AULA4e5Taxasproporcionaisequivalentesnominaletaxa.eDescontos 20150316085222

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Taxas proporcionais, equivalentes, nominal e taxa efetiva
Engenharia Econômica e Finanças- Aula 4 e 5
ronaldoleffler@hotmail.com 
Taxas Proporcionais
Duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem.
Tomem-se, por exemplo, as taxas de 3% a.m. e 18 % a.s. Essas taxas são proporcionais, pois 3 é a sexta parte de 18 da mesma forma que o mês é a sexta parte do semestre.
Suponha-se, agora, que 2 capitais foram aplicados, por um ano, a taxa de 3% a.m. e 18% a.s. respectivamente. O primeiro deles vai ficar aplicado durante 12 períodos iguais a um mês e o segundo vai ficar aplicado durante 2 períodos iguais a um semestre. Nesse caso, a proporção existente entre as taxas e os números de períodos de tempo correspondentes será inversa, isto é:
3 = 2 .
 18 12
Generalizando, se dois capitais forem aplicados pelo mesmo prazo de tempo com taxas proporcionais i1 e i2, respectivamente, e se n1 e n2 são números respectivos de períodos que perfazem esse prazo de tempo para cada um das aplicações, tem-se:
 i1 = n2 ou i1 n1 = i2 n2.
 i2 n1
Taxas proporcionais- Exemplo
Dada a taxa de 30% a.t., determinar as taxas proporcionais mensal, semestral, bimestral e anual.
Solução:
Mensal= i/m = 0,30/3= 0,10
Semestral= i/s= 0,30.2 = 0,60
Bimestral= 0,30/3 . 2 = 0,20
Anual= 0,30 . 4= 1,20 
Taxas Equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas a capitais iguais, produzem juros iguais ( e montantes iguais) em tempos iguais.
No regime de juros simples, as taxas proporcionais são equivalentes. De fato, suponham-se dois capitais iguais, aplicados às taxas proporcionais , durante o mesmo espaço de tempo. Ex.: 
27,6% a.a. = 27,6/12= 2,3% ao mês.
Taxas equivalentes- exemplo
Um capital de R$ 320.000,00 foi colocado no opem market pelo prazo de 17 dias, tendo produzido o montante de R$ 334.688,00. A que taxa mensal esteve aplicado esse capital?
M= C( 1+i.n) = 334.688= 320.000(1+i.17)
17i= 334.688/320.000-1= 0,0459
i= 0,0027/ dia
i= 0,0027. 30 = 0,081 ao mês
R: 8,1% ao mês.
Taxa Nominal e taxa efetiva
A taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se taxa nominal. Essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva, que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Isso acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que, na realidade, é pago em parcelas. Esses e outros artifícios às vezes são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores ou menores, conforme a conveniência.
Um capitalista depositou R$ 200.000,00 num banco, a prazo fixo, por 2 meses, à taxa de 2% a.m.Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de imposto de renda, determinar: a) O valor dos juros, B) O IR retido, C) O valor líquido de resgate e D) A taxa efetiva mensal de rendimento.
A) J=Cin J= 200.000.0,02.2 J=8.000
B) IR= 0,30 x 8.000= 2.400
C) Resgate bruto= FV= PV +J 200000+8000=208.000
 Resgate líquido=208000-2400= 205.600(FV efetivo )
D) Fv= Pv (1+in) 205.600= 200.000(1+i.2)
 2i= 205.600 – 1= 0,028 
 200.000
 i= 0,028 = 0,014 ou 1,4% ao mês.
 2
Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% a.m. de juros simples, que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga pelo empréstimo de R$ 50.000,00 por 3 meses?
J= Pv.i.n j= 50000. 0,08. 3 J= 12.000 (juros retidos )
Empréstimo efetivo= 50.000-12.000= 38.000 (Pv efetivo)
Pagamento final= 50.000 ( Fv efetivo)
Taxa efetiva: Fv=Pv(1 +in) 50.000=38.000(1+i.3)
3i= 50.000 -1 = 0,3158 
 38.000 
i= 0,3158 = 0,1053 
 3 
R: Paga a taxa efetiva de 10,53% ao mês.
Um vendedor ambulante oferece, no portão, para uma dona de casa, um objeto pelo preço de R$ 180,00 a vista. Esclarece que, se a compradora quiser, poderá pagar 5% a.m. a mais sobre o preço total para pagar em 2 vezes, isto é, poderá pagar R$ 94,50 no ato da compra e R$ 94,50 após 30 dias. Qual a taxa efetiva que esse vendedor está cobrando? 
Parte financiada: 180 - 94,50= 85,50 ( Pv efetivo)
Fv = Pv(i+in) 94,50= 85,50(1+i.1)=
i= 94,50 - 1 = 0,1053
 85,50
R: Está cobrando a taxa efetiva de 10,53% a.m.
