessa proposição é:
~q → ~p: Se eu dirijo, então eu não bebo.
Aqui, a condicional p → q e a sua contrapositiva ~q → ~p são equivalentes e ambas 
Negação conjunta de duas proposições:
A conjunção de duas proposições p e q negadas é a proposição “não p e não q”.
Esse tipo de negação é denominado de negação conjunta.
Em símbolos: p ↓ q ⇔ ~p ^ ~ q
Tabela-verdade da negação conjunta “p ↓ q”:
Negação disjunta de duas proposições:
A negação disjunta de duas proposições p e q é a proposição “não p ou não q”.
Em símbolos: p ↑ q ⇔ ~p v ~ q
Tabela-verdade da negação disjunta “p ↑ q”:
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção:
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são (V) verdadeiro e (F) falso.
Idempotente: p ^ p ⇔ p
Identidade: p ^ t ⇔ p e p ^ c ⇔ c
Associativa: (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ ( q ^ r)
Comutativa: p ^ q ↔ q ^ p
A demonstração da identidade pode ser feita com a construção da tabela-verdade e a verificação da tautologia.
p ^ t ⇔ p e p ^ c ⇔ c
Propriedades da disjunção:
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdadeiro) e F (falso).
Idempotente: p v p ⇔ p
Identidade: p v t ⇔ t e p v c ⇔ p
Associativa: (p v q) v r ⇔ p v (q v r)
Comutativa: p v q ⇔ q v p
A demonstração da propriedade associativa pode ser feita com a construção da tabela verdade e a verificação da tautologia.
(p v q) v r ⇔ p v (q v r)
Propriedades da disjunção: (associativa)
(p v q) v r ⇔ p v (q v r)
Unidade II
Parte 3
Propriedades das proposições e fundamentos da dedução
Propriedades da conjunção e da disjunção:
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
Distributivas:
p ^ (q v r) ⇔ (p ^ q) v (p ^ r);
p v (q ^ r) ⇔ (p v q) ^ (p v r);
p ^ (q v r) ⇔ (p ^ q) v (p ^ r);
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.
Absorção:
p ^ (p v q) ⇔ p
e
p v (p ^ q) ⇔ p
Sejam p e q proposições simples quaisquer.
Regras de Morgan:
~(p ^ q) ⇔ ~p v ~q;
~(p v q) ⇔ ~p ^ ~q.
~(p ^ q) ⇔ ~p v ~q;
Negação da condicional:
Como:
p → q ⇔ ~p v q,
Negando-se a condicional, tem-se:
~(p → q ) ⇔
⇔ ~(~p v q ) ⇔
⇔ ~~p ^ ~q ⇔
⇔ p ^ ~q
Negação da bicondicional:
Como:
p ↔ q ⇔ (p → q) ^ (q → p), então,
p ↔ q ⇔ (~p v q) ^ (~q v p)
Negando-se a bicondicional, tem-se:
~(p ↔ q) ⇔ ~[(~p v q) ^ (~q v p)]
~(p ↔ q) ⇔ ~(~p v q) ^ ~(~q v p)
~(p ↔ q) ⇔ (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Unidade II
Parte 4
Método dedutivo
Para auxílio nas demonstrações, serão realizadas as seguintes suposições:
Serão dadas as proposições simples p, q, r, a proposição t sempre é verdadeira e a proposição c é sempre falsa.
Elas serão substituídas, respectivamente, por proposições compostas P, Q, R; T (tautologia) e C (contradição) quando for o caso.
Demonstrar as implicações:
c => p; (c → p é tautológica)
p => t; (p → t é tautológica)
Onde p é uma proposição qualquer, c e t são proposições cujos valores lógicos respectivos são F e V.
V(c) = F
V(t) = V
Demonstração:
Sabe-se, que p → q e ~p v q são proposições equivalentes.
Uma implicação é verdadeira se a condicional é tautológica.
Se provamos que a condicional referente à implicação é tautológica, então provamos que a proposição é válida.
p → q ⇔ ~p v q;
V(c) = F;
V(t)=V
Então:
c → p ⇔ ~c v p ⇔ t v p ⇔ t 	(cqd)
p → t ⇔ ~p v t ⇔ t 		(cqd)
Demonstrar a implicação
p ^ q => p 	(simplificação)
Demonstração:
p ^ q → p ⇔
⇔ ~(p ^ q) v p ⇔
⇔ (~p v ~q) v p ⇔
⇔ (~p v p) v ~ q ⇔
⇔ T v ~q ⇔
⇔ T
Demonstrar a implicação
p => p v q 	(adição).
Demonstração:
p → p v q ⇔
⇔ ~ p v (p v q) ⇔
⇔ (~ p v p) v q ⇔
⇔ T v q ⇔
⇔ T
Demonstrar a implicação
(p → q) ^ p => q (modus ponens)
Demonstração:
(p → q) ^ p ⇔
⇔ p ^ (~ p v q) ⇔
⇔ (p ^ ~p) v (p ^ q) ⇔
⇔ C v (p ^ q) ⇔
⇔ p ^ q ⇔ q
Redução do número de conectivos
Conectivos fundamentais: (~, ^, v, →, ↔)
Demonstra-se que é possível que três deles podem ser expressos em termos de apenas dois dos seguintes pares:
~ e v
~ e ^
~ e →
Demonstração:
^, → e ↔ em função de ~ e v:
p ^ q ⇔
⇔ ~~ p ^ ~~ q ⇔
⇔ ~ (~ p v ~ q)
p → q ⇔ ~p v q
p ↔ q ⇔
⇔ (p → q) ^ (q → p) ⇔
⇔ ~(~ p v q) v ~( ~q v q))
Demonstração:
v, → e ↔ em função de ~ e ^:
p v q ⇔ ~~p v ~~q ⇔ ~(~p ^ ~ q)
p → q ⇔ ~p v q ⇔ ~(p ^ ~q)
p ↔ q ⇔
⇔ (p → q) ^ (q → p) ⇔
⇔ ~(p ^ ~q) ^ ~(~p ^ q)
Definição:
Uma proposição está na forma normal (FN) se, e somente se, a proposição contém apenas os conectivos ~, ^ e v.
