UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ........

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
 DEPARTAMENTO DE FÍSICA
 DISCIPLINA – 7247
 “CORDA” VIBRANTE
ACADÊMICO(S): Amanda Ferreira Pontes RA:105568
 Fernanda S. Carreira RA:105563
 Mateus Augusto de Lima RA:105569
TURMA: 36 – Engenharia de Produção (Confecção Industrial) 
PROFESSOR(A):Fernando José Gaiotto
 MARINGÁ, Outubro de 2017
RESUMO: 
 
O experimento proposto neste relatório tem como finalidade gerar ondas estacionárias e analisar as dependências envolvidas. Para isso foi necessário um gerador de funções, amplificador, um fio tipo cordão, alto-falante, massas de valores diferentes e outros materiais. Colocou-se, então a massa em uma das extremidades do fio (cordão) enquanto que a outra ponta estava ligada diretamente com o alto-falante; com a ligação deste, são geradas ondas estacionárias no fio. Alterando os valores da amplitude aumentava-se a quantidade de número de ventres. Através desse sistema, criaram-se situações as quais diferenciam entre si devido ao número de ventres presentes no fio e a força tensora aplicada. Para interpretar os dados obtidos experimentalmente, realizaram-se análises via gráficos, tabelas, equações e analises dimensionais.
INTRODUÇÃO GERAL:
Na natureza, existe uma grande variedade de tipos de ondas, e o estudo de suas propriedades e seu comportamento constitui um importante campo da física. Podemos entender uma onda como uma propagação em um meio. Dentre as mais fundamentais propriedades associadas a uma onda encontra-se o transporte de energia. Podemos considerar a indústria musical que envolve a produção de ondas pelos artistas e a detecção dessas ondas pelo seu público. Estudando as ondas que se propagam numa corda vibrante, as quais são conhecidas como ondas harmônicas estacionárias. Este tipo de onda é caracterizado por uma grande amplitude de vibração, e é uma manifestação de ressonância da corda com relação à excitação por uma força externa. Nota-se nesse sistema, que quanto maior a frequência de ressonância, maior será a quantidade de ventres na corda, e neles, buscaremos sempre a maior amplitude possível.
OBJETIVO(S):
O objetivo do experimento consiste em gerar ondas estacionarias em um fio (cordão). A partir dos dados obtidos experimentalmente, será possível analisar à frequência de vibração do fio, com o número de ventres, comprimento do fio, tensão aplicada e velocidade de propagação de uma onda em estado estacionário, sendo obtida através de medidas diretas de comprimentos de onda em ondas estacionárias e também através da relação entre a tensão na corda e a densidade linear de massa da mesma.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA:
Uma onda pode-se considerar uma variação que transfere energia progressivamente de ponto para outro ponto num meio e que pode tomar a forma de uma deformação elástica ou uma variação de pressão, intensidade elétrica ou magnética, potencial elétrico, ou temperatura. Através das leis de Newton é possível observar-se que as ondas dependem de um meio para propagação temos como exemplo as ondas sonoras. Já quanto a direção de propagação das ondas a qual suas vibrações são perpendicular ou transversal no sentido de propagação. 
 Portanto temos à função que descreve uma onda em uma corda é : 
 (1) Y=ym sen (kx-ɯt). 
Sendo:
 y→ deslocamento
Ym→amplitude
sen(kx-ɯt)→Fator oscilador 
(kx-ɯt)→fase 
K→ número de onda
x→posição
ɯ→frequência angular
t→tempo
Como tal equação está descrita em termos da posição x, pode ser usada para calcular os deslocamentos de todos os elementos da corda em função do tempo. Podendo dessa forma, expressar qual é a forma da onda em qualquer instante de tempo e como esta forma varia quando a onda se move ao longo da corda.
 A fase da onda é o argumento (kx-ɯt) do seno da equação (1).
A comprimento de uma onda ʎ, é a distância entre uma repetições da forma de onda. A variável K é chamada número de onda, dada por:
 
(2) K= 
O parâmetro ɯ é chamado frequência angular da onda, dada por:
 (3) ɯ= 
Período de oscilação de uma onda, T, é definido como o tempo que um elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa. Encontrado por meio da equação (3). 
