Resistência dos Materiais 2

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Resistência dos Materiais 2 
Aula 01 
 
1. 
 
 
Determine o momento estático em relação ao eixo y da figura plana 
composta pelo quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de 
base (BD) 20 cm e altura 12 cm. 
 
 
 
 
 
 
6000 cm3 
 
4000 cm3 
 
6880 cm3 
 
9333 cm3 
 
5200 cm3 
 
 
 
2. 
 
 
"Podemos entender o momento estático de uma área como o produto 
entre o valor do(a) _______ e o(a) _________ considerada(o) até o eixo 
de referência que escolhemos para determinar o momento estático." As 
palavras que melhor representam as lacunas que dão o sentido correto 
da frase são, respectivamente: 
 
 
 
 
momento de inércia; volume 
 
distância do centróide da área ; perímetro da área 
 
perímetro da área ; área 
 
volume; área 
 
área ; distância do centróide da área 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a opção que apresenta a unidade que pode ser utilizada para 
expressar o momento de inércia de uma superfície plana: 
 
 
 
 
cm4 
 
cm3 
 
kg.cm 
 
MPa 
 
 cm2 
 
 
 
4. 
 
 
No exemplo de uma patinadora, ao abrir ou encolher os braços em um 
movimento de giro, observamos que: 
 
 
 
 
Quanto menos distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela 
oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao abrir os braços, durante o 
movimento de giro, aumenta a velocidade de rotação. 
 
Quanto menos distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela 
oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao abrir os braços, durante o 
movimento de giro, diminui a velocidade de rotação. 
 
Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece 
ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de 
giro, aumenta a velocidade de rotação. 
 
Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, menor resistência ela oferece 
ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de 
giro, diminui a velocidade de rotação. 
 
Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece 
ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de 
giro, diminui a velocidade de rotação. 
 
 
 
5. 
 
 
Sobre o cálculo do centroide de figuras planas é correto afirmar que: 
 
 
 
 
Para uma placa homogênea o centroide não coincide com o baricentro; 
 
Quando uma superfície é simétrica em relação a um centro O os momentos estáticos 
de primeira ordem em relação aos eixos X e Y, são diferentes de zero; 
 
Quando uma superfície possui dois eixos de simetria, seu centroide não está situado 
interseção desses eixos; 
 
Quando uma superfície possuir um eixo de simetria, o centroide da mesma deve estar 
situado nesse eixo, e o momento estático de primeira ordem em relação ao eixo de 
simetria é nulo; 
 
Para um arame homogêneo situado no plano XY o centroide nunca não estará fora do 
arame. 
 
 
 
6. 
 
Determine o momento estático em relação ao eixo x da figura plana 
composta pelo quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de 
 
 
 
base (BD) 20 cm e altura 12 cm. 
 
 
 
5200 cm3 
 
4000 cm3 
 
9333 cm3 
 
6880 cm3 
 
6000 cm3 
 
Aula 2 
 
1. 
 
 
Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao 
eixo x que passa pelo centro de gravidade. (medidas em centímetros) 
 
 
 
 
 
1180 cm4 
 
1375 cm4 
 
1024 cm4 
 
 
1524 cm4 
 
986 cm4 
 
 
 
2. 
 
 
Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB, base BC= 4cm e altura AC = 
3cm. O momento de inércia deste triângulo (área) em relação ao eixo que passa pela 
base BC é dado por b.h3/12. Determine o momento de inércia deste triângulo em relação 
ao eixo que passa pelo vértice A e é paralelo à base. DICA: Teorema dos eixos paralelos: 
I = I´+ A.d^2 onde d^2 é d elevado ao quadrado 
 
 
 
15 cm4 
 
27 cm4 
 
12 cm4 
 
9 cm4 
 
36 cm4 
 
 
 
3. 
 
 
A fotoelasticidade é uma técnica experimental utilizada para a análise de tensões e 
deformações em peças com formas complexas. A passagem de luz polarizada através de 
um modelo de material fotoelástico sob tensão forma franjas luminosas escuras e claras. 
O espaçamento apresentado entre as franjas caracteriza a distribuição das tensões: 
espaçamento regular indica distribuição linear de tensões, redução do espaçamento 
indica concentração de tensões. Uma peça curva de seção transversal constante, com 
concordância circular e prolongamento, é apresentada na figura ao lado. O elemento está 
equilibrado por duas cargas momento M, e tem seu estado de tensões apresentado por 
fotoelasticidade. 
 