Observação:
Toda proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela redução do número de conectivos.
Princípio de dualidade
Princípio de dualidade:
Se P e Q são proposições equivalentes que só contêm os conectivos ~, ^ e V, então as suas duais respectivas P1 e Q1 também são equivalentes.
Exemplo:
Como p ^ (p v q) ⇔ p
Então p v (p ^ q) ⇔ p
(pelo princípio da dualidade)
Unidade II
Interatividade
1 - Qual das alternativas abaixo é tautológica?
a) p ^ (p v q) ⇔ p = OK
b) (p → q) ^ (q → p) ⇔ (p ↔ q) = OK
c) (~p v q) ^ (~q v p) ⇔ (p ↔ q)
d) p v (p ^ q) ⇔ p
=> e) Todas as alternativas anteriores estão corretas.
2 - Qual das alternativas abaixo é tautológica:
a) p v q ⇔ p v q	X
b) p v q ⇔(p → q) ^(q → p)	X
=>c) p v q ⇔ (p v q) ^ ~(p ^ q)
d) p v q ⇔ p v (p ^ q)
e) p v q ⇔ p
3 - Das proposições compostas abaixo:
I. - (p → q) ⇔ (~p v q)			OK Negação da condicional
II. - (p ↔ q) ⇔ (p → q) ^ (q → p)	OK Negação da bicondicional
III. - (p v q) ⇔ ~(p ↔ q)
a) As alternativas I e II são verdadeiras.
b) As alternativas I e III são verdadeiras.
c) As alternativas II e III são verdadeiras.
=>d) As alternativas s a te at as I, II e III são verdadeiras.e) As alternativas I, II e III são falsas.
4 - Qual das alternativas abaixo não é tautológica:
a) (p → q) ^ ~ q → ~p
b) (p v q) ^ ~p → q
c) p ^ q → p v q
d) (p → q) → (p ^ r) → q
=>e) p ^ q ↔ p v q
Unidade II
Questionário
Pergunta 1 = e
Todas as afirmativas são falsas.
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a afirmativa I é verdadeira.
Apenas a afirmativa II é verdadeira.
Apenas a afirmativa III é verdadeira.
Pergunta 2 = d
I e II.
II e III.
III e IV.
I e IV.
II e IV.
Pergunta 3 = c
I e II.
II e III.
III e IV.
I e IV.
II e IV.
Pergunta 4 = b
2
4
8
16
32
Pergunta 5 = e
Todas as afirmativas são falsas.
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a afirmativa I é verdadeira.
Apenas a afirmativa II é verdadeira.
Apenas a afirmativa III é verdadeira.
Comentário: A proposição contém apenas valores verdadeiros na tabela-verdade; portanto, é tautológica. A alternativa “e” é a correta.
Pergunta 6 = a
A propriedade reflexiva da implicação garante que:
P => P
P => Q; Q=>R, então P => R
P => (Q v R), então (P => Q) v (P=>R)
P => Q; Q => P
P => (Q ^ R), então (P => Q) ^ (P=>R)
Comentário: A propriedade reflexiva garante que toda proposição implica ela mesma; portanto, a alternativa correta é a “a”.
Pergunta 7 = b
A propriedade transitiva da implicação garante que:
P => P
P => Q; Q=>R, então P => R
P => (Q v R), então (P => Q) v (P=>R)
P => Q; Q => P
P => (Q ^ R), então (P => Q) ^ (P=>R)
A alternativa correta é a “b”. A propriedade transitiva garante que a implicação transite entre implicações sucessivas P, Q, R etc.
Pergunta 8 = c
Todas as afirmativas são falsas
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a afirmativa I é verdadeira.
Apenas a afirmativa II é verdadeira.
Apenas a afirmativa III é verdadeira.
Pergunta 9 = d
Das proposições contrapositivas, podemos afirmar que:
São contraditórias.
São equivalentes.
São tautológicas.
Assinale a alternativa correta:
Todas as afirmativas são falsas.
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a afirmativa I é verdadeira.
Apenas a afirmativa II é verdadeira.
Apenas a afirmativa III é verdadeira.
Pergunta 10 = b
Duas proposições são equivalentes se:
I. Suas tabelas-verdade são iguais.
II. A bicondicional entre elas é tautológica.
III. Para todo valor lógico V de uma, o valor lógico da outra é V também.
Assinale a alternativa correta:
Todas as afirmativas são falsas.
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a afirmativa I é verdadeira.
Apenas a afirmativa II é verdadeira.
Apenas a afirmativa III é verdadeira.
Comentário: As afirmações I e II são sinônimas, pois, para que a bicondicional seja tautológica, é condição necessária e suficiente que suas tabelas-verdade sejam iguais. A afirmação III é verdadeira, pois garante que os valores lógicos Vs sejam iguais; no entanto, esta condição é necessária, mas não é suficiente. Os valores Fs também devem ser iguais.
Unidade III
Parte 1
Princípios da argumentação
Argumento:
Algumas definições (dicionário):
Raciocínio através do qual se tira uma conclusão.
