Coordenadas_Polares

Prévia do material em texto

SISTEMA POLAR DE COORDENADAS
O sistema retangular de coordenadas
concebe a localização de um ponto em um
plano, denominado cartesiano, por meio de
duas distâncias com relação à origem: uma
distância horizontal 𝑥 e outra vertical 𝑦.
O sistema polar, também bidimensional, se
fundamenta em uma distância e em um ângulo:
uma distância calculada relativamente à sua
origem, chamada de polo, estabelecida sobre o
segmento da reta determinada pelo ângulo 𝜃 ,
cuja medida toma como referência o eixo polar
no qual 𝜃 = 0.
As coordenadas polares de um ponto 𝑝 ,
representado pelo par (𝑥, 𝑦) no sistema
cartesiano, correspondem, assim, ao par 𝜃, 𝑟 ,
composto pelo ângulo polar 𝜃 e o raio 𝑟 ,
medido, a partir do polo, sobre o segmento da
reta definida por 𝜃 .
Sobrepondo a marcação de um ponto nos dois sistemas, vemos as relações entre as coordenadas
cartesianas e as coordenadas polares. Essas relações correspondem, na prática, a fórmulas de
conversão que nos permitem transitar entre os dois sistemas de coordenadas.
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 ,
Temos
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑟
⇒ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑟
⇒ 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 e
𝑡𝑔𝜃 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
𝑦
𝑥
.
De fato, se 𝑥 = −1 e 𝑦 = 1, então 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 1 + 1 = 2 e, assim,
1. O ponto de coordenadas cartesianas (−1, 1) é escrito no sistema polar como (3𝜋/4, 2).
EXEMPLOS
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑟
=
−1
2
= −
2
2
e 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑟
=
1
2
=
2
2
.
Logo, 𝑟 = 2 e 𝜃 = 3𝜋/4 .
2. O ponto de coordenadas cartesianas (0, 2) é escrito no sistema polar como (𝜋/2, 2).
Agora, 𝑥 = 0 e 𝑦 = 2 acarretam 𝑟 = 4 = 2. Daí, 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 e 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2/2 = 1 e, portanto,
𝜃 = 𝜋/2.
3. O ponto de coordenadas polares (𝜋/3, 2) corresponde ao ponto (1, 3) no sistema cartesiano.
Se 𝜃 = 𝜋/3 e 𝑟 = 2, então 𝑥 = 2 cos 𝜋/3 = 2.1/2 = 1 e 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋/3 = 2. 3/2 = 3 .
1. Consideremos o polo e o eixo polar
coincidindo, respectivamente, com
a origem e o semieixo 0X positivo
do sistema cartesiano. Dessa
forma, observamos que pontos
correspondentes com relação aos
dois sistemas de coordenadas
ocupam o mesmo lugar
geométrico.
OBSERVAÇÕES
Veja, por exemplo, os lugares
geométricos ocupados pelos pontos
(−1, 1) e (3𝜋/4, 2).
2. Se 𝑝 é um ponto da forma (𝜃, −𝑟), isto é, possui a coordenada radial negativa, então 𝑝 deverá
ocupar o lugar geométrico (𝜋 + 𝜃, 𝑟), ou seja, 𝑝 e 𝑝′ = (𝜃, 𝑟) são simétricos com relação ao polo.
Veja, por exemplo, o lugar geométrico ocupado pelo ponto 𝑝 = 𝜋/4, −2 .
3. No sistema cartesiano, cada ponto ocupa
um único lugar geométrico no plano,
porém, com relação ao sistema polar,
essa propriedade não se verifica. Note,
por exemplo, que o ponto 𝜋/4, −2 ,
considerado na observação anterior, se
localiza no mesmo lugar que o
ponto (5𝜋/4, 2).
Além disso, não é difícil concluir que
𝜃, 𝑟 , 𝜃 + 2𝜋, 𝑟 , 𝜃 + 4𝜋, 𝑟 , ... ocupam,
todos, o mesmo lugar geométrico no
plano polar.
4. Por fim, importa observar que o polo tem raio polar nulo e ângulo polar indeterminado.
ESBOÇO DE CURVAS NO SISTEMA POLAR
Dada uma curva expressa por uma equação em coordenadas polares, podemos, inicialmente, proceder
a sua conversão para coordenadas cartesianas a fim de procurar reconhecê-la. Feito isto, e havendo o
reconhecimento, esboçamos, então, seu gráfico a partir da equação cartesiana obtida.
Note que o procedimento acima se fundamenta no que nos mostrou a Observação 1., apresentada
anteriormente, pois dela nos é permitido concluir que curvas equivalentes nos sistemas cartesiano e
polar, apesar de serem expressas por equações distintas, possuem o mesmo esboço gráfico, uma vez
que “pontos correspondentes com relação aos dois sistemas de coordenadas ocupam o mesmo lugar
geométrico.”