Interprete a imagem e, em relação ao estado de tensões nas seções PQ e RS, o módulo 
de tensão normal no ponto 
 
 
 
Q é maior que o módulo da tensão normal no ponto R. 
 
 
S é menor que o módulo da tensão normal no ponto P. 
 
Q é menor que o módulo da tensão normal no ponto S. 
 
P é maior que o módulo da tensão normal no ponto R. 
 
R é maior que o módulo da tensão normal no ponto S. 
 
 
 
4. 
 
 
Analise as afirmativas. I - O raio de giração é a raiz quadrada do momento de inercia da 
área dividido pelo momento de inércia ao quadrado; II ¿ O momento de inércia expressa 
o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo; III ¿ o produto 
de inércia mede a antissimétrica da distribuição de massa de um corpo em relação a um 
par de eixos e em relação ao seu baricentro. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s) 
 
 
 
I e III, apenas 
 
I, II e III. 
 
II e III, apenas 
 
I e II, apenas 
 
I, apenas 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a figura plana composta pelo quadrado (OACD) de lado 18 cm e o triângulo 
(ABC) de base (AC) 18 cm e altura 18 cm. Sabendo que o centroide da figura (OABCD) 
está na posição de coordenadas (9, 14), determine o momento inércia Ix em relação ao 
eixo x que passa pelo centroide da figura plana (OABCD). 
 
 
 
 
230364 cm4 
 
4374 cm4 
 
11664 cm4 
 
6804 cm4 
 
23814 cm4 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a figura plana composta pelo quadrado (OACD) de lado 18 cm e o triângulo 
(ABC) de base (AC) 18 cm e altura 18 cm. Sabendo que o centroide da figura (OABCD) 
está na posição de coordenadas (9, 14), determine o momento inércia Iy em relação ao 
eixo y que passa pelo centroide da figura plana (OABCD). 
 
 
 
 
6840 cm4 
 
4374 cm4 
 
11664 cm4 
 
230364 cm4 
 
23814 cm4 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a seção reta de uma viga no plano xy. Sua área é A e o eixo y é um eixo de 
simetria para esta seção reta. A partir destas informações, marque a alternativa correta. 
 
 
 
O produto de inércia I xy desta seção sempre será zero 
 
 
O produto de inércia I xy desta seção sempre será um valor positivo 
 
O produto de inércia I xy desta seção sempre será um valor negativo 
 
O produto de inércia I xy desta seção pode ter um valor positivo 
 
O produto de inércia I xy desta seção pode ter um valor positivo 
 
Aula 03 
 
 
1. 
 
 
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetros interno e 
externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm. Qual o maior torque que pode ser aplicado 
à barra circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa? 
 
 
 
2,05 KN.m 
 
4,08 KN.m 
 
6,50 KN.m 
 
5,12 KN.m 
 
3,08KN.m 
 
 
 
2. 
 
 
Considere um eixo maciço e homogêneo com seção circular de raio 30 cm. Sabe-se que 
este eixo se encontra em equilíbrio sob a ação de um par de torques T. Devido a ação de 
T, as seções internas deste eixo estão na condição de cisalhamento. Se, na periferia da 
seção, a tensão de cisalhamento é de 150 MPa, determine a tensão de cisalhamento, 
nesta mesma seção circular, a uma distância de 20 cm do centro. 
 
 
 
100 MPa 
 
Não existem dados suficientes para a determinação 
 
150 MPa 
 
50 MPa 
 
Nula 
 
 
 
3. 
 
 
Um eixo tubular vazado possui diâmetro interno de 3,0cm e diâmetro externo de 42mm. 
Ele é usado para transmitir uma potência, por meio de rotação, de 90000W as peças que 
estão ligadas as suas extremidades. Calcular a frequência de rotação desse eixo, em 
Hertz, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50MPa. 
 
 
 
35,5 Hz 
 
42 Hz 
 
30,2 Hz 
 
26,6 Hz 
 
31 Hz 
 
 
 
4. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção de eixos circulares não maciços marque a alternativa 
incorreta: 
 
 
 
O ângulo de torção diminui com uma redução do momento de torção; 
 
O ângulo de torção aumenta com a redução do módulo de cisalhamento; 
 
A tensão de cisalhamento depende do momento de torção; 
 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia da haste e tem uma variação 
linear; 
 
A tensão de cisalhamento diminui com o aumento do diâmetro interno do tubo; 
 
 
 
5. 
 