Prova, demonstração.
Mais uma definição:
Um argumento é um conjunto de duas ou mais proposições, no qual uma das proposições é denominada conclusão e as demais são chamadas de premissas.
A conclusão é consequência das premissas.
Inferência:
É a forma como, por meio das premissas, chega-se a uma conclusão.
Ela pode ser dita como a forma de raciocínio.
Exemplo:
“Meu avô é alto, meu pai é alto, eu sou alto; logo, meu filho será alto.”
Temos quatro proposições, em que as três primeiras são as premissas e a última é a conclusão, justificada com base nas outras três.
Argumento dedutivo:
É aquele em que a conclusão é uma consequência lógica das premissas.
Argumento (dedutivo) válido:
Premissas verdadeiras levam a conclusões verdadeiras.
Argumento indutivo:
Os argumentos indutivos são aqueles em que a conclusão apresenta informações que não estão presentes nas premissas.
Exemplo:
“Meu time ganhou os três últimos campeonatos, logo, meu time ganhará o próximo campeonato.”
Não há nada que garanta que um time ganhe um campeonato baseado no fato de ter ganhado os três últimos, embora, isso possa ser muito provável!
Definição simbólica formal de argumento:
Sejam P1, P2,..., Pn (n ≥ 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas. Denomina-se argumento toda afirmação em que uma dada sequência finita P1, P2,..., Pn (n ≥ 1) de proposições tem como consequência uma proposição Q.
Notação de argumento:
1. P1, P2,..., Pn Ͱ Q
ou
2. 	P1
P2
…
Pn
___
Q
Um argumento (dedutivo).
Válido ou inválido.
Não é correto dizer de um argumento:
Verdadeiro ou falso.
Validade de um argumento (dedutivo)
Definição:
P1, P2,..., Pn Ͱ Q é dito válido se, e somente se, a conclusão Q for verdadeira em todas as vezes que as premissas P1, P2,..., Pn forem verdadeiras. TAUTOLÓGICA
Chama-se de sofisma (ou falácia) um argumento não válido.
Sofisma:
Raciocínio capcioso, feito com a intenção de enganar.
Argumento ou raciocínio falso, com alguma aparência de verdade.
Falácia:
Engano, burla, MENTIRA.
Palavra ou ato enganoso.
Critérios de validade de um argumento:
Um argumento P1, P2,..., Pn Ͱ Q é válido se, e somente se, A condicional: (P1 ^ P2
^ … ^ Pn) → Q é tautológica.
Exemplo:
O argumento p Ͱ p v q é válido pois:
Sempre que p for verdadeira, a disjunção (v) também será verdadeira.
Observação:
A validade ou não validade de um argumento depende apenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e da falsidade das proposições que o integram.
Unidade III
Parte 2
Princípios da argumentação
Regras de inferência:
Adição (AD)
p Ͱ p v q 				(p → p v q é tautológica)
p Ͱ q v p 				(p → q v p é tautológica)
Simplificação (SIMP)
p ^ q Ͱ p 				(p ^ q → p é tautológica)
p ^ q Ͱ q 				(p ^ q → q é tautológica)
Conjunção (CONJ)
p, q Ͱ p ^ q 				(p ^ q → p ^ q)
p, q Ͱ q ^ p 				(p ^ q → q ^ p)
Absorção (ABS)
p → q Ͱ p → (p ^ q)
Modus ponens (MP)
p → q, p Ͱ q	 			(p → q) ^ p → q
Modus tollens (MT)
p → q, p Ͱ ~p 				(p → q) ^ p → ~p
Silogismo disjuntivo (SD)
p v q, ~p Ͱ q 				(p v q) ^ ~p → q
p v q, ~q Ͱ p 				(p v q) ^ ~q → p
Silogismo hipotético (SH) = TRANSITIVIDADE
p → q, q → r Ͱ p → r			(p → q) ^ (q → r) → (p → r)
Dilema construtivo (DC)
p → q, r → s, p v r Ͱ q v s		(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r) → (q v s)
Dilema destrutivo (DD)
p → q, r → s, ~q v ~s Ͱ ~p v ~r		(p → q) ^ (r → s) ^ (~q ^ ~s) → (~p v ~r)
Simplificação disjuntiva (SIMPD)
p v q, p v ~q Ͱ p				(p v q) ^ (p v ~q) → p
Disjunção exclusiva (DE)
p v q, q Ͱ ~q					(p v q) ^ q → ~q
Eliminação bicondicional (EB)
a) p ↔ q, p Ͱ q
b) p ↔ q, q Ͱ p
c) p ↔ q, ~p Ͱ ~q
d) p ↔ q, ~q Ͱ ~p
Exemplo: regra da absorção
p → q Ͱ p → (p ^ q)
p = hoje é sexta-feira
q = irei sair
Exemplo: regra da absorção
p → q Ͱ p → (p ^ q)
Se hoje é sexta-feira, então irei sair (p→q).
Hoje é sexta-feira, então hoje é sexta-feira e eu irei sair (p→(p ^ q)).
Unidade III
Parte 3
Validação de argumentos
Utilizando a tabela-verdade:
O argumento P1, P2,..., Pn Ͱ Q é válido
então
A condicional: (P1 ^ P2 ^ …^ Pn) → Q é tautológica.
Exemplo:
Se a = 3 e b = c, então b > 2
b ≤ 2________
Portanto, b ≠ c
Identificação das proposições:
p: a = 3; q: b = c; r: b > 2
p ^ q → r; ~r Ͱ ~q
Exemplo:
A condicional associada ao argumento será:
(((p ^ q) → r) ^ ~r) → ~q
Construindo a tabela-verdade:
Exemplo:
Se correr, então Vinícius fica suado.