Considerações sobre a contagem do tempo- Juros comerciais e juros exatos
São comuns no mercado financeiro as operações de curto prazo, em que o capital é investido por poucos dias, como acontece com as aplicações no open market. Quando a operação é por um dia, chama-se overnight. Nas aplicações de overnight, em geral , as taxas variam diariamente, mas, nas aplicações no open market, a taxa costuma ser prefixada para o período e, em geral, expressa como mensal ou anual e, para se calcularem os juros, é necessário determinar antes a taxa diária equivalente.
Juros comerciais e juros exatos
Existem duas sistemáticas para se calcular a taxa diária a partir da taxa anual: Considerar o ano comercial de 360 dias ou considerar o ano civil de 365 dias. No ano comercial (360 dias), os juros calculados com a taxa diária são chamados juros comerciais, comuns ou ordinários. No ano civil (365 dias ), os juros são chamados exatos.
Por convenção, usam-se sempre os juros comerciais, a não ser quando é explícito o contrário.
Ex.:Calcular os juros comerciais e os juros exatos produzidos por um capital de R$500,00, aplicado à taxa de 27% a.a., durante 24 dias.
Solução: 
Juros comerciais: J=Pv.in J=500. 0,27.24= 9,00
 360
Juros exatos: J=Pv.in J: 500. 0,27 . 24 = 8,88
 365
R.: Os juros comerciais são R$ 9,00 e os juros exatos são R$ 8,88.
Tempo exato e tempo aproximado
Quando se quer calcular os juros de um capital aplicado e se conhecem as datas de aplicação e resgate, o tempo decorrido entre essas datas também pode ser contado de 2 maneiras: tempo exato, quando se considera o número exato de dias contados no calendário, e tempo aproximado, quando se considera qualquer mês como tendo 30 dias.
“Por convenção, sempre que são dadas 2 datas, calcula-se o tempo exato e, nos demais casos, o tempo aproximado.
Chama-se Regra dos Bancos a convenção de se calcularem os juros comerciais para o tempo exato entre 2 datas. Entre todas as sistemáticas, a Regra dos Bancos é a que proporciona os maiores juros em qualquer operação. Esses juros são chamados juros bancários. Nos bancos e instituições financeiras, existem tabelas para facilitar a contagem de tempo entre as datas.
Ex.: Calcular o tempo exato e aproximado entre 12 de dezembro 1997 e 20 de fevereiro de 1998.
Solução:
Tempo exato: 19 dias(dez.) + 31 dias(jan.) + 20dias(fev)= 70 dias.
Tempo aproximado: 18+30+20= 68 dias.
R.: Tempo exato de 70 dias e tempo aproximado de 68 dias.
Ex.: Calcular os juros de R$10.000,00, aplicados a 30% a.a., de 15 de junho a 15 de setembro do mesmo ano, considerando:A)Juros comerciais e tempo exato, B)Juros comerciais e tempo aproximado, C) Juros exatos e tempo exato, D) Juros exatos e tempo aproximado.
Taxa diária para juros exatos = 0,3/365
Taxa diária para juros comerciais= 0,3/ 360
Tempo exato= 92 dias 
 tempo aproximado= 90 dias. 
J=cin J=10.000. 0,3/360 . 92 j= 766,67
J=cin J=10.000 . 0,3/360 . 90 J= 750,00
J=cin J= 10.000. 0,3/365 . 92 J= 756,16
J=cin J=10.000 . 0,3/365 . 90 J=739,73
Desafio Matemática
Professor Rogério comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da classe fizeram muita bagunça, e a professora resolveu distribuir as balas de maneira diferente: cinco para cada menina e apenas uma para cada menino. Qual a porcentagem
de meninos na sala?
Aprendendo fazendo 
1- Dada a taxa de 34,5% ao trimestre, determine as taxas proporcionais para:
A)um ano 
B)Um semestre
C)Um bimestre
D) Um mês
E) 17 dias
F) 2 meses e 7 dias
G) O período que vai de 08-01 a 16-09.
2- Determine os juros simples correspondentes a uma aplicação de R$ 25.000,00 a 16% a.s., durante 2 anos.
3-Um capital de R$ 3.000,00 foi colocado a 5,7% a.t., durante 1 ano, 3 meses e 20 dias. Qual o montante final?
4-Para garantir um empréstimo de R$ 500,00, um tomador assina uma promissória no valor de R$ 715,00 que vence em 300 dias. Qual a taxa mensal de juros simples que ele está comprometendo-se a pagar?
5- Qual a taxa mensal de juros simples necessária para um capital triplicar em um ano?
6-A quantia de R$ 4.500,00 foi tomada como empréstimo, a 4,9% a.m., de juros simples, por 6 meses. Como será saldada a dívida se: 
A)Capital e juros forem pagos no final do prazo?
B)Os juros forem pagos no final de cada mês e o capital for pago no final do prazo?
C) Os juros totais forem pagos antecipadamente e só o capital for pago no final do prazo? Nesse caso, qual a taxa mensal efetiva de juros simples paga pelo devedor? 
7- Durante quanto tempo deve ficar colocado um capital, à taxa de 11% ao mês, para que seus juros se igualem ao capital?