 
A linha neutra da seção de uma peça estrutural é definida como o lugar geométrico dos 
pontos onde: 
 
 
 
o esforço cortante sofre uma descontinuidade; 
 
o momento estático é mínimo; 
 
as tensões tangenciais são sempre nulas; 
 
a tensão normal é nula; 
 
as deformações longitudinais são máximas. 
 
 
 
6. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção em um tubo quadrado de paredes fina de comprimento L, 
área média Am , espessura t e módulo de cisalhamento G, pode-se afirmar que: 
 
 
 
O ângulo de torção aumenta com uma redução do comprimento L do tubo; 
 
A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento do torque aplicado; 
 
A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento da espessura de parede do 
tubo; 
 
O ângulo de torção diminui com a redução da área média do tubo; 
 
A tensão de cisalhamento média aumenta com o aumento da área média; 
 
 
 
7. 
 
Um motor de 20 HP (1 HP = 746 W) em cujo eixo gira a uma rotação 1.800 rpm, aciona 
 
uma máquina. Qual o torque aplicado ao eixo. 
 
 
8,28 N.m 
 
27,3 N.m 
 
82,8 N.m 
 
79,2 N.m 
 
51,4 N.m 
 
 
 
8. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção de eixos maciços não circulares marque a alternativa 
incorreta: 
 
 
 
A tensão de cisalhamento máxima ocorre no interior da seção transversal; 
 
A tensão de cisalhamento é distribuída de forma que as seções transversais fiquem 
abauladas ou entortadas; 
 
A tensão de cisalhamento aumenta com o aumento do torque aplicado; 
 
O ângulo de torção aumenta com a redução do módulo de cisalhamento; 
 
Para eixos de seção transversal quadrada a tensão máxima de cisalhamento ocorre 
em um ponto da borda a seção transversal mais próxima da linha central do eixo; 
 
Aula 04 
 
1. 
 
 
Um eixo não-vazado de seção transversal circular se encontra submetido a um momento 
de torção. Podemos afirmar que: 
 
 
 
a tensão de cisalhamento independe do momento de torção; 
 
a tensão de cisalhamento é máxima no centro da seção circular; 
 
a tensão de cisalhamento é nula na periferia da seção circular; 
 
a tensão de cisalhamento é máxima na periferia da seção circular; 
 
a tensão de cisalhamento é constante ao longo da seção circular. 
 
 
 
2. 
 
 
A viga engastada mostrada na figura possui uma reação em A que se opõe à rotação da 
viga. Determine essa reação. 
 
 
 
 
180 Nm no sentido horário 
 
180 Nm no sentido anti-horário 
 
1800 Nm no sentido anti-horário 
 
600 N para cima 
 
600 N para baixo 
 
 
 
3. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor do momento fletor máximo na 
viga AC, sabendo que a reação em A é RA = 13,75 kN. 
 
 
 
 
75 kNm 
 
13,75 kNm 
 
26,75 kNm 
 
68,75 kNm 
 
25 kNm 
 
 
 
4. 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor das reações verticais nos apoios. 
 
 
 
 
RA = 8,75 kN e RC = 11,25 kN 
 
RA = 11,25 kN e RC = 28,75 kN 
 
RA = 13,75 kN e RC = 26,25 kN 
 
RA = 26,25 kN e RC = 13,75 kN 
 
RA = 11,25 kN e RC = 8,75 kN 
 
 
 
5. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine na viga AC a posição onde o gráfico do 
esforço cortante tem uma descontinuidade, sabendo que a reação em A é RA = 13,75 kN. 
 
 
 
 
2,,5 m 
 
8 m 
 
7,5 m 
 
2 m 
 
5 m 
 
 
 
6. 
 
 
Em uma estrutura de concreto armado formada por vigas, lajes e pilares, a força que é 
aplicada em uma viga, perpendicularmente ao plano de sua seção transversal, no centro 
de gravidade, com a mesma direção do eixo longitudinal da viga e que pode tracionar ou 
comprimir o elemento, é a força 
 
 
 
Torção 
 
Momento 
 
Normal 
 
Flexão 
 
Cortante 
 
Aula 05 
 
1. 
 