Vinícius não ficou suado.
Logo, Vinícius não correu.
Identificação das proposições:
p: correr.
q: Vinícius fica suado.
Exemplo:
A condicional associada ao argumento será:
(p → q) ^ ~q → ~p
Construindo a tabela-verdade:
Unidade III
Parte 4
Validação de argumentos
Utilizando regras de inferência:
Utilizando regras de inferência (passo a passo):
Disponha as premissas uma em cada linha.
Numere as linhas.
Identifique os principais conectivos de cada premissa.Sempre presuma que as premissas são verdadeiras.
Comece com as premissas que tenham uma fórmula mais simples.
Infira de cada premissa os valores lógicos de suas proposições componentes.
A cada valor lógico encontrado, substitua-o nas premissas mais complexas.
Obtenha todos os valores lógicos possíveis.
No final, você deve ser capaz de afirmar que o valor lógico da conclusão é verdadeiro para que o argumento seja válido; do contrário, o argumento será inválido.
Exemplo:
Verificar a validade do argumento:
p → q, p ^ r Ͱ q
(1) p → q	 	P1
(2) p ^ r 		P2
(3) p_____ 		SIMP em (2)
(4) q 			MP em (1) e (3)
Verificar a validade do argumento:
p ^ q, p v r → s Ͱ p ^ s
(1) p ^ q 		P1
(2) p v r → s 		P2
(3) p			SIMP em (1)
(4) p v r 		AD em (3)
(5) s 			MP em (2) e (4)
(6) p ^ s 		CONJ em (3) e (5)
Verificar a validade do argumento:
p → (q → r), p → q, p Ͱ r
(1) p → (q → r) 	P1
(2) p → q 		P2
(3) p_________	P3
(4) q → r 		MP em (1) e (3)
(5) q 			MP em (2) e (3)
(6) r 			MP em (4) e (5)
Unidade III
Interatividade
1 - Indique o argumento inválido:
p ^ q Ͱ p
p ^ q Ͱ q
p, q Ͱ p ^ q
p → q Ͱ p → (p ^ q)
p → q, p Ͱ ~q		<= verdade
2 - Considere o seguinte argumento:
 x ≠ 4 _
x ≠ 4 v x ≠ 1
Que regra de inferência foi utilizada para se afirmar que a conclusão é verdadeira?
Adição (AD).		<= Verdade
Modus tollens (MT).
Silogismo hipotético (SH).
Dilema destrutivo (DD).
Simplificação disjuntiva (SIMPD).
3 - Se um homem é baixo, ele é complexado.
Se um homem é complexado, fica doente.
Logo, os homens baixos ficam doentes.
As proposições são as seguintes:
O homem é: (p) baixo, (q) complexado e (r) doente
A forma simbólica correta será:
p → q, q → r Ͱ p → r		<= Verdade
p → q, q → p Ͱ p → r
p → r, q → p Ͱ p → q
p → q, q → r Ͱ r → p
r → q, q → p Ͱ p → r
4 - Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. Por outro lado, se geografia não é difícil, então lógica é difícil. Daí, segue-se que, se Artur gosta de lógica, então:
Se geografia é difícil, então lógica é difícil.
Lógica é fácil e geografia é difícil.
Lógica é fácil e geografia é fácil.
Lógica é difícil e geografia é difícil.
Lógica é difícil ou geografia é fácil.
(RESUMOS-CONCURSOS/2008)
p = Fácil
q = Gosta
r = Geo fácil
~q = Arthur gosta
~p = Lógica difícil
~r = Geo difícil
P1 = p v q	P2 = r → ~p P3 = q
(1) p v q
(2) r → ~p
(3) q______
(4) ~q		DE 1 e 4
Unidade III
Questionário
Pergunta 1 = c
p v q → p
p → p ^ q
p → p v q
p ^ q → p
p ^q → p v q
Pergunta 2 = e
A condicional associada ao argumento: p → q, r → s, p v r Ͱ q v s (DC) é:
Pergunta 3 = e
A condicional associada ao argumento: p → q, r → s, ~q v ~s Ͱ ~p v ~r (DD) é:
Pergunta 4 = a
A definição simbólica de argumento é:
Toda afirmação formada por um conjunto finito de premissas que tem uma conclusão como consequência.
Toda afirmação da forma “se P então Q”.
Toda afirmação da forma “P se e somente Q”.
Uma afirmação verdadeira qualquer.
Uma afirmação válida qualquer.
Comentário: Alternativa “a” - conforme a definição de argumento: sejam P1, P2,..., Pn (n >= 1) e Q proposições quaisquer, um argumento é toda afirmação em que uma dada sequência finita P1, P2,..., Pn (n >= 1) de proposições tem, como consequência, uma proposição Q
Pergunta 5 = d
Das regras de inferência, podemos dizer que:
I - São sempre verdadeiras.
II - São sempre válidas.
III - Facilitam o processo de demonstração de validade de argumentos complexos
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Apenas a alternativa I é verdadeira.
Apenas as alternativas II e III são verdadeiras.
Apenas as alternativas I e III são verdadeiras.
Todas as alternativas são falsas.
Comentário: Regras de inferência são argumentos cuja validade já é sabida e servem para facilitar o processo de demonstração de validade de argumentos mais complexos. Logo, a alternativa “d” é a correta.
Pergunta 6 = b
Indique a regra de inferência conhecida como Modus Ponens (MP):
b. 