8- Um empréstimo deve ser saldado daqui a 2 meses com um único pagamento de R$5.500,00. O devedor propõe pagar R$ 2.000,00 agora e os restantes R$3.500,00 em data a combinar. O credor aceita a proposta desde que lhe proporcione um ganho de 5% a.m., de juros simples. Que data será marcada para o pagamento dessa segunda parcela?
9-O valor do dólar em 01-07-95 era de R$ 0,9220 e em 01-07-98 passou a valer R$ 1,1566.
A) Qual a taxa de crescimento do dólar nesse período?
B) Qual a taxa mensal ( de juros simples) de crescimento do dólar nesse período?
10- Uma loja vende um televisor, cujo preço é de R$ 1.100,00, com uma entrada de R$ 500,00 e mais um pagamento de R$ 744,00 em 60 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja?
11-Quero comprar uma calculadora, cujo preço está tabelado em R$75,00. O pagamento a vista proporciona-me um desconto de 5%. Se quiser um prazo de 60 dias para pagar, a loja acrescerá 5%, passando o preço para R$ 78,75. Analise se é melhor pagar a vista ou em 60 dias.
12-Uma loja atacadista concede 5% de desconto para suas vendas a vista e cobra 15% de juros para as vendas que faz com prazo de 90 dias para pagar. Qual a taxa efetiva mensal de juros simples cobrada pela loja?
13-Em 1988, o banco A chegou a pagar o equivalente a R$ 4.200,00 para aplicações de R$ 1.000,00 pelo prazo de um ano. Na data da aplicação, o investidor, além do preço ajustado, recolhia 9% de IR sobre a diferença entre o valor final e o valor aplicado. Qual a taxa nominal e qual a taxa efetiva que o negócio proporcionava em um ano ?
14-Um capital de R$500,00 ficou aplicado durante um ano a juros simples. Inicialmente ficou aplicado a 1,6% a.m., e depois de algum tempo foi somado aos juros e o montante foi aplicado a 3% a.m., rendendo juros de R$ 113,40. Durante quanto tempo ficou aplicado a 1,6%?
15-Uma pessoa tomou um empréstimo de R$2.000,00 para pagar depois de 8 meses o capital mais os juros simples de 4%a.m. Dois meses antes da data marcada para a liquidação da dívida, procurou o credor e propôs um pagamento imediato de R$1.480,00, comprometendo-se a pagar R$1.076,00, dois meses depois e o credor aceitou o acordo.
A) Quanto o devedor devia pagar no final dos oito meses?
B) Feito o acordo, ao efetuar o pagamento de R$1.480,00, quanto ficou devendo se sua dívida foi calculada até aquela data?
C)Que taxa de juros propôs pagar ao mês sobre o saldo devedor remanescente?
16- No ano passado, emprestei R$3.000,00 a um amigo, que me prometeu pagá-los depois de 180 dias com juros simples de 2% a.m. Na data em que deveria saldar a dívida, procurou-me para pedir mais R$ 2.000,00 emprestados, propondo-se a pagá-los juntamente com o montante anterior, com juros de 2,5% a.m., após 60 dias, o que realmente cumpriu. Quanto me pagou?
Exercícios Adicionais
17-O preço de tabela de um fogão é de R$260,00 e a loja A dá um desconto de 5% para o pagamento a vista. O pagamento a prazo prevê uma entrada de 40% e um pagamento de R$160,00 depois de 60 dias. Um comprador interessado dispõe do suficiente para comprá-lo a vista ou poderá comprá-lo a prazo e aplicar o que lhe resta a 4% a.m. Analise, para esse comprador, a opção que melhor lhe convém.
18- Coloquei R$ 20.000,00 a 2,5% a.m., e noutra instituição financeira, coloquei R$ 18.000,00 a 3% a.m. Depois de quanto tempo os montantes serão iguais?
19-Apliquei a terça parte do meu capital em letras de câmbio, que me proporcionaram rendimentos de 28% ao ano. O restante apliquei em caderneta de poupança, que rendeu 31% no mesmo período. Nesse ano meu capital aumentou em R$ 27.000,00. Qual o capital empregado e quanto apliquei em cada investimento?
20-A financiadora A faz empréstimo a juros simples a 10%a.m., e cobra, no ato do financiamento, uma taxa de serviços de 4,5% sobre o valor financiado. A financiadora B cobra juros maiores, de 12% a.m., mas só cobra 1,5% de taxa de serviço, também recolhida antecipadamente:
A)Para empréstimos de um mês, quais as taxas mensais de juros efetivamente cobradas por essas financiadoras?
B)E para empréstimos de seis meses?
C)Estabeleça fórmulas que dão taxas efetivas de juros simples mensais de cada financiadora, para o prazo de n meses.
D)Para empréstimos, com que prazos as taxas efetivas de ambas seriam equivalentes?
21-Uma firma comprou um equipamento cujo preço a vista é R$116.000,00. O contrato de compra estabelece que o pagamento pode ser feito a prazo, em parcelas de qualquer valor, dentro de seis meses, com juros simples de 3% a.m. cobrados apenas sobre o saldo devedor. A firma compradora deu uma parcela de R$50.000,00 no ato da compra, uma de R$40.000,00 após 3 meses e pretende saldar a dívida com a terceira parcela, seis meses após a compra. De quanto será esta última parcela?