A frequência, f, de uma onda é definida como 1/T e esta relacionada a frequência angular, ɯ por meio da equação:
(4) F==
Uma onda estacionária se forma pela superposição de duas ondas que tenham mesma frequência , velocidade e amplitude e que se propaguem em sentidos opostos. Assim, a equação final de duas ondas superpostas levando em conta o princípio de superposição de uma onda, temos que:
(5) Y=2Ym sen (KX).
Na equação 5 temos que a amplitude será máxima, e igual a 2Ym, para:
KX= ; ;
X=;;;... .
Tais pontos pode ser chamados de ventres que distanciam entre meio comprimento de onde,
Para encontrar os nós, que são pontos fixos na corda e que tem amplitude igual a zero, temos que: 
Kx=Ԥ, 2Ԥ,3Ԥ, ..., NԤ.
Existe um fluxo de energia total de cada nó para o ventre adjacente e vice-versa, mas a taxa média de transferência de energia é igual à zero em todos os pontos. 
Como as ondas incidentes e refletidas possuem a mesma frequência e se propagam em sentidos opostos, sob condições apropriadas, elas podem combinar-se produzindo ondas estacionarias. Sendo o comprimento (L) do fio múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda. Portanto, na ressonância.
(6) L=n.
N= número de ventres, tal que teremos vários modos de vibração do fio.
A velocidade com a qual a onda percorre um meio é determinada pelas propriedades deste. Para o caso de um fio flexível, é dada por:
(7) V=
Sendo F a tensão aplicada no fio, e ρ, a massa por unidade de comprimento, portanto:
Ρ=.
O comprimento de onda (ʎ) de uma onda progressiva é dado pela distância entre dois máximos sucessivos, ou seja, a distância em que a forma da onda repete, num intervalo de tempo igual ao período (T).Dessa forma, a relação entre a frequência f, o comprimento de onda (ʎ), e a velocidade v, de uma onda harmônica é dado pela equação:
(8) ʎ=
Combinando as equações, (6), (7), (8) temos que a expressão geral para as frequências de vibração do fio, também chamados de harmônico é:
Equação geral F1= .
A equação geral é denominada como fórmula de Lagrange. Quando n=1 
tem-se o primeiro harmônico ou frequência fundamental.
MATERIAIS UTILIZADOS:
-Fio tipo cordonê;
-5 Massas de valores diferentes;
-Suporte Lateral;
-Trena;
-Balança;
-Auto-falante;
-Gerador de funções;
-Amplificador;
-Leitor de Frequência;
-Papel de fundo escuro para contraste;
MONTAGEM EXPERIMENTAL:
DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO:
Após ter sido montado o corpo do experimento, damos início ao mesmo. Primeiramente deve-se aferir o valor de 5 massas distintas e em ordem crescentes e anotá-las, escolher a primeira e
coloca-la no suporte de massas preso a uma das extremidades do fio, o qual deve estar passado pelo suporte L. Paralelamente com o plano da mesa e altura ajustada paralela ao ponto preso na agulha do alto-falante. Selecionado a escala de 50 Hz no gerador e mantendo o amplificador na metade da escala, deve-se aumentar a frequência até que o fio entre em ressonância gerando um ventre. Esse procedimento deve ser repetido para que se gere 2,3,4 e 5 ventres, assim também como deve ser repetido para as 5 diferentes massas, anotando todos os valores para os futuros cálculos. Com uma trena deve ser medido o comprimento do fio entre o centro do auto-falante (agulha) e o centro de suporte em L.
DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE:
Medidasdas frequências (f) e, função do número de ventres (n) e da tração aplicada ao fio de comprimento L sob a atuação de uma força peso de massa m.
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS:
É possível determinarmos a densidade linear do fio :2,47 x 10⁻⁴[kg/m²].