Pergunta 7 = d
Indique a regra de inferência conhecida como Silogismo Hipotético (SH):
d. 
Pergunta 8 = b
Um argumento é válido:
I - Se a bicondicional formada pela conjunção das premissas na hipótese e a conclusão na tese for tautológica.
II - Se a condicional formada pela conjunção das premissas na hipótese e a conclusão na tese for tautológica.
III - Se a conclusão for verdadeira em todas as vezes que as premissas forem verdadeiras.
Resposta Selecionada:
A I e a II estão corretas.
A II e a III estão corretas.
A III e a IV estão corretas.
A I e a IV estão corretas.
A II e a IV estão corretas.
Pergunta 9 = d
Um sofisma é:
Um raciocínio correto.
Um raciocínio válido.
Um argumento válido.
Um raciocínio enganoso.
Uma mentira fragorosa.
Comentário: A alternativa “d” é correta, conforme a definição dos dicionários.
Pergunta 10 = c
o argumento, podemos dizer que é:
I - Verdadeiro.
II - Válido.
III - Falso.
IV - Inválido.
Todas as afirmativas são falsas.
A I e a III são verdadeiras.
A II e a IV são verdadeiras.
A I e a II são verdadeiras.
Todas as afirmativas são verdadeiras
Comentário: Diz-se das proposições que elas são verdadeiras ou falsas. Os argumentos são válidos ou inválidos. Logo, as afirmações II e IV são verdadeiras, e a resposta correta é a alternativa “c”.
Unidade IV
Parte 1
Lógica dos predicados
Sentenças abertas
São aquelas para as quais não se pode atribuir valor lógico verdadeiro ou falso.
Exemplo:
x é menor que 8 
Ele foi jogador do Palmeiras.
Sentenças fechadas
São aquelas para as quais se pode atribuir valor lógico verdadeiro ou falso.
Exemplo:
9 é menor que 8 (F)
Ademir Da Guia foi jogador do Palmeiras. (V)
Revisão de teoria dos conjuntos
Definição de conjunto: É uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada.
Em outras palavras, é uma coleção não ordenada de objetos. Segundo Angel Martinez e Akio Barbosa
Definição de conjunto: Outros autores afirmam que conjuntos não tem uma definição matemática genérica. Podemos definir um conjunto específico a partir do conhecimento dos elementos que o compõe ficando assim aquele conjunto específico bem definido.
Em um conjunto, a ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado apenas uma vez.
Denotação por extensão: Os elementos são listados exaustivamente.
Exemplo:
Vogais = {a, e, i, o, u}
Denotação por compreensão: Definição de um conjunto por propriedades comuns aos seus elementos.
De forma geral, escreve-se:
{x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade.
Denotação por compreensão:
Exemplo:
Pares = {n | n é par},
Conjunto de todos os elementos n, tal que n é um número par.
Enumeração e omissão:
Dígitos: {0,1,2,3,...,9}
Pares: {0,2,4,6,...}
Relação de pertinência
“a” é elemento de um conjunto A
então podemos escrever:
“a” ϵ A (“a” pertence ao conjunto A)
“a” não é elemento de um conjunto A
então podemos escrever:
“a” ∉ A (“a” não pertence ao conjunto A)
Relação de pertinência – Exemplos
Vogais = {a, e, i, o, u},
e ϵ Vogais;
m ∉Vogais
B = { x | x é brasileiro},
Pelé ϵ B.
Bill Gates ∉ B
Alguns conjuntos importantes
Conjunto vazio não possui elementos.
Notação: ø ou { }
N conjunto dos números naturais; FORA O ZERO
Z conjunto dos números inteiros;
Q conjunto dos números racionais;
I conjunto dos números irracionais;
R conjunto dos números reais;
C conjunto dos números complexos.
Relação de inclusão: Relação = vínculo entre CONJUNTOS
Se todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um conjunto B, então dizemos que:
A ⊆ B (A está contido em B)
ou
B ⊇ A (B contém A)
Se todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um conjunto B e existe b ϵ B tal que b ∉ A, então diz-se que:
A ⊂ B (está contido propriamente em B)
ou
B ⊃ A (B contém propriamente A)
Conjunto Universo:
Definição: É o conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo considerados, ou seja, define ocontexto de discussão.
A ⊆ U, qualquer que seja o conjunto A Lógica dos predicados
Igualdade de conjuntos:
Definição: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.
A = B se e somente se A ⊆ B ^ B ⊆ A
Sentença aberta:
Definição: Dá-se o nome de sentença aberta de uma variável em um conjunto A, ou apenas sentença aberta em A, a uma expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo a ϵ A.
p(x) é uma sentença aberta em A
se e somente se
p(x) torna-se uma proposição (falsa ou verdadeira) todas as vezes que se substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A (a ϵ A).
Exemplos
y + 4 = 10;
x é divisor de 50;
z não é primo;
k é múltiplo de 7;
u é capital da Argentina.
Conjunto-verdade de uma sentença aberta com uma variável
Dá-se o nome de conjunto verdade (Vp) de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A ao conjunto de todos os elementos a ϵ A tais que p(a) é uma proposição verdadeira (V).
Observação: Vp ⊂ A
Exemplo:
Vp = {x | x ϵ A ^ p(x) é V}
Unidade IV
Parte 2
Lógica dos predicados
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Negação:
U = N; (conjunto dos números naturais)
X > 12
U = N (conjunto dos números naturais)
~ X > 12 (não é verdade que...)