22-Tenho um capital de R$200.000,00 disponível e quero aplicá-lo a prazo fixo por dois meses, num banco que me promete rendimentos de 21% a.a. de juros simples. Na data da aplicação são cobrados 15% de IR calculados sobre os rendimentos.
A) Se o IR for cobrado além do capital aplicado de R$ 200.000,00, de quanto devo dispor para fazer essa aplicação?
B) Se só disponho de R$200.000,00 e quero que o IR seja deduzido dessa quantia, de quanto será o valor efetivamente aplicado?
C)Nesse último caso, qual o rendimento bruto e qual o IR?
39
OBS.:Questão de raciocínio idêntico à questão 14 já resolvida, somente com números diferentes. 
23-Um capital de R$700,00 ficou aplicado durante um ano a juros simples. Inicialmente ficou aplicado a 1,9% a.m., e depois de algum tempo foi somado aos juros e o montante foi aplicado a 4% a.m., rendendo juros de R$ 129,02. Durante quanto tempo ficou aplicado a 1,9%?
Revisão de juros simples
24) Uma prestação no valor de R$14.500,00 venceu em 01/03/2013 sendo quitada 15/04/2013, com a taxa de 48% ao ano. Determine os juros simples, em um ano comercial pagos nesta operação.
a) R$800.88
b) R$808,16
c) R$812,00
d) R$858,08
e) R$870,00
25) Qual a taxa equivalente a uma taxa de 3.05% ao mês, juros simples, em 22 dias de aplicação?
a) 0,0224 %
b) 0,224%
c) 2,24%
d) 22,4%
e) 224%
26-Um cliente da loja “Topa Tudo Ltda.” efetuou um pagamento de uma prestação de R$250,00 por R$277,08. Sabendo-se que a taxa de juros simples praticada pela loja foi de 5% ao mês, por quantos dias esta prestação ficou em atraso?
a) 6 dias
b) 7 dias
c) 30 dias
d) 62 dias
e) 65 dias
27) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros? 
28) Comprei o material para a reforma da minha casa,
pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material? 
29) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 
30) Maria Gorgonzola realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada? 
Aula 5- Descontos de títulos de crédito em Juros Simples
Engenharia Econômica e Finanças 
ronaldoleffler@hotmail.com
Título de crédito
É o documento comprobatório de uma dívida. Exemplos de títulos de crédito são a nota promissória, a duplicata, as letras de câmbio, o cheque, a ação, os certificados de depósitos, as cadernetas de poupança, entre outros.
Operação de desconto em títulos de crédito
Alguns títulos de crédito podem sofrer a operação de desconto, que consiste em o portador resgatar o título antes do vencimento, recebendo por ele um valor menor do que aquele que receberia se aguardasse a data de seu vencimento.
Os títulos que podem ser descontados são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.
Esses títulos têm sempre um valor declarado, chamado valor nominal, valor de face ou valor de resgate, que corresponde ao valor que pode ser recebido pelo título na data de vencimento, que também vem ali declarada.
Np- Documento muito comum entre pessoas físicas, podendo também ser emitido por pessoa jurídica ou em favor de uma instituição. O devedor assinando a NP, se declara devedor e se compromete a pagar ao seu credor uma quantia determinada numa data estabelecida. Constam na NP, o valor nominal a ser pago, a data de pagamento, nome e assinatura do devedor ou emitente e o nome do credor ou portador. 
A duplicata é emitida por uma firma ( pessoa jurídica) contra seu cliente (pessoa física ou jurídica) para quem vendeu mercadorias ou prestou serviços a prazo. A emissão da duplicata decorre da emissão de uma nota fiscal. O cliente assina a duplicata dando o seu aceite, isto é, declarando-se devedor daquela quantia e obrigando-se a pagá-la na data estabelecida. Devem constar da duplicata, além do valor nominal e da data de vencimento, os nomes do credor ou emitente e do devedor ou sacado, o aceite deste último e o número da nota fiscal correspondente às mercadorias vendidas ou aos serviços prestados.
A letra de câmbio é emitida por uma empresa, com aceite de uma sociedade de crédito, financiamento e investimento. É colocada no mercado com a finalidade de captar recursos para serem aplicados no próprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais são cobradas taxas de juros maiores do que aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio. Constam na letra de câmbio, além do valor nominal e da data de vencimento, o nome do órgão emitente e o nome do seu titular ou credor.
Resgate antes do vencimento
O portador de um título de crédito pode resgatá-lo antes do seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que procede a operação de desconto. Mas, ao resgatar o título antes do vencimento, o portador não recebe o valor total ali declarado. Esse valor, que é o valor final ou valor nominal (N) do título, sofre um desconto (d) que será tanto maior quanto maior for a antecipação do pagamento em relação à data de vencimento.
A= N-d
O valor recebido pelo portador se diz valor atual do título e representa a diferença entre o valor nominal e o desconto feito. Indicando por A o valor atual, tem-se: A= N-d.
