Resolução de Expressões Racionais

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a) No caso da expressão racional 
5
𝑥−1
.
𝑥2−1
10
 tem-se o produto de duas 
frações, que é resolvida pela multiplicação dos numeradores (entre si) e dos 
denominadores (entre si), que resulta 
5.(𝑥2−1)
(𝑥−1).10
 Esta expressão racional 
apresenta no numerador um termo que pode ser fatorado com o emprego 
de produto notável, resultando 
5.(𝑥2−1)
(𝑥−1).10
=
5.(𝑥+1).(𝑥−1)
(𝑥−1).10
 No numerador e no 
denominador ocorre um mesmo fator (𝑥 − 1) que pode ser simplificado, e 
também ocorrem valores numéricos que são múltiplos (10 e 5) permitindo 
simplificação por 5. Desta forma teremos 
5.(𝑥+1).(𝑥−1)
(𝑥−1).10
= 
𝑥+1
2
 para o 
resultado. 
 
b) Para a expressão racional 
𝑥2−4
𝑥3−8.
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
 vamos utilizar os produtos 
notáveis no numerador e no denominador da fração da esquerda, obtendo: 
𝑥2−4
𝑥3−8.
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
=
(𝑥−2).(𝑥+2)
(𝑥−2).(𝑥2+2𝑥+22)
.
3(𝑥2+2𝑥+4)
𝑥+2
. Há simplificações possíveis de 
serem feitas devido a fatores idênticos que surgiram no numerador e no 
denominador, ou seja, (𝑥 − 2), (𝑥 + 2) e (𝑥2 + 2𝑥 + 4) O resultado após as 
simplificações é apenas o 3. 
 
c) Para a expressão 
3
4𝑥
÷
6
𝑥2−3𝑥
 temos uma divisão de frações, que é 
resolvida mediante um produto pela expressão inversa da que está no 
denominador, ou seja 
3
4𝑥
.
𝑥2−3𝑥
6
 O binômio 𝑥2 − 3𝑥 que se apresenta no 
numerador pode ser reescrito como sendo 𝑥. (𝑥 − 3) e o valor numérico 6 
pode ser reescrito como 2.3. Fazendo as multiplicações de numerador com 
numerador, e de denominador com denominador, a expressão torna-se 
 
3
4𝑥
.
𝑥2−3𝑥
6
= 
3.𝑥.(𝑥−3)
4.𝑥.2.3
 . Pode-se fazer simplificações do valor numérico 3 e do 
x que aparece simultaneamente no numerador e no denominador da 
expressão, resultando 
3.𝑥.(𝑥−3)
4.𝑥.2.3
= 
𝑥−3
8
 para expressão simplificada. 
 
d) A expressão racional 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
÷
2.𝑦2−7𝑦−4
𝑦2−1
 apresenta uma divisão de frações 
racionais, que pode ser resolvida mediante a multiplicação pelo inverso da 
fração racional que está no denominador, obtendo 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
.
𝑦2−1
𝑦2−7𝑦−4
 
Busca-se reescrever as expressões racionais usando fatoração e/ou 
produtos notáveis, obtendo 
𝑦2−8𝑦+16
3𝑦2+5𝑦+2
.
𝑦2−1
2𝑦2−7𝑦−4
= 
(𝑦−4).(𝑦−4)
(3𝑦+2).(𝑦+1)
.
(𝑦+1).(𝑦−1)
(2𝑦+1).(𝑦−4)
. Os 
fatores (𝑦 − 4) e (𝑦 + 1) podem ser simplificados pois ocorrem no 
numerador e no denominador. Os demais podem ser multiplicados 
resultando 
(𝑦−4)
(3𝑦+2)
.
(𝑦−1)
(2𝑦+1)
=
𝑦2−5𝑦+4
6𝑦2+7𝑦+2
. 
 
e) A expressão racional 
2
𝑥
+
3𝑥
𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
 envolve soma e subtração de frações, 
que deve ser resolvida mediante o cálculo do m.m.c. para os 
denominadores. Neste caso, não é verificado nenhuma multiplicidade entre 
os denominadores, de forma que o m.m.c. é o produto entre eles. Pode-se 
escrever para a expressão 
2
𝑥
+
3𝑥
𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
= 
2.(𝑥+2).(𝑥−2)+3𝑥.(𝑥),(𝑥+2)−𝑥(𝑥).(𝑥−2)
𝑥.(𝑥−2).(𝑥+2)
 . 
Realizando a multiplicação entre os fatores do numerador, e agrupando 
termos de mesma potência em x, vem: 
2.(𝑥+2).(𝑥−2)+3𝑥.(𝑥),(𝑥+2)−𝑥(𝑥).(𝑥−2)
𝑥.(𝑥−2).(𝑥+2)
=
 