U = N; (conjunto dos números naturais)
~X > 12 ⇔ (x = 12) v (x < 12) ou (x ≤ 12)
Dada uma sentença p(x) aberta em um conjunto A, e seja o elemento a ∈ A, este satisfaz a sentença aberta ~p(x) em A se a proposição ~p(a) é verdadeira.
Portanto, o conjunto-verdade V~p da sentença aberta p(x) em A é o complemento em relação a A do conjunto-verdade Vp da sentença aberta p(x).
Negação: (em símbolos)
V~p = CA Vp = CA; {x ∈ A I p(x)}
Conjunção:
Sejam as seguintes sentenças abertas no conjunto universo H o conjunto dos seres humanos:
“x é carpinteiro”
“x é piloto de avião”.
“x é carpinteiro” ^ “x é piloto de avião”
Será verdadeira para todos os indivíduos do conjunto H que satisfazem ao mesmo tempo as duas condições dadas, e só por esses indivíduos.
Disjunção:
Sejam as seguintes sentenças abertas no conjunto universo H o conjunto dos seres humanos:
“x é carpinteiro”
“x é piloto de avião”.
“x é carpinteiro” v “x é piloto de avião”
Será verdadeira para todos os indivíduos do conjunto H que satisfazem pelo menos uma das duas condições dadas.
Exemplo:
Sejam as sentenças abertas em Z:
p(x) : x - 3 = 0
q(x) : x2 - 9 = 0
Temos:
Vpvq = {x ∈ Z | x-3 = 0} ∪ {x ∈ Z | x2 – 9 = 0}
Vpvq = {3} ∪ {-3,3} = {-3,3}
Vpvq= {x ∈ Z | x = -3 v x = 3 }
Condicional:
Dadas duas proposições p(x) e q(x) que sejam sentenças abertas em um mesmo conjunto A, se essas duas sentenças abertas forem unidas pelo conectivo (→) surgirá então uma nova sentença aberta em A:“p(x) → q(x)”, que é verdadeira para todo elemento a ∈ A tal que a condicional “p(a) → q(a)” é verdadeira.
Condicional - Em símbolos:
Vp→q = V~p U Vq = CA Vp U Vq
Ou seja:
Vp→q = CA { x ∈ A | p(x) } U { x ∈ A | q (x)}
Bicondicional:
Dadas duas proposições p(x) e q(x) que sejam sentenças abertas em um mesmo conjunto A, se essas duas sentenças abertas forem unidas pelo conectivo (↔) surgirá então uma nova sentença aberta em A:“p(x)↔q(x)”, que é verdadeira para todo elemento a ∈ A, tal que, a bicondicional “p(a) ↔ q(a)” é verdadeira.
Bicondicional – Em símbolos:
p(x) ↔ q(x)
(p(x) → q(x)) ^ (q(x) → p(x))
(~p(x) v q(x)) ^ (~q(x) v p(x))
Bicondicional – Em símbolos:
Vp↔q 	= Vp→q ∩ Vq→p =
= (V~p U Vq) ∩ (V~q U Vp) =
= (CAVp U Vq) ∩ (CAVq U Vp)
Propriedades das sentenças abertas
As propriedades das sentenças abertas tem o mesmo comportamento das proposições normais.
Unidade IV
Parte 3
Lógica dos predicados
Quantificador universal:
Seja p(x) sentença aberta em A (A ≠ ∅), Vp é o conjunto-verdade de p(x).
Em símbolos: Vp = {x | x ∈ A ^ p(x)}.
Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x), pode-se escrever de alguma destas maneiras a seguir:
“Para todo elemento x em A, p(x) é verdadeira”.
“Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira”.
Em símbolos: ∀ x ∈ A, p(x)
Em símbolos: 	∀ x ∈ A, p(x)
∀ x, p(x)
Vale a equivalência: (∀ x ∈ A) (p(x)) ⇔ Vp = A
Quantificador universal - Exemplo:
Seja o universo finito A = {2, 4, 6} e Seja p(x) a sentença aberta “x é par”, tem-se:
(∀ x ∈ A) (x é par) ⇔ (2 é par ^ 4 é par ^ 6 é par)
Qualquer que seja o elemento x pertencente a A, ele será par.
(∀ x) (x é mortal) Lê-se:
“Qualquer que seja x, x é mortal”;
É uma proposição verdadeira no universo A dos animais.
∀ x) (3x > x): “Qualquer que seja x, 3x > x”
“O triplo de um número é sempre maior que esse número”
Verdadeiro quando x ∈ N
Falso quando x ∈ Z
Quantificador existencial:
Dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e seja Vp o seu conjunto verdade:
Vp = {x I x ∈ A ^ p(x)}
Quando Vp, não é vazio (Vp ≠ ∅), então pelo menos um elemento do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), daí pode-se dizer que:
Existe pelo menos um x ∈ A tal que p(x) é verdadeira;
Para algum x ∈ A, p(x) é verdadeira
Em símbolos: ∃ x ∈ A, p(x)
Simplificadamente, por exemplo: ∃x, p(x)
Vale a equivalência:
(∃ x ∈ A)(p(x)) ⇔ Vp ≠ ∅
Em um universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas.
Exemplo:
Seja o conjunto universo finito A = {3, 4, 5};
Sendo p(x) a sentença aberta “x é par”,
Temos:
(∃ x ∈ A) (p(x)) = (3 é par v 4 é par v 5 é par)
Quantificador da unicidade
Seja uma sentença aberta p(x) em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e seja Vp o seu conjunto-verdade composto por apenas um elemento, e somente um elemento.
