TRANSFORMAÇÃO E COORDENADAS

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TRANSFORMAÇÁO DE COORDENADAS: TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO COORDENADAS: POLARES, ESFÉRICAS E CILÍNDRICAS
PROFA: MARA DE CARVALHO DE SOUSA
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
 Um dos objetivos da Geometria Analítica é a determinação das propriedades de várias curvas e configurações geométricas, mas à medida que as estudamos, verificamos que as curvas e suas equações se tornam mais complicadas e mais difíceis de serem analisadas; em conseqüência, torna-se necessário, em várias ocasiões, estudar novos recursos a fim de facilitar o estudo destas curvas.Assim, é conveniente introduzir a noção de transformação de coordenadas, recurso que nos possibilita simplificar as equações de muitas curvas
 Uma transformação é uma operação por meio da qual uma relação, expressão ou figura é mudada de acordo com uma dada lei. Analiticamente a lei dada é expressa por uma ou mais equações denominadas equações de transformação. 
 A solução é simples, basta exprimirmos os valores das coordenadas de um ponto genérico no sistema particular, em função das coordenadas do mesmo ponto no novo sistema.
TRANSLAÇÃO DE EIXOS COORDENADOS
 Na translação de eixos coordenados mudamos a origem e conservamos as direções e os sentidos destes eixos.
 Sejam XOY o sistema particular e X'O'Y' o novo sistema. 
 O novo sistema X'O'Y', percebemos facilmente, que é definido, em relação ao primeiro, pelas coordenadas h e k da origem O' e pela condição O'X' e O'Y' serem, respectivamente, paralelos e do mesmo sentido que OX e OY.
 Y Y' 
 P(x.y) ou P(x',y') 
 y (
 y'
 x'
 O'(h ,k) X' 
 
 k
 O h x X 
 
 então
A fórmula de mudança do sistema XOY para X'O' Y' é: 
A fórmula de mudança do sistema X'O'Y' para o XOY é: 
 
EXEMPLOS:
1) Transforme a equação 7xy–14x–21y–13=0 em outra equação sem os termos do 1o grau, usando a translação de eixos coordenados.
 x= x' + h e y = y' + k ( 7(x' + h)(y' + k) – 14( x' + h) – 21(y' +k) – 13=0 ( 7x'y' + 7kx' + 7hy' + 7hk –14x'–14h –21y'– 21k =0 ( 7x'y'+(7k –14)x' + ( 7h -21)y'+ 7hk –14h –21k – 13 = 0 ( 
 
 ( O'(3,2) ( 7x'y' – 7.3.2 –14.3–21.2=0 ( 7x'y' – 55=0.
2) Transforme a equação x2 +y2–6x +2y ‑6=0 em relação a um novo sistema de coordenadas, de eixos paralelos aos primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figurem os termos em 1o grau.
 1a maneira: quando não se conhece a equação geral da curva. 
 x= x' +h e y= y'+ k , ( ( x' + h)2 +( y'+ k)2 – 6(x'+ h) + 2( y( +k) –6=0 (
 x '2 + y'2 +(2h –6)x' + (2k + 2)y' + h2 + k2 –6h +2k– 6=0 (
 
 ( O'( 3,–1) , substituindo na equação ( x'2 + y'2 = 16. 
 2a maneira : quando se conhece a equação geral da curva, neste caso é um círculo, de equação geral é (x–h)2 + (y–k)2 = R2 
 ( x2 – 6x + 9) +( y2 + 2y +1) = 6 +9 + 1 ( ( x– 3)2 + ( y +1)2 = 16 , fazendo x+3 = x' e y(1=y' , temos 
 O'(3,(1) e a equação se transforma em x'2 + y'2 = 16. 
ROTAÇÃO DE EIXOS COORDENADOS
 Na rotação, mudamos a direção dos eixos sem mudarmos a origem. 
 Seja o sistema XOY, através de uma rotação dos eixos de um ângulo ( , mantendo a mesma origem, obtém - se um novo sistema X ‘O Y ’ .
 