Confeccionando o gráfico (f x n) no papel milimetrado temos que:
Interpretando o gráfico 1, podemos obter a seguinte relação entre as variáveis tal que esse esboço é representado por funções lineares uma vez que o comportamento dos dados ajustados são retas. Assim:
 F=K1.Nᵃ onde a é igual a 1 ∴ temos que:
 [Hz]=[Hz]
O significado Físico da constante de proporcionalidade, se tratando de retas temos que o expoente é igual a um e o n é um fator multiplicativo adimensional da constante K, sendo assim, conclui-se que K1 tem dimensão de F1 Hertz. O significado da constante de proporcionalidade é, portanto, a frequência fundamental do primeiro harmônico e seus valores subsequentes são múltiplos deste. Desta forma para cada massa temos que:
	Massa
	Coeficiente Angular
	
	
	58,47±0,01
	14,394
	79,07±0,01
	20,479
	97,41±0,0
	20,28
	103,95±0,01
	20,527
	127,73±0,01
	24,117
Dependência da frequência de ressonância com o comprimento do fio:
Tabela 2- Dados obtidos via dados experimentais da tabela 1-Frequência em função do comprimento.
b)Confeccionando o gráfico f x , no papel milimetrado, ou seja, como temos uma função linear podemos obter y=ax+b, onde y=f e x=n, portanto ao coeficiente angular obtivemos 30,59 já ao coeficiente linear obtemos 7,42.
A Relação matemática entra as variáveis envolvidas são:
f α
f=K2;Ln=L/n;logo
f=K2
 ↓
[sˉ¹]=K2[mˉ¹], portanto,K2=
O significado físico da constante de proporcionalidade é que a constante K2, tem dimensão de velocidade da onda.
Utilizando a equação 6 para obtermos a equação de Lagrange, temos que: 
L=n. Substituindo L na equação geral significa que:
F1= . onde Fn=Nf1.
DEPENDÊNCIA DA FREQUÊNCIA DA RESSONÂNCIA COM A FORÇA TENSORA:
Completando a tabela (3) de Frequência em função da força tensora, temos que:
	f(sˉ¹)
	f²(sˉ²)
	F(N)
	25,3
	640
	0,573
	50,2
	2,52
	0,774
	70,1
	4,914
	0,954
	90,07
	8,112
	1,108
	108
	11,6
	1,251
b) Confeccionando o gráfico da tabela (3), f²Xf.
C) Escrevendo a relação matemática entre os parâmetros envolvidos temos que:
 f² α F
 f²=K.Fᵃ
sendo assim o gráfico de uma reta, então a=1.Assim,
 f²=K.F
 ↓ ↓
 [sˉ²] [N]
 [Sˉ²]=K.
fazendo a análise dimensional podemos obter a equação de Lagrange,Portanto:
f²=C x F= F=
f=
ANALISES DOS RESULTADOS:
Analisando os resultados obtidos do experimento, permitiu verificar que a frequência de vibração de uma corda varia linearmente com o número de ventres e com o comprimento; seu quadrado tem dependência similar com a tensão aplicada. Foi possível verificar a ressonância em ondas estacionárias, assim como determinar, com aproximação elementar, a densidade linear da corda utilizada.
CONCLUSÀO:
Neste experimento, conseguimos alcançar nossos objetivos que eram: gerar ondas estacionárias em uma corda e determinar a densidade linear do fio com êxito. Constatamos que a fórmula de Lagrange é válida tanto para determinar o valor da freqüência para um determinado número de ventres, quanto para calcular a densidade linear do fio, pois os valores obtidos experimentalmente foram bem próximos dos valores teóricos.
Referências Bibliográficas : 
[1] Manual de laboratório de Física-1 instituto de Física-Universidade de São Paulo, 40-41,(1983);
[2] A. A Cervo e P.A. Bervian, Metodologia Científica, Mc Graw-hill – Porto Alegre (1975).
[3]site http://www.ufpi.br/downloads/uploads/ABNT-10719-Relatriostcnicocientifico.pdf, pagina visita em 20/2017;
[4] H. Mukai e P. R. G. Fernandes, manual de laboratório-Física 1-DFI/UEM.
[5] Site:https://moodle.fct.unl.pt/pluginfile.php/85576/mod resource/contente/0/raguia-ap.Normas.APA.pdf,página visitada em 20/10/2017.