O desconto corresponde, assim, aos juros cobrados pelo banco pela antecipação do pagamento.
Existem duas sistemáticas para se calcular o desconto de um título usando capitalização simples:
A) Desconto comercial
B) Desconto racional.
Desconto Comercial
O desconto comercial, também chamado desconto bancário ou desconto “por fora”, é calculado sobre o valor nominal do título. Supondo que faltam n períodos de tempo para o vencimento do título, de valor nominal N, e que a instituição financeira que vai descontá-lo se utiliza da taxa i de desconto comercial para esse período, tem-se que o desconto comercial (dc) a seguinte expressão: dc=Nin.
Uma vez descontado comercialmente, pode-se determinar o valor atual Ac do título pela diferença:
Ac= N-d ou Ac=N-Nin ou aínda Ac=N(1-in)
15- O portador de uma NP de R$ 60.000,00, necessitando de dinheiro, procurou uma agência bancária, 60 dias antes do vencimento do título, a fim de resgatá-lo. O banco fez o desconto comercial com taxa de 8% a.m.
A) Calcule o valor do desconto feito pelo banco.
B) Determine a quantia recebida pelo portador do título.
A)dc= Nin = 60.000 .0.08.2 = 9.600
B) Ac= N(1-in)= 60.000(1-0,08.2) = 50.400
Outra solução:
Ac= N-dc = 60.000 – 9.600= 50.400
Resposta: 
O desconto foi de R$ 9.600,00
O portador recebeu R$ 50.400,00 pelo título.
Desconto Comercial- Recomendado somente curto prazo.
É o desconto comercial que se utiliza nas instituições comerciais e bancárias, como o próprio nome indica. No entanto, só é costume descontar títulos quando o prazo que antecede o seu vencimento é curto, pois, sendo o desconto comercial calculado sobre o valor nominal do título, se o prazo for longo, o portador poderá receber um valor menor do que o investido no título. É o que se pode observar no próximo exemplo.
16-Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de câmbio, como vencimento para 180 dias e renda fixada em 5% a.m. de juros simples.
A) Calcule o valor nominal do titulo.
B) Se o título for descontado 150 dias antes do vencimento, quanto o investidor receberá por ele, se o desconto for comercial à taxa de 5% a.m.? Analise o resultado.
FV= PV(1+in)= 50.000(1+0,05.6) = 65.000
Ac=N(1-in)= 65.000(1-0,05.5) = 48.750
R.: A) O valor nominal do título é R$ 65.000,00
B) O portador receberá R$48.750,00. O valor recebido é inferior ao valor investido, isto é, o desconto supera a renda prevista pelo investidor porque, embora as taxas sejam iguais, os juros são calculados sobre o valor investido e o desconto é calculado sobre o valor nominal do título.
Em caso de prazos muito longos ou taxas muito altas, o desconto comercial pode ultrapassar até mesmo o valor nominal do título, como se pode ver no exemplo seguinte, o que não tem sentido financeiro.
17- Um título de R$ 10.000,00 vai ser descontado oito meses antes do vencimento num banco que utiliza desconto comercial à taxa de 13% a.m. É possível efetuar esse desconto e calcular o valor atual correspondente? Por que ?
Solução: dc= Nin = 10.000. 0,13. 8= 10.400
R.: Não é possível, pois o desconto ultrapassa o valor nominal do título.
Desconto Comercial
De fato, nesse exemplo temos uma taxa de 13% a.m. durante oito meses, o que equivale, no sistema de capitalização simples, a uma taxa de 104%, que ultrapassa os 100% correspondentes ao valor total do título.
Assim, o prazo n de antecipação para que seja possível o desconto comercial de taxa i é aquele em que o desconto é menor que 100%, isto é, quando se tem: in < 1 ou n= 1/ i
No exemplo anterior, esse prazo seria:
n < 1 / 0,13= 7,69 = 7 meses e 20 dias.
Se faltasse exatamente esse prazo para o vencimento do título, seu portador nada teria a receber.
Desconto Racional
O desconto racional, também chamado desconto real, desconto verdadeiro ou desconto “Por dentro”, é o desconto calculado sobre o valor atual do título.
Supondo que faltam n períodos de tempo para o vencimento do título de valor nominal N e que a instituição financeira que vai descontá-lo se utiliza da taxa i de desconto racional e que seu valor atual é Ar na data do desconto, tem-se para o desconto racional d, a expressão: dr= Ar i n
Na prática, não é possível calcular o desconto racional com essa fórmula, uma vez que o valor atual Ar só é conhecido após o cálculo do desconto.
Substituindo, então, Ar, pelo valor dado em A=N-d, tem-se:
dr= (N – dr)
in ou dr= Nin- dr in, donde:
dr + dr in = Nin ou dr (1+in) = Nin ou aínda:
dr= Nin .
 1+in
Uma vez descontado racionalmente o título, pode-se determinar seu valor atual Ar pela diferença:
Ar= N-d ou Ar=N- Nin = N+Nin – Nin ou, ainda:
 1+in 1+ in 
Ar = N .