 Y 
 Y'
 P(x, y) ou P(x',y')
 y
 X' 
 ( y'
 
 D C 
 
 
 x' 
 (
 O A B
 X
 
 x
 
 Mudança do sistema XOY para o sistema X’O Y ‘ :
dos triângulos OBC e PDC, podemos dizer que
 
, e que.
OB = x’ cos ( , AB = DC = y’ sen( , AD = BC =x’ sen ( , DP = y’ cos (
 Substituindo, tem-se:
 
 
 Mudança do sistema X ‘ O O O O Y ‘ para o sistema XOY:procedendo do mesmo modo obtém-se
 
 
EXEMPLO
1)Por uma rotação de eixos coordenados, transformar a equação 9x2-24xy+16y2-40x-30y=0, em outra equação desprovida do termo x=y=,
 Solução: substituindo 
,na equação teremos,
9(x=cos( (y=sen()2(24(x=cos( ( y=sen()(x=sen( + y=cos()+16(x=sen(+y=cos()2 ( 40(x=cos( ( y=sen() ( 
 ( 30(x=sen( + y=cos() =0
Que após o desenvolvimento e redução se termos semelhantes, assume a forma
(9cos2( (24cos(sen(+16sen2()x=2 +(14sen(com(+24sen2((24cos2()x=y= + 
+(9sen2(+24sen(con(+16cos2()y=2 ( (40cos(+30sen()x= ((40sen((30cos()y==0
 Visto que a equação transformada deve ser desprovida do termo x=y=,igualamos a zero o coeficiente de x=y= e obtemos:
14sen(cos(+24sen2((24cos2=0.
 Ora, sen2(=2sen(cos( e cos2(=cos2( (sen2(.Logo a última relação pode ser escrita
7sen2( ( 24 cos2(
 Onde
 , logo (=36052= 11,63==
sen(=0,6 e cos(=0,8
Se esses valores de sem( e cos( são substituídos na equação, temos:
(5,76(11,53+5,76)x=2 + (3,24+11,52+10,24)y=2 ((32+18)x= + 24(24)y= =0
25y=2 ( 50x==0 ( y=2 ( x= =0
O lugar geométrico é uma parábola como está mostrando a figura abaixo
 
SIMPLIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES MEDIANTE ROTAÇÃO DE EIXOS
 A principal aplicação de mudança dos eixos coordenados é a simplificação das equações, pela escolha conveniente dos novos eixos.
 A fim de mostrar a possibilidade dessa simplificação, demonstraremos o seguinte teorema:
 Teorema: É sempre possível eliminar o termo xy da equação do segundo grau com duas variáveis:
Ax2 + B y 2 + C xy + D x + E y + F = 0 (1)
Mediante uma rotação dos eixos coordenados.
Com efeito, as fórmulas de rotação dos eixos são:
 
, sendo ( o ângulo de rotação.
Substituindo em (1) e ordenando desenvolvendo e reduzindo a termos semelhantes temos:
(Acos2( +Bsen(cos(+Csen2()x2+ [Bcos2( ( (A(C)sen2(]xy + (Asen2( ( Bsen(cos(+Ccos2()y2 +(Dcos( +Esen()x+(Ecos((Dsen()y +F=0.
 Para ser eliminado o termo xy, devemos ter:
 Bcos2( ( (A(C)sen2(=0
Donde
 Como o valor de ( é real, quaisquer que sejam os valores de A,B e C,conclui-se que é sempre possível eliminar o termo xy da equação (1), como queríamos demonstrar.
Observação: pela rotação dos eixos coordenados o termo F da equação não se altera.
EXEMPLO
Elimine, usando rotação de eixos , o termo xy da equação x2 +4xy+y2=4
 Sabe-se que : A =1 , B =1 e C =4 ( tg 2( =
 ( 2(=900 ( (= 450 (
 ( Substituindo na equação (
+4
�� EMBED Equation.3 +
=4
x’2 - x’y’ +
y’2+ 2x’2 – 2y’2 +
x’2 + x’y’ + 
y’2 = 4 ( 3x’2 – y’2 = 4
 
 
TRANSFORMAÇÃO GERAL : TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
 É quando os eixos coordenados são submetidos a uma translação e uma rotação , tomados em qualquer ordem. As coordenadas de qualquer ponto P, referido aos conjuntos de eixos original e final são (x,y) e (x",y"), respectivamente, então, as equações de transformações das antigas para as novas coordenadas finais são dadas por.
 