Para o perfil da figura, determine a tensão máxima, sabendo que a viga está submetida a 
um momento de 201,6 kNm e as dimensões estão em cm. 
Dados: I = 9 . 10
-5
 m4 ; 
 
 
 
 
 
560 MPa 
 
464 MPa 
 
143 MPa 
 
234 MPa 
 
280 MPa 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma viga reta, homogênea e de seção transversal constrante, inicialmente na 
posição horizontal. A seção transversal em cada extremidade é vertical, ou seja, cada 
elemento longitudinal possui, inicialmente, o mesmo comprimento. A via é fletida única e 
exclusivamente pela aplicação de momentos fletores, e a ação pode ser considerada 
elástica. Para essa situação, com as hipóteses consideradas, analise as afirmações a 
seguir. I- Qualquer seção plana da viga, antes da flexão, permanece plana após essa 
flexão. II - Existem elementos longitudinais da viga que não sofrem deformação, ou seja, 
alteração em seu comprimento. III - Todos os elementos longitudinais da viga 
encontram-se submetidos a tensões de tração. Está correto o que se afirma em: 
 
 
 
II e III 
 
I 
 
I e II 
 
I e III 
 
I, II e III 
 
 
 
3. 
 
 
Uma viga de eixo reto tem seção transversal retangular, com altura h e largura b, e é 
constituída de material homogêneo. A viga está solicitada à flexão simples. Considerando 
um trecho dx da viga, o diagrama das tensões normais que atua nesse trecho é 
representado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nenhum dos anteriores 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma coluna com rótulas nas extremidades, de comprimento L, momento de inércia da 
seção transversal igual a I e módulo de elasticidade E, tem carga crítica vertical Pcr e 
apresenta comportamento, em relação à flambagem, segundo a teoria de Euler. Sobre 
tal coluna, é incorreto afirmar: 
 
 
 
A carga crítica Pcr é proporcional ao produto EI. 
 
Se a seção transversal da coluna for circular e seu raio for duplicado, a carga Pcr 
resulta 16 vezes maior. 
 
Caso as extremidades sejam engastadas, a carga crítica Pcr quadruplica. 
 
Caso o comprimento L seja reduzido à metade, o valor da carga crítica Pcr duplica. 
 
Engastando uma das extremidades e deixando a outra livre(eliminando a rótula), a 
carga crítica passa a ser ¼ da inicial. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Suponha um eixo cilíndrico homogêneo preso em uma extremidade. Um torque T é 
aplicado ao mesmo e, em consequência, as seções retas estão submetidas ao 
cisalhamento. Escolhendo-se aleatoriamente uma seção, determinam-se os valores de 
tensão de cisalhamento: 100 MPa; 50 MPa e 0. Com relação às posições dos pontos, na 
seção reta, sujeitos a estes valores é verdade que: 
 
 
 
Um desses pontos é o centro e os demais igualmente afastados do centro. 
 
Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 50 MPa mais afastado 
que o de 100MPa 
 
Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 100 MPa mais 
afastado que o de 50MPa 
 
Nada pode ser afirmado. 
 
Estes pontos estão necessariamente alinhados 
 
 
 
6. 
 
 
Para o perfil da figura, determine a tensão de cisalhamento máxima, sabendo que a viga 
está submetida a um esforço cortante de 145,05 kN e as dimensões estão em cm. 
Dados: I = 9 . 10
-5
 m4 ; 
 
 
 
 
35 MPa 
 
30 MPa 
 
25 MPa 
 
40 MPa 
 
45 MPa 
 
Aula 06 
 
1. 
 
 
Após a aplicação de uma carga axial de tração de 60 kN em uma barra de aço, com 
módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e área da seção 
transversal de 10 cm2, o alongamento produzido na barra, em mm, é 
 
 
 
3,0 
 
0,3 
 
0,003 
 
0,03 
 
30,0 
 
 
 
2. 
 
 
Um modelo dos esforços de flexão composta, no plano horizontal de um reservatório de 
concreto armado de planta-baixa quadrada e duplamente simétrica, é apresentado 
esquematicamente na figura a seguir por meio do diagrama de momentos fletores em 
uma das suas paredes. Na figura, p é a pressão hidrostática no plano de análise, a é o 
comprimento da parede de eixo a eixo, h é a espessura das paredes (h << A), M1 M2 
são os momentos fletores, respectivamente, no meio da parede nas suas extremidades, 
e N é o esforço normal aproximado existente em cada parede. 
 