 1 + in
A operação de desconto racional pode ser considerada como a operação inversa da capitalização. De fato, comparando as expressões a seguir:
PV= . FV . e Ar= N .
 1+in 1+ in
Vê-se que o valor nominal do título pode ser considerado como seu valor futuro e o valor atual do título pode ser considerado com seu valor presente.
Isso significa que, se uma pessoa investir certo capital em um título que vai proporcionar juros à taxa i, durante certo número de períodos n, e se esse título for descontado racionalmente n períodos antes do vencimento à mesma taxa i, seu portador vai receber, como valor atual, exatamente o mesmo capital aplicado. Por isso são comuns as expressões descontar uma taxa de desconto e descontar com taxa de juros para exprimir as operações de desconto comercial e desconto racional, respectivamente.
18-O emitente de uma NP de R$ 25.600,00, Para daqui a 3 meses, propôs-se a pagá-la imediatamente se seu portador concordasse em calcular seu valor atual por meio de um desconto racional, à taxa de 8% a.m. O credor concordou. Quanto o devedor deverá pagar?
Ar= N = 25.600 = 20.645,16
 1+ in 1+0,08.3
R.: O devedor deverá pagar R$ 20.645,16.
Desconto de títulos e concessão de empréstimos
As operações de desconto de títulos podem ser consideradas como empréstimos concedidos. O valor atual do título corresponde ao empréstimo efetivo, o desconto corresponde aos juros pagos e o valor nominal do título corresponde ao pagamento final para saldar a dívida.
Se o desconto é comercial, o empréstimo equivalente supõe pagamento antecipado dos juros e se o desconto é racional, o empréstimo equivalente supõe pagamento final dos juros.
Os exemplos seguintes esclarecem essa equivalência entre desconto de títulos e concessão de empréstimos. 
19-Um título de R$300.000,00 foi resgatado 2 meses antes do vencimento com taxa de 10% a.m. de desconto comercial.
A)Qual o desconto e qual o valor recebido pelo seu portador?
B) Se essa pessoa, em vez de resgatar o título, tomasse um empréstimo de R$ 300.000,00 por 2 meses para pagar juros antecipados de 10% a.m., quanto pagaria de juros, quanto receberia efetivamente e quanto pagaria no final?
A) N=300.000 dc=Nin= 300.000.0,1.2=60.000
Ac=N-dc= 300.000-60.000= 240.000
B)J=Pin =300.000.0,1.2= 60.000
Valor rec.=300.000-60.000=240.000(empr.efetivo)
Pagamento final= 300.000
Resposta:A) O desconto foi de R$60.000 e o valor recebido pelo portador foi de R$ 240.000,00.
B)Os juros seriam de R$60.000,00(valor do desconto comercial); receberia efetivamente R$240.000,00 (valor atual do título) e pagaria no final R$300.000,00(valor nominal do título).
20-Um título de R$300.000,00 foi resgatado 2 meses antes do vencimento com taxa de 10%a.m. de desconto racional.
A) Qual o desconto e qual o valor recebido pelo seu portador?
B) Se essa pessoa, em vez de resgatar o título, tomasse um empréstimo igual ao valor atual recebido para pagar depois de 2 meses o capital mais os juros de 10% a.m., quanto receberia efetivamente, qual seria o total de juros pagos e de quanto seria o pagamento final?
A)N=300.000 dr= Nin .=300.000.0,1.2=60.000=50.000
 1+in 1+0,1.2 1,2
Ar=N-dr=30.000-50.000=250.000
B)Empréstimo efetivo=250.000
J=Pin=250.000.0,1.2=50.000
Fv=Pv+J=250.000+50.000=300.000(pagamento final)
R.A) O desconto foi de R$50.000 e o portador recebeu R$ 250.000.
B)Receberia efetivamente R$250.000, pagaria R$50.000,00 de juros e o pagamento final seria de R$ 300.000,00.
Equivalência de capitais
No regime de capitalização simples, dois(ou mais) capitais são equivalentes, em certa data, com uma taxa dada, se seus valores calculados nessa data, com essa taxa, forem iguais. A data é chamada data focal ou data de equivalência.
No regime de capitalização simples, se 2 ou mais capitais são equivalentes, é necessário que se declare, além da data focal e da taxa utilizada, o tipo de equivalência, pois se pode tratar de capitais equivalentes com desconto comercial simples ou capitais equivalentes com juros simples ( ou desconto racional simples).
Equivalência de capitais
Se são equivalentes com desconto comercial simples na data 0, com taxa i, essa igualdade pode ser escrita como: N1(1-in1)= N2(1-in2)
Se, nessa mesma data e com essa mesma taxa, são equivalentes com juros simples(ou desconto racional simples), a igualdade será:
 N1 = N2 . São chamadas de equações
 1 + in1 1+ in2 de equivalência.
21-O portador de um título de R$30.000,00 para 60 dias trocou-o por outro de R$ 20.000,00 para 15 dias. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa troca?
N1(1-in1) = N2(1-in2)
30.000(1-i.2) = 20.000(1-i.0,5)
30.000-60.000i = 20.000 – 10.000i
30.000-20.000 = 60.000i – 10.000i
10.000 = 50.000i
10.000/50.000 = i
0,2 = i
R.: A taxa é de 20% a.m.