2𝑥2−8+3𝑥3+6𝑥2−𝑥3+2𝑥2
𝑥3−4𝑥
=
2𝑥3+10𝑥2−8
𝑥3−4𝑥
 que é o resultado para este caso. 
 
f) Na expressão 
𝑥2−3𝑥
14𝑦
÷
3𝑥𝑦
7𝑦2
 ocorre uma divisão de frações racionais. 
Mantendo a primeira fração racional e multiplicando pelo inverso da 
segunda fração racional vem 
𝑥2−3𝑥
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
 . Realizando as fatorações obtém-
se: 
𝑥2−3𝑥
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
= 
𝑥(𝑥−3)
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
 . Os valores 14 e 7 tem multiplicidade, permitindo 
simplificação. Ocorre também no numerador e no denominador os fatores 
𝑦2 𝑒 𝑥 que são simplificáveis, resultando 
𝑥(𝑥−3)
14𝑦
.
7𝑦2
3𝑥𝑦
=
𝑥−3
2.3
=
𝑥−3
6
 
 
g) Para a expressão racional 
3
𝑥2+5𝑥+4
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
𝑥2−1
 tem-se soma e subtração 
de frações onde em dois denominadores ocorrem binômios, podendo ser 
reescritos como produtos de fatores 
3
(𝑥+1).(𝑥+4)
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
(𝑥+1).(𝑥−1)
 
Observando todos os fatores primos entre si, o m.m.c. será calculado pelo 
produto entre eles, ou seja, (𝑥 + 1). (𝑥 + 4). (𝑥 − 1) Agrupando as três 
frações anteriores em uma só, vem: 
3
(𝑥+1).(𝑥+4)
+
2
𝑥+1
−
2𝑥
(𝑥+1).(𝑥−1)
=
3.(𝑥−1)+2.(𝑥−1).(𝑥+4)−2𝑥(𝑥+4)
(𝑥+1).(𝑥+4).(𝑥−1)
. Fazendo as multiplicações no numerador e 
agrupando termos de iguais potências vem: 
3.(𝑥−1)+2.(𝑥−1).(𝑥+4)−2𝑥(𝑥+4)
(𝑥+1).(𝑥+4).(𝑥−1)
=
3𝑥−3+2𝑥2+6𝑥−8−2𝑥2−8𝑥
𝑥3+4𝑥2−𝑥−4
=
𝑥−11
𝑥3+4𝑥2−𝑥−4
 que é o resultado. 
 
h) A expressão racional composta 
2𝑥+
3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥−
3
𝑥−3
 pode ser resolvida analisando o 
numerador e o denominador separadamente. Para o numerador da 
expressão racional composta 2𝑥 +
3𝑥−1
𝑥−3
 é necessário reescreve-la como 
uma única fração, com o uso do m.m.c., ou seja, 𝑥 − 3 . Tem-se 2𝑥 +
3𝑥−1
𝑥−3
= 
2𝑥.(𝑥−3)+3𝑥−1
𝑥−3
= 
2𝑥2−6𝑥+3𝑥−1
𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
 Para o denominador da fração 
racional composta 3𝑥 −
3
𝑥−3
 que é uma subtração de frações, usando 
m.m.c., obtendo 3𝑥 −
3
𝑥−3
= 
3𝑥.(𝑥−3)−3
𝑥−3
=
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
 Usando os dois resultados 
equivalentes vem 
2𝑥+
3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥−
3
𝑥−3
= 
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
 com resultado obtido pela divisão das 
frações, ou seja, mantendo a fração do numerador e invertendo a fração do 
denominador. 
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
.
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
 Ocorre possibilidade de 
simplificação do fator 𝑥 − 3 , resultando 
2𝑥2−3𝑥−1
𝑥−3
3𝑥2−9𝑥−3
𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
3𝑥2−9𝑥−3
=
2𝑥2−3𝑥−1
3(𝑥2−3𝑥−1)
 
para a simplificação da fração composta ou complexa.