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Lista de Exercícios - Potenciação Página 1 de 12 Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 14 - Potenciação ou Exponenciação - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=20lm2lx6r0g Gabaritos nas últimas páginas! Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Radiciação também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos muito ligados! Nota: Para todos os exercícios, considere U = ℝ E1: Simplifique: E2: Simplifique: Lista de Exercícios - Potenciação Página 2 de 12 E3: Mostre que �2� � ��2��. E4: Mostre que �2��� � 2� . E5: O número 2�� é par ou ímpar? Justifique. E6: Veja os itens a) e b) abaixo e responda: a) O número 3� � é par? Justifique. b) E o número3��� ? Justifique. E7: Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía metade da área ocupada. E8: Reescreva � ���� livrando-se do expoente negativo. E9: Reescreva ���� � � livrando-se dos expoentes negativos. E10: Mostre que �� ⋅ ���� ⋅ ��� �� � ��� E11: Se 5���� � 8, então o valor de 5�� vale: a) � �� b) � �� c) � �� d) � �� e) � �� E12: Calcule: ��� !��"�� Lista de Exercícios - Potenciação Página 3 de 12 E13: Qual o último algarismo de 2� ? E14: Sendo n natural, qual das respostas abaixo NÃO É o último algarismo de 2# ? a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 0 E15: Colégio Naval) O valor aproximado de ���$,��! √�,������ � � ! �,���… é: a) 0,045 b)0,125 c)0,315 d)0,085 e)0,25 E16: Colégio Naval) Sejam ( � )�!√�*" �!)��√�*" �� e + � )�!√�*" �� )��√�*" � √� . Então o valor de 4(� � 3+� é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 E17: OBM) O valor da soma ��$$� ⋅ -"$$" �"$$" ⋅ ��$$� . � �$$� ⋅ -"$$" �"$$" ⋅ ��$$� é: a) � � b) � � c) 1 d) � � e) 2 Lista de Exercícios - Potenciação Página 4 de 12 Gabarito E1: Lista de Exercícios - Potenciação Página 5 de 12 E2: Lista de Exercícios - Potenciação Página 6 de 12 E3: Basta observar que: a) �2� � �/ ⋅ / � �0 b) ��2�� � ��/���/� � 0 No segundo caso, o sinal é afetado pela potência. No primeiro, não. E4: Como 2�� � 21�, concluímos que �2��� � 2� E5: Para ser par, duas condições precisam ser atendidas: a) O número precisa ser inteiro. b) O número precisa ter na sua decomposição em fatores primos, pelo menos um fator 2. Note que 2�� � 2 ⋅ 2 ⋅ 2… ⋅ 2 (567 fatores iguais a 2). Como todos os fatores são inteiros, o número resultante é inteiro. Como há pelo menos um fator 2 (na verdade, 567 fatores iguais a 2) então o número 2�� é par. E6: (Veja a resolução anterior para entender melhor). O número 3� � pode ser reescrito como 3 ⋅ 3 ⋅ 3… ⋅ 3233343335 � � 6789:;< � . Note a ausência de um fator 2. Isso significa que 3� � é um inteiro que, não sendo par, é ímpar. Da mesma forma, o número 3��� é um número ímpar, pois há a ausência de um fator 2 em seu desenvolvimento. E7: Bem simples. Se a população de algas dobra a cada dia, fica óbvio que, no dia anterior ao preenchimento do lago, as mesmas ocupavam a metade da área disponível. Assim sendo, no dia 29 de março, metade da área do lago estava ocupada. Lista de Exercícios - Potenciação Página 7 de 12 E8: Dica: se a base “sobe” (vai para o numerador) ou “desce”(vai para o denominador) o sinal do expoente fica invertido. Conhecer essa transformação é essencial, principalmente para alunos que prestarão ITA e outras escolas militares. � ��� � 2� e 2�� � ��"� Nota: isso não ocorre se houver somas ou subtrações!!! Se tivermos �"�!� � não podemos escrever � � ⋅ ��"� Assim sendo, � ���� � 2� E9: (Veja o comentário do exercício anterior!) Pela mesma razão que no exercício 8 (E8) podemos escrever: ���� � � � � ��� Lista de Exercícios - Potenciação Página 8 de 12 E10: E11: E12: Lista de Exercícios - Potenciação Página 9 de 12 E13: Questão Clássica! Vamos observar algumas potências de 2: 2� � 1 , 2� � 2, 2� � 4, 2� � 8, 2� � 16, 2� � 32 2� � 64 , 2 � 128, 21 � 256, 2- � 512, É fácil notar que os últimos algarismos seguem uma lógica (exceto o 2� � 1, justificável pelo fato de todo número elevado a zero dar 1). O padrão dos algarismos finais é 2 – 4 – 8 – 6 ... repetindo-se NESTA ORDEM. Assim sendo, todo expoente múltiplo de 4 terá final 6. Com isto, basta fazer a divisão do expoente por 4: se a divisão inteira for exata (resto zero) o último algarismo vale 6. Se for 3, então é o terceiro termo da sequência (8) e assim por diante. Vamos fazer a divisão: Como o resto foi 1, então devemos considerar o primeiro termo da sequência: 2. Logo, o último algarismo de /?@ será 2. E14: ALTERNATIVA E (Veja resolução anterior) Como vimos, na resolução anterior, o último algarismo possível para o desenvolvimento de /A (para n natural) será: 1, 2, 4, 8 ou 6. Assim sendo, é impossível que este algarismo final assuma (nestas condições) o valor 0. Observação: numa questão mais genérica – na qual n não seja necessariamente um natural – poderíamos ter qualquer algarismo final. Por exemplo, 2 elevado a 2,321928... (aproximadamente) dará 5. Isso será melhor visto em logaritmos. Lista de Exercícios - Potenciação Página 10 de 12 E15: ALTERNATIVA D Lista de Exercícios - Potenciação Página 11 de 12 E16: Alternativa D Lista de Exercícios - Potenciação Página 12 de 12 E17: Alternativa C