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0.18 O potencial vector
Conforme recorda´mos no in´icio da disciplina, a divergeˆncia do rotacional de um campo
vectorial e´ sempre nula. Este resultado do ca´lculo vectorial implica que todos os campos
solenoidais, i. e. de divergeˆncia nula, podem ser escritos como o rotacional de um outro
campo vectorial. Assim acontece tambe´m para o campo magne´tico:
∇ ·B = 0⇒ B = ∇×A (213)
Esta equac¸a˜o e´ o equivalente para o campo magne´tico da equac¸a˜o ∇ × E = 0 ⇒
E = −∇V que define o potencial electrosta´tico do campo electrosta´tico, raza˜o pela qual
o campo vectorial A se designa potencial vector do campo magne´tico.
Na forma integral, a equac¸a˜o (213) escreve-se, atendendo ao teorema de Stokes:
∫
S
B · dS =
∮
C
A · dl (214)
isto e´, o fluxo do campo magne´tico atrave´s de uma superf´ıcie S corresponde a` cir-
culac¸a˜o do potencial vector no caminho C em que assenta a superf´ıcie.
A relac¸a˜o B = ∇ × A na˜o define de forma un´ivoca o potencial vector. Recorde-
se que um campo vectorial e´ completamente definido apenas quando se especifica a
sua divergeˆncia e o seu rotacional, munidos das condic¸o˜es de fronteira adequadas. De
facto, podemos adicionar a A o gradiente de uma func¸a˜o escalar qualquer, que o campo
magne´tico se mante´m inalterado:
A′ = A+∇f ⇒∇×A′ = ∇×A+∇×∇f = ∇×A (215)
Em electromagnetismo cla´ssico, e´ costume usar-se a liberdade de escolha da divergeˆncia
A, convencionando:
∇ ·A = 0 (216)
Esta escolha costuma designar-se padra˜o de Coulomb.21
A grande utilidade do potencial vector no electromagnetismo cla´ssico vem do seguinte.
Atendendo a` lei de Ampe`re:
∇×B = µ0J⇔∇× (∇×A) = µ0J (217)
21Ou gauge de Coulomb, na literatura anglo-saxo´nica.
0.18. O POTENCIAL VECTOR 69
e, atendendo a que ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A, temos:
∇(∇ ·A)−∇2A = µ0J (218)
A escolha do padra˜o de Coulomb ∇·A = 0 torna-se agora o´bvia, pois permite escrever
a equac¸a˜o anterior na forma:
∇
2A = −µ0J (219)
Este resultado mais na˜o e´ do que a equac¸a˜o de Poisson, escrita para cada componente
do potencial vector (∇2Ai = −µ0Ji), e que sublinha mais uma vez a sua analogia formal
com o potencial escalar da electrosta´tica.
Note-se que o potencial vector na˜o tem, ao contra´rio do potencial escalar do campo
electrosta´tico, uma interpretac¸a˜o imediata em termos do trabalho realizado pelo campo
(recorde-se, alia´s que o campo magne´tico na˜o realiza trabalho), pelo que a sua utilidade
e´ menor. No entanto, a analogia formal estabelecida pela equac¸a˜o (219) e´ extremamente
poderosa, pois permite-nos resolver problemas magnetosta´ticos com o recurso a analogias
electrosta´ticas. A partir do momento em que conhec¸amos uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de
Poisson, por exemplo atrave´s de um problema electrosta´tico, podemos utilizar essa soluc¸a˜o
no aˆmbito da magnetosta´tica.
0.18.1 O potencial vector devido a correntes
Por exemplo, no aˆmbito da electrosta´tica descobrimos que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de
Poisson era:
∇
2V = −
ρ
	0
⇒ V =
1
4pi	0
∫
τ
ρ
r
dτ (220)
Enta˜o a correspondente soluc¸a˜o da equac¸a˜o (219)obte´m-se simplesmente da anterior,
com a correspondeˆncia:
V → Ai,
1
	0
→ µ0, ρ→ Ji (221)
obtendo-se
Ai =
µ0
4pi
∫
τ
Ji
r
dτ ⇒ A =
µ0
4pi
∫
τ
J
r
dτ (222)
70
Esta constitui a expressa˜o geral do potencial vector na presenc¸a de uma corrente j.
As correspondentes expresso˜es para correntes superficiais K ou lineares I ficam:
A =
µ0
4pi
∫
S
K
r
dS (223)
A =
µ0
4pi
∫
λ
I
r
dl =
µ0
4pi
∫
λ
Idl
r
(224)
0.18.2 Condic¸o˜es de fronteira em superf´ıcies
Adoptando o padra˜o de Coulomb (∇ ·A = 0), decorre imediatamente a continuidade das
componentes do potencial vector perpendiculares a uma superf´ıcie.