Usa-se a seguinte simbologia:
∃! ou ∃|, isto é, existe um e somente um
Exemplo:
Seja a sentença: “x - 3 = 0”, em que o conjunto universo é o dos números naturais N
(∃! x ∈ N)(x – 3 = 0)
Ou seja, existe um e somente um x em N tal que x – 3 = 0 seja verificada.
Negação de um Quantificador:
~∀ ∃ (Qualquer x Existe)
~∃ ∃ (Não existe x Existe)
Exemplos:
“Todos os carros são bonitos”;
“Nem todos os carros são bonitos.”
Exemplos:
Pelo menos um aluno tirou nota dez em lógica.
Nenhum alunos tirou dez em lógica.
Unidade IV
Parte 4
Silogismos categóricos
Proposições Categóricas:
Seja o seguinte argumento:
Todos os bandidos são pessoas de mau caráter. (P1)
Alguns políticos são bandidos. (P2)
Logo, alguns políticos são pessoas de mau caráter. (Q)
A relação que existe entre as proposições simples do argumento decorre da estrutura interna das proposições, particularmente, em razão da presença dos quantificadores “todos” e “alguns”.
Estrutura:
Quantificador + termo sujeito(S) + verbo “ser” + termo predicado(P)
Classificação:
Proposição universal afirmativa: “Todo S é P”.
Exemplo: “Todos os políticos são ricos”.
Proposição universal negativa: “Nenhum S é P”.
Exemplo: “Nenhum político é rico”
Proposição particular afirmativa: “Algum S é P”.
Exemplo: “Alguns políticos são ricos”
Proposição particular negativa: “Algum S não é P”.
Exemplo: “Alguns políticos não são ricos”.
Proposições Categóricas – Verbo “ser”:
“Alguns répteis vivem na água”	X
“Alguns répteis são seres que vivem na água”.
Proposições Categóricas:
O quantificador “algum” apresenta o sentido de “pelo menos um”. Esse sentido se mantém quando se emprega o plural: “alguns”.
Ou seja, considera-se, por convenção, que “algum” e “alguns” têm o mesmo significado.
Diagramas de Euler:
Todos os políticos são ricos.
Todos os políticos são ricos.
Nenhum político é rico.
Alguns políticos são ricos.
Admitindo-se a existência de políticos (hipótese existencial)
Todos os políticos são ricos (verdadeira)
Alguns políticos são ricos (verdadeira)
Se a proposição “todo S é P” é verdadeira,
Então
A proposição “algum S é P” também é.
Alguns políticos não são ricos.
Admitindo-se que existem políticos (hipótese existencial)
Nenhum político é rico. (verdadeira)
Alguns políticos não são ricos. (verdadeira)
Se a proposição “Nenhum S é P” é verdadeira,
EntãoA proposição “Algum S não é P” também é.
Proposições contraditórias:
Negação de “Todo S é P”
Nem todo S é P.
Existe pelo menos um S que não é P.
Algum S não é P.
“Todos os políticos são ricos”
“Alguns políticos não são ricos”.
Negação de “Nenhum S é P”
Não é verdade que nenhum S é P.
Existe pelo menos um S que é P
Algum S é P.
“Nenhum político é rico”
“Alguns políticos são ricos”.
Negação de “Algum S é P”
Não é verdade que algum S é P.
Não existe nenhum S que seja P.
Nenhum S é P.
“Alguns políticos são ricos”
“Nenhum político é rico”
Negação de “Algum S não é P”
Não é verdade que algum S não é P.
Todo S é P
Nenhum S não é P.
“Alguns políticos não são ricos”
“Todos os políticos são ricos”.
Proposições contrárias:
“Todos os políticos são ricos”
“Nenhum político é rico”.
Não são contraditórias. São contrárias
Proposições subcontrárias:
“Alguns políticos são ricos”
“Alguns políticos não são ricos”.
Não são contraditórias. São subcontrárias
Silogismo:
Argumento com duas premissas
Silogismo Categórico:
Duas premissas (proposições categóricas)
Exemplo:
Todos os mamíferos voam.
Todos os gatos são mamíferos.
Logo, Todos os gatos voam.
Exemplo no diagrama de Euler:
Unidade IV
Interatividade
1 - Considere N = {0,1,2,3...} o conjunto universo para as afirmações abaixo:
I. x + 4 > 7; 	Vp = {x | x ϵ N ^ x > 3}
II. x + 10 < 3; 	Vp = {x | x ϵ N ^ x < -7} = ø
III. x + 2 > 1; 	Vp = {x | x ϵ N ^ x > -1} = N
Todas são falsas
I e II são verdadeiras
I e III são verdadeiras
II e III são verdadeiras
Todas são verdadeiras
2 - Dadas as sentenças abertas em N:
p(x): x < 13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
q(x): x > 9 	10, 11, 12, 13, 14, 15...
Escreva o conjunto verdade Vp→q
{x ∈ N |x > 9}
{x ∈ N |x < 13}
{x ∈ N |x ≥ 9}
{x ∈ N |x ≤ 13}
{x ∈ N |x ≤ 9}
=Cn {x ∈ N |x < 13} U {x ∈ N |x > 9}
={x ∈ N |x > 13} U {x ∈ N |x > 9}
={x ∈ N |x > 9}
3 - Quais as formas corretas da negação da proposição: “Todo o político quer poder”.
I. Nenhum político quer poder.
II. Algum político não quer poder.
III. Existe pelo menos um político que não quer poder.
Todas estão corretas
I e II estão corretas
I e III estão corretas
II e III estão corretas
Todas estão erradas
4 - Qual a negação da proposição universal afirmativa: “Todo automóvel é econômico”
I. Nenhum automóvel é econômico.
II. Algum automóvel é econômico.
III. Existe pelo menos um automóvel que não é econômico.
a) Todas estão corretas
b) Apenas I está correta
c) Apenas II está correta
d) Apenas III está correta
e) Todas estão erradas
Unidade IV
Questionário
Pergunta 1 = e
Todas são falsas.
