Produtos Notaveis (1)

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Danielly Guabiraba- Engenharia Civil 
Produtos notáveis 
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 
Propriedades da multiplicação 
Algumas propriedades da multiplicação são: 
 
• Comutativa: 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂 
• Associativa: 𝒂 . 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒃 . 𝒄 
Entre outras... 
Trataremos da Propriedade Distributiva: 
 
𝒂. (𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 
(𝒂 + 𝒃). (𝒄 + 𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 
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Propriedade distributiva 
𝒂 + 𝒃 . 𝒂 + 𝒃 
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 
= 𝒂2 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃2 
 
𝒂 − 𝒃 . 𝒂 − 𝒃 
= 𝑎2 − 𝑎𝑏 – 𝑎𝑏 + 𝑏2 
= 𝒂2 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃2 
 
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 . 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐2
= 𝒂² + 𝒃² + 𝒄² + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝒄 + 𝟐𝒂𝒄 
 
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Produtos notáveis 
Afim de economizar tempo e não ter de 
multiplicar termo a termo, utilizamos os 
produtos notáveis. 
 
Contudo, deve ser usado quando se tem plena 
certeza de como e quanto usar. 
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Quadrado da soma 
Indicado por: a mais b ao quadrado é igual ao quadrado 
do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, 
mais o quadrado do segundo: 
(a + b)² ou (a + b)(a + b) 
 
Forma expandida: 
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b² 
 
Então: (𝒂 + 𝒃)² = 𝒂² + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃² 
 
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Geometria do quadrado da soma 
Quando a e b são positivos, podemos representar o quadrado 
da soma de dois termos desconhecidos geometricamente. 
Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a 
área do quadrado maior , a², mais duas vezes a área do 
retângulo, ou seja, 2ab, mais a área do quadrado menor, b². 
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a 
b 
a b 
(a + b)(a + b) = (a + b)² 
a² ab 
ab b² 
(a + b)² = a² + 2ab + b² 
Quadrado da soma 
Exemplo: 
 
• (𝟑𝒙 + 𝟓)² = (3𝑥)² + 2 (3𝑥)(5) + 5² = 9𝑥² 
+ 30𝑥 + 25 
 
• (𝒚 + 𝟔)² = 𝑦² + 2 (𝑦)(6) + 6² = 𝑦² 
+ 12𝑦 + 36 
 
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Vamos praticar... 
 
𝑥 + 3𝑦 2 
= 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 
 
 
 
6
3
+ 𝑦
1
2
2
 
= 
𝟐
𝟑
+
𝟐
𝟑
𝟔𝒚 + 𝒚 
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Quadrado da diferença 
Indicado por: a menos b ao quadrado é igual ao 
quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro 
vezes o segundo, mais o quadrado do segundo: 
(a - b)² ou (a - b)(a - b) 
 
Forma expandida: 
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a² - 2ab + b² 
 
Então: (𝒂 − 𝒃)² = 𝒂² − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃² 
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Geometria do quadrado da diferença 
Observe que a área do quadrado de lado (a - b) 
vermelho pode ser obtida subtraindo a área dos dois 
retângulos rosas e a área do quadrado laranja . Ou 
seja: 
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a 
a 
b 
b 
(a – b) 
(a – b) (a – b)² 
b(a – b) 
b(a – b) 
 b² 
𝒂𝟐− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂 − 𝒃 𝟐= 𝒂 − 𝒃 𝒂 − 𝒃 
b 
b 
a 
Quadrado da diferença 
Exemplo: 
 
• (𝒙 − 𝟒)² = 𝑥² − 2 (𝑥)(4) + 4² = 𝑥² −
 8𝑥 + 16 
 
 
• (𝟑𝒙 − 𝒚)² = (3𝑥)² − 2 (3𝑥)(𝑦) + 𝑦² =
 9𝑥² − 6𝑥𝑦 + 𝑦² 
 
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Vamos praticar... 
8
3
− 𝑦4
2
 
= 
𝟖
𝟑
 − 𝟐𝒚𝟒
𝟖
𝟑
 + 𝒚𝟖 
 
 
 
9𝑥
7
− 𝑧
2
+ 33
−1
 
= 
𝟖𝟏𝒙𝟐
𝟕
−
𝟏𝟖
𝟕
𝒙𝒛 + 𝒛𝟐 + 𝟑
𝟑
 
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Produto da soma pela diferença 
Indicado por: quadrado do primeiro termo (a) menos o 
quadrado do segundo termo (b): 
(a + b)(a – b) = a² - b² 
 
Forma expandida: 
(a + b)(a - b) = a² - ab + ba – b² = a² - ab +ab - b² = a² - b² 
 
Então:(𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃) = 𝒂² − 𝒃² 
 
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Produto da soma pela diferença 
E quando é necessário utilizar outros expoentes? 
 
Utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
𝒂𝒏 − 𝒃𝒏 = 𝒂 − 𝒃 (𝒂𝒏−𝒌. 𝒃𝒌−𝟏)
𝒏
𝒌=𝟏
 
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Geometria do produto da soma pela 
diferença 
Considere um retângulo de lados com medida (a + b) 
e (a – b). 
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a 
b 
a b 
 (a - b) 
(a + b) 
a 
b 
b 
a 
A área dos retângulos vermelhos é: 
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 – 𝒃) 
A área da figura obtida pode ser 
expressa por 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
Produto da soma pela diferença 
Exemplo: 
 
• 𝟓𝒙 + 𝒚 𝟓𝒙 − 𝒚 = 25𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 5𝑥𝑦 – 𝑦2 
= 25𝑥² − 𝑦² 
 
• 𝒙𝟐 − 𝒙 𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥2 
= 𝑥⁴ − 𝑥² 
 
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Vamos praticar... 
6
3
+ 𝑦
1
2
6
3
− 𝑦
1
2 
 = 
𝟐
𝟑
− 𝒚 
 
 
 𝑏3 +
3𝑐
5
𝑏3 −
3𝑐
5
 
 = 𝒃𝟔 −
𝟗𝒄𝟐
𝟐𝟓
 
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Cubo da soma 
Indicado por: a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro 
mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, 
mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, 
mais o cubo do segundo: 
(a + b)³= (a + b)(a + b)² 
Forma expandida: 
(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = 
= a³ + 2a²b +ab² + ba² + 2ab² + b³ = 
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
 
Então:(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 
 
 
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Cubo da soma 
Exemplo: 
 
• (𝒙 + 𝟑)³ = 𝑥³ + 3(𝑥²)(3) + 3(𝑥)(3²) + 3³ = 
= 𝑥³ + 9𝑥² + 27𝑥 + 27 
 
 
• (𝟐𝒂 + 𝒃)³ = (2𝑎)³ + 3(2𝑎)²(𝑏) + 3(2𝑎)(𝑏²) +
 𝑏³ = 8𝑎³ + 12𝑎²𝑏 + 6𝑎𝑏² + 𝑏³ 
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Vamos praticar... 
 
(2𝑎 + 𝑦3)3 
= 𝟖𝒂𝟑 + 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒂𝒚𝟔 + 𝒚𝟗 
 
 
 
6
1
2 + 𝑥2
3
 
= 𝟔
𝟑
𝟐 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟑 𝟔𝒙𝟒 + 𝒙𝟔 
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Cubo da diferença 
Indicado por:a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos 
três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes 
o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do 
segundo. 
(a - b)³= (a - b)(a - b)² 
 
Forma expandida: 
(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²) = 
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = 
=a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 
 
Então:(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 
 
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Cubo da diferença 
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Exemplo: 
 
• (x - 4)³ = x³ - 3(x²)(4) + 3(x)(4²) - 4³ = 
 x³ - 12x² + 48x - 64 
 
 
• (3a + b)³ = (3a)³ + 3(3a)²(b) + 3(3a)(b²) + b³ = 
27a³ + 27a²b + 9ab² + b³ 
Vamos praticar... 
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³)³2( ya
²)³
7
5
( a
966³²12³8 yayyaa 
64
7
15
²
7
75
77
125
aaa 
Produto de Stevin 
Definição: É o produto de qualquer número de binômios do 
1º grau, da forma (x + a), onde a é um número real ou 
complexo. 
 
Para dois binômios, teremos: 
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab 
 
Para três binômios, teremos: 
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc 
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Produto de Stevin 
Exemplo: 
 
• (𝒙 + 𝟏𝟎)(𝒙 − 𝟗𝟎) 
= 𝑥2 − 80𝑥 − 900 
 
 
• (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏𝟓)(𝒙 + 𝟔) 
= 𝑥3 − 7𝑥2 − 108𝑥 − 180 
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Vamos praticar... 
 
• (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟓) 
= 𝑥2 + 7𝑥 + 10 
 
 
• (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒) 
= 𝑥3 + 9𝑥2 + 26𝑥 + 24 
 
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Obrigada pela atenção! 
27/27 
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