Quanto a`s componentes paralelas a uma superf´ıcie, podemos analisa´-las recorrendo a`
equac¸a˜o (214) e a` figura 11. A circulac¸a˜o de A, tal como anteriormente, reduz-se a
∮
C
A · dl = (A2‖ − A1‖)d (225)
Ja´ o fluxo de B atrave´s da superf´ıcie definida pelo circuito C e´
∫
S
B · dS = B2 · nˆ d
h
2
+B1 · nˆ d
h
2
(226)
Enta˜o, da equac¸a˜o (214) decorre:
A2‖ − A1‖ =
h
2
(B2 · nˆ+B1 · nˆ) (227)
Pelo que, no limite h → 0, se obte´m a continuidade das componentes de A paralelas
a` superf´ıcie:
A2‖ − A1‖ = 0 (228)
No padra˜o de Coulomb, o potencial vector resulta assim cont´ınuo numa superf´ıcie.
Sublinhe-se apenas que, se a continuidade das componentes paralelas decorre da pro´pria
definic¸a˜o de A, a continuidade das componentes perpendiculares e´ mera consequeˆncia da
escolha para a divergeˆncia de A implicada no padra˜o de Coulomb.
0.19. RESUMO DA MAGNETOSTA´TICA BA´SICA 71
0.19 Resumo da magnetosta´tica ba´sica
Tal como fize´mos para a electrosta´tica, apresentamos de seguida um resumo da magne-
tosta´tica ba´sica, cujos fundamentos apresenta´mos. Estabelecemos as definic¸o˜es das quan-
tidades relevantes (a densidade de corrente J, o potencial vector A e o campo magne´tico
B), bem como as relac¸oes existentes entre elas. O conhecimento completo de uma destas
quantidades permite-nos extrair as outras duas. As relac¸o˜es existentes esta˜o indicadas na
figura 12, que constitui por isso um poderoso resumo de toda a magnetosta´tica fundamen-
tal. Nas secc¸o˜es subsequentes, tal como anteriormente, concentrar-nos-emos em algumas
aplicac¸o˜es e resultados particularmente relevantes que decorrem em situac¸o˜es concretas
de relevaˆncia. Estudaremos, em particular, o dipolo magne´tico e alguns aspectos do
magnetismo em meios materiais.
Figure 12: Resumo das relac¸o˜es principais entre as treˆs quantidades ba´sicas da magne-
tosta´tica: a densidade de corrente J, o potencial vector A e o campo magne´tico B. (D.
J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, fig. 5.46)
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0.20 O dipolo magne´tico
Procedamos ao ca´lculo do campo magne´tico criado por uma espira rectangular de lados
a e b, transportando uma corrente I, num ponto P a uma distaˆncia r do centro da espira
(ver figura 13(a)). Admitamos ainda que r >> a e r >> b. Para o ca´lculo, vamos
proceder do seguinte modo: comec¸amos por calcular o potencial vector, estabelecendo
uma analogia electrosta´tica conveniente, seguindo-se imediatamente o campo magne´tico
atrave´s de B = ∇×A.
Comec¸amos por recordar a expressa˜o para o potencial vector devido a uma corrente
rectil´ınea (equac¸a˜o 224), e a correspondente expressa˜o para o potencial electrosta´tico de
uma distribuic¸a˜o linear de carga (equac¸a˜o 86):
A =
µ0
4pi
∫
λ
Idl
r
(229)
V (r) =
1
4pi	0
∫
l
λ
r
dl (230)
Para a espira esquematizada na figura 13(a), os elementos de deslocamento sa˜o parale-
los ao eixo dos XX ou ao eixo dos Y Y : dl = dxeˆx (com dx positivo para o segmento AB
e negativo para CD), dl = dyeˆy (com dy positivo para o segmento BC e negativo para
DA), pelo que podemos concluir imediatamente que a componente z do potencial vector
e´ nula:
Az = 0 (231)
Calculemos seguidamente a componente Ax, gerada pela corrente nos segmentos AB
e CD. Estes segmentos, de comprimento a, constituem um par de correntes iguais I
em sentidos opostos e a` distaˆncia b uma da outra, tal como esquematiza a figura 13(b).