EXEMPLOS
1. A curva 𝑟 = 2 pode ser traçada a partir de sua conversão para coordenadas cartesianas, uma vez
que 𝑟 = 2 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 2 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 4 , ou seja, esboçar a curva de equação 𝑟 = 2
significa o mesmo que esboçar a circunferência de centro na origem e raio igual a 2.
2. A curva 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 também pode ser traçada a partir de sua conversão para coordenadas
cartesianas:
𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 2
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥 ⇒ 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 = 0
⇒ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 = 1 ⇒ 𝑥 − 1 2 + 𝑦2 = 1.
Logo, 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 tem como gráfico a circunferência de centro no ponto (1, 0) e raio unitário.
3. A equação 𝜃 =
𝜋
4
tem como gráfico uma reta bem conhecida.
Rápido reconhecimento se dá quando aplicamos a função tangente em ambos os membros da
equação:
𝜃 =
𝜋
4
⇒ 𝑡𝑔𝜃 = 𝑡𝑔
𝜋
4
⇒ 𝑡𝑔𝜃 = 1 ⇒
𝑦
𝑥
= 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 .
E SE A CONVERSÃO AO SISTEMA CARTESIANO ME LEVAR A UMA CURVA “IRRECONHECÍVEL”?
Quando a conversão que aplicamos nos exemplos anteriores não apresentar a equação de uma curva
cujo tipo de gráfico nos seja possível de reconhecer com facilidade no sistema cartesiano, então
devemos procurar esboçar o gráfico desejado a partir da equação da curva expressa em sua forma
original, ou seja, em coordenadas polares.
Para tanto, devemos observar que curvas no sistema polar são traçadas com base em marcação de
pontos (𝜃, 𝑟) no plano polar, normalmente conhecidos a partir de uma substituição sequencial, na
expressão 𝑟 = 𝑓(𝜃) que define a curva, de valores do ângulo 𝜃 para obtenção de valores
correspondentes do raio polar 𝑟.
Antes, porém, de serem efetuadas tais substituições, é importante verificar se a função 𝑟 = 𝑓(𝜃)
satisfaz pelo menos uma das duas propriedades abaixo:
a) 𝑓 𝜃 = 𝑓 −𝜃 , ∀𝜃;
b) 𝑓 𝜃 = 𝑓(𝜋 − 𝜃), ∀𝜃 .
A importância de checar a satisfação dessas propriedades por parte da função cujo gráfico se quer
esboçar reside em dois resultados muito úteis, que poupam trabalho substancial no cumprimento da
tarefa de obter o gráfico de 𝑟 = 𝑓(𝜃), pois se a) ocorre, então a curva 𝑟 = 𝑓(𝜃) é composta por partes
simétricas com relação ao eixo polar; se b) ocorre, então a curva 𝑟 = 𝑓(𝜃) é composta por partes
simétricas com relação à reta 𝛼 = 𝜋/2.
Veja as figuras que seguem.
𝑓 𝜃 = 𝑓 −𝜃 ⇒ a cada ponto marcado acima
do eixo polar sobre a reta definida pelo ângulo
𝜃 , corresponde um ponto abaixo do eixo polar,
com o mesmo raio, marcado sobre a reta
definida pelo ângulo −𝜃 .
𝑓 𝜃 = 𝑓 𝜋 − 𝜃 ⇒ a cada ponto marcado à
direita da reta 𝛼 = 𝜋/2 sobre a reta definida pelo
ângulo 𝜃 , corresponde um ponto à esquerda da
reta 𝛼 = 𝜋/2, com o mesmo raio, marcado sobre
a reta definida pelo ângulo 𝜋 − 𝜃 .
EXEMPLO
Se considerarmos a equação polar 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 , vamos perceber que sua conversão ao sistema
cartesiano não nos facilitará a obtenção do gráfico correspondente (Verifique isto!).
Logo, vamos nela substituir, sucessivamente, valores de 𝜃 para obtenção dos valores correspondentes
de 𝑟 e, assim, por meio da marcação dos pontos (𝜃, 𝑟) no plano polar, chegar ao esboço do seu gráfico.
Antes, porém, devemos procurar descobrir se essa equação satisfaz alguma das propriedades de
simetria sobre as quais nos referimos antes.
Temos, então,
𝑓 −𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 −𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑟 = 𝑓(𝜃) e 𝑓 𝜋 − 𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≠ 𝑓(𝜃) .
Portanto, a função 𝑟 = 𝑓 𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 satisfaz a propriedade a), mas não satisfaz a propriedade b) e,
em razão disso, sabemos, agora, que seu gráfico é formado por partes simétricas com relação ao eixo
polar.
Veja, na sequência, uma tabela de pontos (𝜃, 𝑟) que, juntamente com o resultado acima, nos permitem
obter o gráfico da função 𝑟 = 𝑓 𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 .
𝜃 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝜋/6
𝜋/4
𝜋/3
𝜋/2
3𝜋/4
𝜋
2
1 + 3/2
1 + 2/2
1 + 1/2
1
1 − 2/2
0