Considerando o reservatório cheio de água, verifica-se que, na direção longitudinal da 
parede, os pontos Q, R e S ilustrados na figura estão submetidos às seguintes tensões 
normais: 
 
 
 
Q [tração] - R [tração] - S [tração] 
 
Q [compressão] - R [tração] - S [tração] 
 
 
Q [tração] - R [compressão] - S [compressão] 
 
Q [compressão] - R [tração] - S [nula] 
 
Q [tração] - R [compressão] - S [nula] 
 
 
 
3. 
 
 
Seja uma haste horizontal AB de seção reta circular apoiada em suas extremidades A e 
B. Considere que seu diâmetro vale 50 mm e o seu comprimento AB vale 5 m. 
Sobre esta haste existe uma distribuição uniforme ao longo de seu comprimento tal que 
q seja igual a 400 N/m. Determine a tensão de flexão máxima. 
Dados: I=pi.(R4)/4 Mmáximo = q.l
2/8 Tensão = M.R/I 
 
 
 
 
25,5 MPa 
 
102 MPa 
 
204 MPa 
 
51 MPa 
 
408 MPa 
 
Aula 07 
 
1. 
 
 
Uma carga centrada P deve ser suportada por uma barra de aço AB de 1 m de 
comprimento, bi-rotulada e com seção retangular de 30 mm x d. Sabendo-se que σe = 
250 MPa e E = 200 GPa, determinar a menor dimensão d da seção transversal que pode 
ser usada, quando P = 60 kN. 
 
 
 
68,9mm 
 
25,7mm 
 
52,5mm 
 
37,4mm 
 
48,6mm 
 
 
 
 
 
 
Aula 08 
 
1. 
 
 
Considere uma viga de madeira cuja seção reta é um retângulo de dimensões: altura 125 
mm e base 100 mm. Sob dado carregamento, o esforço cortante na seção é igual a 4kN. 
Determine o valor de tensão máxima e seu ponto de aplicação, em relação à base da 
seção reta. 
 
 
 
0,48 MPa e 62,5 mm 
 
0,96 MPa e 125 mm 
 
0,96 MPa e 62,5 mm 
 
1,00 MPa e 50 mm 
 
0,48 MPa e 125 mm 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma viga homogênea e de seção retangular de largura b e altura h. Suponha 
que este elemento estrutural esteja sob um carregamento tal que em uma dada seção o 
esforço cortante seja igual a V. A distribuição da tensão de cisalhamento nesta seção 
transversal: 
 
 
 
Varia linearmente com a altura sendo seu máximo nas extremidades 
 
Varia linearmente com a altura sendo seu máximo na metade da altura. 
 
Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo nas extremidades 
 
É constante ao longo da altura h 
 
Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo na metade da altura. 
 
 
 
3. 
 
 
O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede 
fina. O motor transmite 125kW quando o eixo está girando a uma frequência de 1500 
rpm. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5 
mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é 50 MPa. 
Dados: Pot = T.w w = 2pi.f J=pi.(R4 ¿ r4)/2 Tensão de cisalhamento = T.R/J 
 
 
 
1,0 mm 
 
3,0 mm 
 
2,5 mm 
 
1,5 mm 
 
2,0 mm 
 
 
Aula 09 
 
1. 
 
 
Considere uma viga biapoiada com carregamento distribuído de 10kN/m. Se a base é 
igual a 12 cm e a tensão admissível à tração é 12MPa, então a altura mínima para essa 
viga é aproximadamente, em cm: 
 
 
 
37 
 
29 
 
43 
 
32 
 
19 
 
 
 
2. 
 
 
Uma barra homogênea de comprimento L = 1,0 m e seção reta quadrada, de lado 2,0 
cm, está submetida a uma tração de 200kN. O material da barra possui módulo de 
elasticidade de 200GPa. Qual o valor da deformação da barra, considerando que se 
encontra no regime elástico? 
 
 
 
2,5mm 
 
0,25mm 
 
25mm 
 
25cm 
 
2,5cm 
 
Aula 10 
 
1. 
 
 
Uma haste cilíndrica maciça está submetida a um momento de torção pura. Pode-se 
afirmar que, no regime elástico: 
 
 
 
a tensão de cisalhamento não depende do valor do momento de torção; 
 
a tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia da haste e tem uma variação 
linear; 
 
a tensão de cisalhamento máxima ocorre no interior da haste. 
 
a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal tem uma variação 
não linear; 
 
a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal depende do tipo de 
material da haste;