21-O portador de um título de R$30.000,00 para 60 dias trocou-o por outro de R$ 20.000,00 para 15 dias. Qual foi a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa troca?
22- Se a troca dos títulos do exemplo 21 fosse feita com juros simples ( ou desconto racional simples), qual seria a taxa mensal? 
 N1 .= . N2 .= 30.000 = 20.000 = 0,4
 1+in1 1+in2 1+2i 1+0,5i
30.000+15.000i = 20.000 + 40.000i
30.000-20.000= 40.000i – 15.000i
10.000= 25.000i
10.000/25.000= i
0,4 = i
Resposta: A taxa seria de 40% a.m.
Data focal ou de equivalência posterior à data de disponibilidade do(s) capital(ais)
Neste caso, os valores que serão calculados na data focal serão valores futuros(ou um deles será). No entanto, podem-se estabelecer condições para que sejam equivalentes não só com juros simples (desconto racional simples), mas também com desconto comercial simples.
 A1 .= A2 . Para equivalência com desconto
 1- in1 1- in2 comercial simples; e,
A1(1+in1) = A2 (1 +in2) para equivalência feita com juros simples ou (desconto racional simples)
23-Uma pessoa tinha dois títulos de mesmo valor nominal e vencíveis na mesma data. Precisou de dinheiro e descontou um deles 27 dias antes do vencimento e recebeu R$216.250,00. Está novamente precisando de dinheiro e pensa em descontar o outro, agora que faltam 12 dias para o vencimento. Quanto receberá por ele se a taxa será a mesma, isto é, 0,5% a.m. de desconto comercial simples?
 A1 . = . A2 . = . 216.250 = . A2 .=
 1-in1 1-in2 1-0,005.27 (1-0,005.12)
216.250.(0,94)= (0,865)A2
203.275/(0,865)= A2
235.000=A2.
23-Uma pessoa tinha dois títulos de mesmo valor nominal e vencíveis na mesma data. Precisou de dinheiro e descontou um deles 27 dias antes do vencimento e recebeu R$216.250,00. Está novamente precisando de dinheiro e pensa em descontar o outro, agora que faltam 12 dias para o vencimento. Quanto receberá por ele se a taxa será a mesma, isto é, 0,5% a.m. de desconto comercial simples?
24-Se o desconto feito no exemplo 23 fosse racional, quanto receberia?
A1(1+in1)=A2(1+in2)
 216.250(1+0,005.27) = A2(1+0,005.12)
216.250.(1.135)= 1,06 .A2
245443,75 = A2
 1,06
231.550,71= A2
Resposta: receberia R$ 231.550,71.
No regime de capitalização simples, ao se estabelecer, com uma taxa dada, uma equivalência entre dois(ou mais)capitais, a data focal deve ser bem determinada, pois dois capitais diferentes, equivalentes numa data, não o serão em outra data.
25- Com uma taxa de 10% a.m. de desconto comercial simples, mostre que o título de R$70.000,00 para daqui a 2 meses e
o de R$80.000,00 para daqui a 3 meses são equivalentes hoje, mas não o serão daqui a um mês.
Hoje: A1=70.000(1- 0,10.2)= 56.000
 A2=80.000(1- 0,10.3)=56.000 são equivalentes
Daqui a um mês:
A1= 70.000(1- 0,10. 1)=63.000
A2=80.000(1-0,10. 2)=64.000 Não são equivalentes.
26-Com a taxa de 8% a.m.de desconto racional simples, mostre que o título de R$3.480,00 para daqui a três meses e o de R$3.960,00 para daqui a cinco meses não são equivalentes hoje, mas o serão daqui a um mês.
Hoje:A1= 3.480 . =2.806,45
 1+0,08.3
 A2= 3.960 = 2.828.57
 1+0,08.5 Não são equivalentes
Daqui a um mês:
A1= 3.480 = 3.000
 1+0,08.2
A2= 3.960 = 3.000
 1+0,08.4 São equivalentes
 
O que pode acontecer:
que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento;
que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.
Descontar um Título
Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.
As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las é chamado descontar um título.
Nomenclatura
dia do vencimento é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação;
valor nominal N (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento);
valor atual A é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento: A = N - d
tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro.
DESCONTO d é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual, isto é : d = N - A.
Desconto Comercial 
 x Desconto Racional
O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.
Desconto Bancário
Exercício 1
Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
	a . o valor do desconto comercial
	b . o valor atual comercial 
Solução
N = 60.000,00	i = 2,1% a.m.	 n = 45 dias
d = N i n = 60.000 x 0,021 x 1,5 = R$ 1.890,00
A = N – d = 60.000 – 1.890 = R$ 58.110,00
Na HP-12C, teríamos:
 
 .... Coloca N em PV
 .... Passa a taxa i para anos, com sinal trocado.
 
 .... Passa n para anos
 .... Encontra o valor atual A (Desconto é o contrário)
 .... Calcula o desconto d
Exercício 2
Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. 