 
onde ( é o ângulo de rotação e (h,k) são as coordenadas da nova origem referida aos eixos coordenados originais. 
Obs.: 1) Pode-se efetuar , indiferente da ordem . a translação e a rotação, separadamente.
 2) O grau de uma equação não é modificado por transformação de coordenadas.
Exemplo: Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados reduzir a equação 
 5x2+ 6xy + 5y2 –4x + 4y –4= 0
Para eliminar os termos em 1o grau , façamos: x=x'+h e y = y'+k
 5(x'+h)2 +6(x'+h)(y'+k) +5(y'+k)2 – 4(x'+h) +4(y'+k) – 4 = 0 
Desenvolvendo e agrupando convenientemente os termos, temos:
 5x'2 +6x'y'+5y'2 +(10h +6k –4)x' + (10k +6h+4)y'+ 5h2 +6hk +5k2+ 4h + 4k – 4= 0 (
 resolvendo o sistema: 10h +6k –4 =0 ( h=1 e k= –1 , logo O'( 1,–1), substituindo na equação acima,
 10k +6h+4 =0
temos: 5x'2 + 6x'y'+5y'2 = 8
Para determinar ( utilizaremos a expressão: 
 = 
 ( 2(= 900 ( (= 450 (
 (m substituindo na equação, obtida após a translação (
 5
+6
�� EMBED Equation.3 +5
=8 ( 4x"2 + y"2 = 4
 
elipse , de eixo maior vertical e vértice na nova origem.
 
 Y Y'
 Y" 
 X"
 X
 O'(1,-1) ( C 
 X"
COORDENADAS POLARES
 Até agora temos determinado a posição de um ponto do plano utilizando unicamente as coordenadas cartesianas. Entre os vários sistemas existentes, o de uso mais freqüente é o sistema de coordenadas polares.
 Seja um ponto fixo O, ao qual chamamos de pólo (origem do sistema), e uma semi - reta e de origem em O, chamada e eixo polar. Um ponto P de um plano será determinado quando se conhece a distância OP, chamada raio polar, e o ângulo determinado pelo eixo polar e o raio polar, medido positivamente no sentido trigonométrico.
 
 P
 ( 
 
 
 (
 
 O e 
 
 e ( eixo polar ( ( ângulo polar (( OP (( = ( ( raio polar
 Um ponto no sistema polar fica determinado pelo par ordenado ( ( , ( ). 
 O número ( pode tomar qualquer valor real e ( qualquer valor de ângulo, da seguinte forma: o ângulo será considerado positivo, quando marcado no sentido trigonométrico e negativo caso contrário. O raio polar ( será considerado positivo quando medido sobre o lado terminal do ângulo ( e negativo quando medido sobre a semi - reta oposta ao lado terminal do mesmo ângulo.( 
 P(2,300) P(3,1200) P(–2,–300)
 300 1200
 
 e O e O –300 e
 
 P(2250)
 2250 2250
 O e O e O e 
 
 ‑300
 P(3,2250) P(2,–300)
 Das convenções estabelecidas resultam, então, que dado um par ordenado de coordenadas polares, deve-se decidir, um valor de ( e de (, tal que o ponto P (( , () fique perfeitamente determinado, mas em contrapartida, dado um ponto P, há infinitos pares de coordenadas que podem corresponder a esse ponto.
 Em geral, um ponto P((,(), pode corresponder a qual quer dos pares ordenados (( , ( ( 2k ( ), ou ( - ( , ( ( k ( ), onde k é um número inteiro. 
 
Relações entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas
 
 Seja o ponto P referido a um sistema cartesiano XOY e ao sistema polar, de modo que o pólo esteja coincidente com a origem dos eixos cartesianos e o eixo polar coincida com o semi - eixo positivo das abscissas (OX).
 No sistema cartesiano o ponto P tem coordenadas x e y e no sistema polar ( e r
 Das relações métricas do triângulo retângulo sabe-se que:
 Y 
 
 P(x,y) ou P((,() 
 (
 
 (
 O X ou e
 
 
 , 
 ,
 , 
 , 
 ; (2=x2 + y2 ( 
Distância entre dois pontos
 Sejam os pontos A((1,(1) e B((2,y2) referidos a um sistema polar ( figura abaixo)B
 d 
 
 (2 A
 (2–(1 
 (1
 (2 
 (1 
 
 O e 
 
 Para determinarmos a distância d do ponto a ao ponto B, apliquemos a Lei dos co-senos ao triângulo OAB.
 