A I e a II são verdadeiras.
A I e a III são verdadeiras.
A II e a III são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
Comentário: O exercício propõe o conjunto N (conjunto dos números naturais) como conjunto universo. A afirmação I é trivial e imediata, e o conjunto verdade representa o resultado da inequação. Considerando que os números negativos não pertencem ao conjunto dos números naturais, o conjunto verdade da afirmação II é vazio. Já na afirmação III, todo valor pertencente a N verifica a inequação, pois todo número natural somado a 3 será maior do que 1.
Pergunta 2 = c
Todas são falsas.
A I e a II são verdadeiras.
A I e a III são verdadeiras.
A II e a III são verdadeiras.
Todas são verdadeiras.
Comentário: O exercício propõe o conjunto Z (conjunto dos números relativos) como conjunto universo. A afirmação I é trivial e imediata. O conjunto verdade representa o resultado da inequação. Considerando que os números negativos pertencem ao conjunto dos números relativos (Z), o conjunto verdade da afirmação II não é vazio. Portanto, a afirmação é falsa. Já na afirmação III, todo valor pertencente a Z maior do que -2 verifica a inequação; logo, é verdadeira.
Pergunta 3 = a
Pergunta 4 = d
Pergunta 5 = e
Das proposições “alguns esportes são violentos” e “alguns esportes não são violentos”, podemos dizer que:
I - São equivalentes.
II - São contraditórias.
III - São contrárias.
IV - São subcontrárias.
Assinale a alternativa correta:
Todas estão corretas.
Apenas a I está correta.
Apenas a II está correta.
Apenas a III está correta.
Apenas a IV está correta.
Comentário: Não são contraditórias nem contrárias. Com os quantificadores “alguns sim” e “alguns não” usados, elas serão subcontrárias.
Pergunta 6 = c
Das proposições “nenhuma lei é justa” e “algumas leis são justas”, podemos dizer que:
I - São equivalentes.
II - São contraditórias.
III - São contrárias.
IV - São subcontrárias.
Assinale a alternativa correta:
Todas estão corretas.
Apenas I está correta.
Apenas a II está correta.
Apenas a III está correta.
Apenas a IV está correta.
Comentário: Como uma é a negação da outra, então, são contraditórias. A alternativa “c” está correta.
Pergunta 7 = d
Das proposições “todo bem triunfa” e “nenhum bem triunfa”, podemos dizer que:
I - São equivalentes.
II - São contraditórias.
III - São contrárias.
IV - São subcontrárias
Assinale a alternativa correta:
Todas estão corretas.
Apenas a I está correta.
Apenas a II está correta.
Apenas a III está correta.
Apenas a IV está correta.
Comentário: Uma não é negação da outra. As afirmações são contrárias. A alternativa “d” está correta.
Pergunta 8 = d
Quais as formas corretas da negação da proposição: “Nenhuma lei é justa”? Leia as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta:
I - Todas as leis são justas.
II - Algumas leis são justas.
III - Existe pelo menos uma lei que é justa.
Todas estão corretas.
A I e a II estão corretas.
A I e a III estão corretas.
A II e a III estão corretas.
Todas estão incorretas.
Comentário: A afirmação “todas as leis são justas” é falsa, pois para negar o quantificador “nenhum”, basta que exista pelo menos uma lei justa. “Algumas lei são justas” é verdadeira, pois garante que existe pelo menos uma lei justa. Existe pelo menos uma lei que é justa é verdadeira; I é autoevidente. Logo, a alternativa “d” é a correta.
Pergunta 9 = d
Quais as formas corretas da negação da proposição: “Toda generalização é viciosa”? Leia as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta:
I - Nenhuma generalização é viciosa.
II - Algumas generalizações são viciosas.
III - Existe pelo menos uma generalização que não é viciosa.
Todas estão corretas.
A I e a II estão corretas.
A I e a III estão corretas.
A II e a III estão corretas.
Todas estão incorretas.
Comentário: “Nenhuma generalização é viciosa é falsa”, pois para negar o quantificador “todo”, basta que exista pelo menos uma generalização viciosa. “Alguma generalização é viciosa” é verdadeira, pois garante que existe pelo menos uma generalização viciosa. Existe pelo menos uma generalização que não é viciosa é verdadeira; I é autoevidente. Logo, a alternativa “d” é a correta.
Pergunta 10 = d
(ESAF-1997) – Dizer que é verdade que “para todo x, se x é uma rã e x é verde, então x está saltando” é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que:
Algumas rãs que não são verdes estão saltando.
Algumas rãs verdes estão saltando.
Nenhuma rã verde não está saltando.
Existe uma rã verde que não está saltando.
Algo que não seja uma rã verde está saltando.
Comentário: Dizer que uma sentença não é verdadeira é negar esta sentença. Antes, porém, é interessante traduzi-la para a linguagem corrente. Assim, temos que: “para todo x, se x é uma rã e x é verde, então x está saltando” equivale a: “para todo x, se x é uma rã verde, então x está saltando”, que por sua vez, equivale a: “toda rã verde está saltando”. Agora sim, podemos negar a proposição categórica universal afirmativa com o quantificador “algum”: “alguma rã verde não está saltando” ou sua equivalente “existe uma rã verde que não está saltando.” Logo, a alternativa “d” é a correta.