O correspondente electrosta´tico, esquematizado na mesma figura, consiste de duas dis-
tribuic¸o˜es lineares de carga λ, cada uma com a carga λ a. No limite que estamos a con-
siderar (r >> a e r >> b), estas distribuic¸o˜es de carga reduzem-se a um dipolo ele´ctrico
de momento dipolar p = −(λa)beˆy. A potencial por ele gerado, que obedece a (230), ja´
foi estudado anteriormente,, sendo a soluc¸a˜o (101):
V (x, y, z) =
1
4pi	0
p · eˆr
r2
= −
1
4pi	0
λa b
y
r3
(232)
Onde utiliza´mos p = −(λa)beˆy e eˆr = r/r = (xeˆx + yeˆy + zeˆz)/r. A componente Ax
resulta imediatamente com a substituic¸a˜oµ0 → 1/	0, λ→ I:
0.20. O DIPOLO MAGNE´TICO 73
A
C
D
B
X
YZ
I
J (<0)x
J (>0)xA B
CD
+++++++++++
-----------------------
B
C
A
D
l<0
l>0
a
b
p=( a)bl
r
P
(a)
(b)
Figure 13: (a) Uma espira quadrada de corrente transportando uma corrente I. (b)
Esquema utilizado para o ca´lculo do potencial vector, atrave´s da adequada analogia elec-
trosta´tica.
74
Ax(x, y, z) = −
µ0
4pi
I a b
y
r3
(233)
De forma semelhante, conclu´ımos que a componente Ay e´ dada pela expressa˜o:
Ay(x, y, z) =
µ0
4pi
I a b
x
r3
(234)
O potencial vector devido a` espira, em todas as regio˜es do espac¸o suficientemente
afastadas da espira, resulta assim:
De forma semelhante, conclu´ımos que a componente Ay e´ dada pela expressa˜o:
A =
µ0
4pi
I a b
r3
(−yeˆx + xeˆy) (235)
ou, em coordenadas esfe´ricas (verifique!):
A =
µ0
4pi
I a b
r2
sin θeˆφ (236)
O campo magne´tico respectivo resulta enta˜o simplesmente de B = ∇×A:
B =
µ0
4pi
I a b
r3
(2 cos θ eˆr + sin θ eˆθ) (237)
Ao compararmos esta expressa˜o com a do campo gerado por um dipolo ele´ctrico (eq.
103), as semelhanc¸as sa˜o evidentes:
E =
1
4pi	0
p
r3
(2 cos θ eˆr + sin θ eˆθ) (238)
Uma espira de corrente gera assim um campo magne´tico, em todas as regio˜es do espac¸o
suficientemente afastadas da espira, com a mesma forma do campo ele´ctrico gerado por
um dipolo ele´ctrico, em que a quantidade I a b desempenha o papel do momento dipolar
ele´ctrico. A quantidade I a b designa-se momento dipolar magne´tico da espira e costuma
designar-se por m. Ha´ toda a vantagem, tal como com o momento dipolar ele´ctrico, em
conferir uma orientac¸a˜o ao momento dipolar magne´tico, dada neste caso pela regra da
ma˜o direita: a orientac¸a˜o do vector momento dipolar magne´tico de uma corrente plana e´
definida perpendicularmente ao plano da corrente com a orientac¸a˜o positiva. No caso da
figura 13, resulta:
0.20. O DIPOLO MAGNE´TICO 75
m = I a b eˆz (239)
podendo-se reescrever o correspondente vector potencial A como:
A =
µ0
4pi
m× eˆr
r2
(240)
Em geral, o momento dipolar magne´tico de um circuito corresponde simplesmente ao
produto:
m = I × a´rea do circuito (241)
e, para um circuito C qualquer, na˜o necessariamente plano:
m =
1
2
∮
C
r× Idl (242)
onde o factor 1/2 surge da considerac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo elementar de lados r e
dl.
0.20.1 Desenvolvimento multipolar do potencial
Tal como acontece para o potencial electrosta´tico, tambe´m o potencial vector do campo
magne´tico pode ser desenvolvido em multipolos de importaˆncia decrescente (monopolos,
dipolos, quadrupolos). No caso do campo magne´tico, o termo monopolar (devido ao facto
de∇·B = 0) e´ sempre nulo, pelo que o termo mais importante de qualquer distribuic¸a˜o de
correntes e´ o termo dipolar. O dipolo magne´tico assume assim uma importaaˆncia maior
em magnetosta´tica do que em electrosta´tica. Os detalhes do desenvolvimento multipolar
podem ser consultados em qualquer livro avanc¸ado de electromagnetismo.22
22Recomenda-se particularmente a monografia Campo Electromagne´tico, de M. Fiolhais, L. Brito e C.
Provideˆncia, McGraw-Hill, Lisboa, 1999. Cf. cap. 7