Equações Polares da Reta
 Seja r uma reta que não passa pelo pólo cuja equação geral é
Ax +By + C = 0
E passando para coordenadas polares, obtemos:
 
 
A(cos( + B ( sen ( + C = 0 ou (A cos (+ B sem ()( + C = 0
que é a equação geral da reta em coordenadas polares.
Equação polar do círculo
 Seja ao círculo de centro C((0,(0 ) e de raio R, e P( (, () um ponto qualquer do círculo.
 O triângulo OPC nos dá:
(2 +(02 ( 2 (0( cos (( ( (0) = R2
	
que é a equação polar do círculo
Casos Particulares
Se o centro do círculo está no eixo polar, à direita do pólo, e o círculo passa pelo pólo, temos:
(0= R e (0= 0 então (= 2R cos (
 Se o centro do círculo estiver à esquerda do pólo, temos:
 
(=( então (=( 2P cos (
 
Se o centro do círculo está no eixo OY, acima do pólo e o círculo passa pelo pólo,
(0=R e (0= 
 então (=2Rsen ( 
 Se o centro do círculo estiver abaixo do pólo, temos:
(= 
 então (= (2R sen(
3) Se o centro está no poço (0=0 e a equação do círculo é simplesmente (=( R
 Observe-se que qualquer das duas equações (=R e (=(R representa a mesmo círculo. As equações que representam o mesmo lugar o mesmo lugar geométrico denominam-se equivalentes e ocorrem em virtude de convenção de sinal das coordenadas polares, constituindo, pois, uma peculiaridade das equações em coordenadas polares.
 
EXEMPLOS
1)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:
x-3y=0
(cos( - 3(sen(=0 ( cos(=3sen( ( 
 ( tg( =
 ( (=arctg
b) x4 +x2y2- (x+y)2 = 0
(4cos4( +(2cos2((2sen2( - ((cos(+(sen()2 =0 (
(4cos4+ (4cos2​(sen2(-((2cos2(+(2sen2(+2(cos((sen()2 =0 (
(4cos4(+(4cos2(’en2(-[(2(cos2(+sen2()+2(2cos(sen(]=0 (
(4cos4(+(4cos2(sen2( - (2 – 2(2cos(sen( = 0 (( (2 ) ( (2cos4( + (2cos2(sen2( - 1 – 2cos(sen( = 0 (
(2cos2((cos2(+sen2()=1+ 2cos(sen( ( (2cos2(=1+ 2cos(sen( (
 (
 ( (2=sec2( +2tg( ( (2=1+tg2(+2tg( ( (2=(1+tg()2 ( (=1+tg(
9x2–72x+25y2 –81=0 ( 9(2cos2( + 25(2sen2( –72(cos( –81=0 (
 9(2cos2( +16(2cos2( –16(2cos2( +25(2sen2( –72(cos( –81=0(
25(2cos2(+25(2sen2( – 16(2cos2( –72(cos( – 81 = 0 ( (2(25 – 16cos2() - 72(cos( – 81 =0 (
 = 
 = 
 
 ( (( 0 ( não serve) 
 ( ( ( 0 
2)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:
a) ((1+cos()=6 ( 
=6 ( 
+x =6 ( 
=6-x ( elevando ao quadrado ambos os lados da equação ( x2 + y2 = 36 – 12x +x2 ( y2 + 12x – 36 = 0
b) ( =1+2sen2( ( (=1+2.2.sen(cos( ( (=1+4sen(cos( ( 
=1+ 
 (
=1+
 ( 
(x2+ y2)=x2+ y2+ 4xy ( (x2+ y2) (x2+ y2)2 = (x2+ y2+ 4xy)2 (
 (x2+ y2)3 = (x2+ y2+ 4xy)2
3) Determine a distância entre os pontos A(–3,600) e B(4,–600).
 EMBED Equation.3 �� = 
 = 
 = 
COORDENADAS ESFÉRICAS
 Consideremos três eixos OX , OY, OZ , perpendiculares 2 a 2 e uma esfera de centro O. Os planos XOY , XOZ , YOZ determinados pelos pares destes eixos seccionam a esfera segundo círculos máximos. Todos os círculos máximos desta esfera obtidos por planos que contenham o eixos OZ são denominados meridianos, sendo o plano XOZ a origem dos meridianos. A intersecção do plano XOY com a esfera é o equador, e o eixo dos z é a linha dos pólos. 
 Um ponto qualquer P é determinado pela medida algébrica ( do segmento OP , pelo ângulo ( que o segmento OP forma com o eixo OZ e pelo ângulo diedro ( formado pelo meridiano que passa por P com o meridiano de origem.
 ( ( raio vetor; ( ( 0 
( ( longitude , sendo contado sobre o equador variando de 0 a 2( radianos no sentido anti - horário ; 0 ( ( ( 2(
( ( colatitude , variando de 0 a ( / 2 , é o complemento do ângulo ( OQ , OP ); 
 As coordenadas esféricas de P são : P( ( , ( , ( ); r ( 0 ; 0 ( ( ( ( 
 
Relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas
 Do triângulo OQP ( z = ( cos ( e OQ = ( sen ( ( 1) 
 Do triângulo retângulo OAQ ( x = OQ cos ( e y = OQ sen ( comparando com ( 1) , resulta
 
 x = ( cos ( sen (, y = ( sen ( sen ( e z = ( cos ( 
 
 
 OBS.:1)Nos exercícios de coordenadas esféricas procede-se da mesma maneira que nos de coordenadas polares. 
 2) Diferentes autores utilizam diferentes nomenclaturas para as coordenadas do ponto. 
 
 COORDENADAS CILÍNDRICAS
 Seja a um ponto P(x,y,z) qualquer ponto sobre a superfície cilíndrica circular reta de raio r cujo eixo é o eixo OZ .A equação de uma superfície cilíndrica é x2+ y2= r2 (1).
 Na figura abaixo está representada uma porção da superfície no primeiro octante. Pelo ponto P e pelo eixo OZ passamos um plano que intercepta a superfície numa geratriz que fura o plano XY no ponto P’ Seja (OP’(=r e seja ( o ângulo entre OP’ e o eixo OX positivo. Temos então a relações:
 
 Z 
 
 z P(x,y,z)
 
 
 O y Y
 
 x ( r
 
 
 P’
 
 X
 x = rcos( , y = rsen( , z =z ( 2 )
a partir das quais, evidentemente é possível localizar qualquer ponto sobre a superfície cilíndrica (1) quando são dados os valores de r, ( e z. Por está razão essas quantidades são denominadas coordenadas cilíndricas do ponto P e são escritas (r,(,z). Mais geralmente, se um ponto fixo (a origem O),uma reta fixa ( o eixo OX) e um dado plano ( o plano XY) são tomados como elementos de referência, então, juntamente com as coordenadas cilíndricas (r,(,z),é possível localizar qualquer ponto no espaço; temos assim o sistema de coordenadas cilíndricas.
 O ângulo ( pode ser medido como na trigonometria com o eixo OX positivocomo lado origem. A fim de que as coordenadas cilíndrica (r,(,z) representem inequivocamente um ponto no espaço restringiremos os valores de r e ( aos intervalos
 P( r,(,z) , onde r ( 0 , 0 ( ( ( 2( e z 
 
 Eliminando-se ( e z a partir das relações (2) obtemos a equação (1). Logo as equações (2) são as equações paramétricas da superfície cilíndrica circular reta (1), sendo as variáveis ( e r os parâmetros.
 As relações (2) podem ser usadas como equações de transformação entre os sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas. A partir da primeira destas relações obtemos, como no sistema de coordenadas polares, as relações:
 
 
que também, podem ser usadas como equações de transformação entre os dois sistemas.
OBS.: Obviamente o sistema de coordenadas cilíndricas é uma extensão para o espaço do sistema de coordenadas polares. 
 
BIBLIOGRAFIA
GEOMETRIA ANALÍTICA, CHARLES H. LEHMANN, EDITORA GLOBO.
GEOMETRIA ANALÍTICA, ZÓZIMO MENNA GONÇALVES, LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS.
GEOMETRIA ANALÍTICA, SMITH GALE-NEELY, AO LIVRO TÉCNICO.
GEOMETRIA ANALÍTICA, COLEÇÃO SCHAUM, JOSEPH H. KINDLE, AO LIVRO TÉCNICO.
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA, ARMANDO RIGHETTO, IBLC.
GEOMETRIA ANALÍTICA (UM TRATAMENTO VETORIAL), PAULOE BOULOS E IVAN CAMARGO E OLIVEIRA, MAKRON BOOKS EDITORA.
� EMBED Equation.3 ���
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