Solução
N = 6.900,00	A = 6.072,00	i = 4% a.m.
d = N – A = N i n  (6.900 – 6.072) = 6.900 x 0,04 x n
n = 
III.2.2 – Desconto Racional
	Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
	Sejam d’ o desconto racional e A’ o valor atual racional, então[1]
[1] Sempre que o desconto não for explicitado, deve-se subentender “desconto comercial”
Exercício 1
. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine:
a . o valor do desconto racional
b . o valor atual racional 
Exercício 1 - Solução
N = R$ 60.000,00
i = 2,1% a .m. = 0,021 a . m.
n = 45 dias = 1,5 meses
d = N i n = 60.000 0,021 1,5 = 1.890,00 
 
 1.832,28
A’ = N – d´ = R$ 58.167,72
Exercício 1 – Solução cont.
Na HP-12C, temos
 
 
 ... passa i para ano com sinal trocado para desconto comercial
 ... passa n para ano
 	 
 ... calcula o valor atual comercial A = - 58.110,00
 
 ... calcula o desconto comercial d = 1.890,00
 
 
 
 ... acha o d´ = 1832.28
 ...acha o valor atual racional A´ = 58.167,72
Exercício 1 – Solução cont.
Observe que o valor atual racional A´ é maior que o valor atual comercial A (A´ > A), por isso o comércio e os bancos preferem o A comercial (pagam um valor menor pelo título).
A título de curiosidade, vejamos os estados da pilha operacional da HP - 12C durante estes cálculos:
Exercício 2
Uma duplicata de R$ 120.000,00 foi descontada por R$ 104.640,00, 4 meses antes do vencimento. Calcular a taxa de desconto racional. 
SOLUÇÃO
N = R$ 120.000,00
A’ = R$ 104.640,00 d= N- A d’= A’ i n 
n = 4 meses d=N-A = d’= 104.640,00 i 4
i = ? 120.000 - 104.640 = 104.640,00 i 4
15.360,00 = 104.640,00 i 4
 
i = 0,0367 ou 3,67%
Encargos Financeiros
As operações de desconto de títulos praticadas pelos bancos comerciais costumam apresentar os seguintes encargos financeiros, os quais são geralmente cobrados sobre o valor nominal do título e pagos à vista (descontados no momento da liberação dos recursos).
Taxa de desconto – segue as características já estudadas
IOF – Imposto sobre Operações Financeiras – Identicamente à taxa de desconto, este percentual é calculado linearmente sobre o valor nominal do título e cobrado no ato da liberação dos recursos.
Taxa Administrativa – cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras visando cobrir certas despesas de abertura, concessão e controle do crédito. É calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e descontada na liberação do recurso.
Exercícios Propostos
1. Uma duplicata de R$ 230.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 191.360,00. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4,5% ao mês. Resp: 3 meses e 22 dias
2. Calcular o valor nominal de um título com vencimento para 3 meses, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 4% ao mês, é de R$ 3.034,29. Resp:- R$ 236.000,00
3. Calcular o tempo de antecipação do resgate de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é seis vezes o do desconto comercial, a 5% ao mês. Resp:- 3 meses e 10 dias.
4. Duas promissórias, uma de R$ 50.000,00, vencível em 90 dias e outra de R$ 90.000,00, vencível em 150 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, a ser efetuado dentro de 60 dias. Qual é o valor desse resgate à taxa de desconto
comercial de 3,5% ao mês? Resp:- R$ 128.800,00
5. Uma empresa descontou dois títulos num banco. Um de R$ 240.000,00 para 90 dias e outro de R$ 160.000,00 para 180 dias. Desejando substituí-los por um título único, com vencimento para 60 dias, calcular o valor nominal deste último, supondo que permaneça inalterada a taxa de desconto (comercial) de 3,5% ao mês. Resp:- R$ 366.881,72.
6. Uma empresa tem três títulos descontados num banco com valores de R$ 50.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 70.000,00,a vencerem respectivamente em 90, 150 e 180 dias. Desejando substituí-los por dois outros de valores nominais iguais, para 60 e 120 dias, calcular o valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto comercial é de 3,5% ao mês para todas as transações. Resp:- R$ 138.854,75
7. Três títulos cujos valores são: R$ 230.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 140.000,00, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, respectivamente, foram substituídos por dois outros de R$ 300.000,00 cada um, vencíveis em 120 e 180 dias. Calcular a taxa de desconto comercial, supondo que seja a mesma para toda a transação. Resp:- 2,51% ao mês.
Questões de concurso
08) (AF-CE/ESAF/1998) Qual o valor hoje de um título de valor nominal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ano, considerando um desconto simples comercial?
a) R$ 19.200,00 b) R$ 20.000,00 c) R$ 20.400,00 d) R$ 21.000,00 e) R$ 21.600,00 
09) (AFTN/ESAF/1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.
a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600,00 
10) (FISCAL-SC/1998) O valor nominal de um título de crédito descontado quatro meses e meio antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% ao ano que sofreu um desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale:
a) R$ 100.000,00 b) R$ 10.000,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 30.000,00