Aula 3

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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Risco e otimização de carteiras
Peng Yaohao
Universidade de Braśılia
Peng Yaohao (peng.yaohao@gmail.com) Risco e otimização de carteiras
Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Tópicos da aula
1 Risco e retorno
2 Portfolios e diversificação do risco
3 Portfolios eficientes e de mercado
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Risco
O mundo não é um lugar perfeito... É um lugar cheio de
incertezas.
O futuro é uma variável aleatória
Variável aleatória
Etimologicamente, Variável aleatória é uma:
Variável: Possui um valor desconhecido
Aleatória: Pode possuir valores diferentes, com diferentes
probabilidades
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Risco e retorno
Lembre-se da motivação de um agente econômico: maximizar o
retorno e minimizar o risco
Ao correr riscos maiores, o investidor irá exigir ńıveis maiores
de retorno para compensar a incerteza adicional
A remuneração pela incerteza é chamada de prêmio pelo
risco
Ao mesmo ńıvel de risco, a remuneração exigida depende do
grau de aversão ao risco do agente econômico
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Mensurando retorno
O RETORNO É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA!
As variações históricas no preço de mercado de um ativo
definem seu retorno realizado
Variações futuras são incertas – há uma probabilidade para
que o padrão histórico do ativo não se repita
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Risco e retorno
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Portfolios eficientes e de mercado
Mensurando retorno
O retorno esperado no futuro é dado pelo valor esperado do
retorno
Valor esperado
Operador que fornece a média de uma variável aleatória ponderada
pelas probabilidades de ocorrência
E[X] =
∑
Ω
P(X = ω) · ω
onde Ω é o conjunto (espaço amostral) de todos os resultados ω
que a variável aleatória X pode assumir
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Risco e retorno
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Portfolios eficientes e de mercado
Retorno esperado de uma carteira
Algebricamente, o valor esperado da soma de duas variáveis
aleatórias é dada por:
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Se k é uma constante real, E(kX) = k · E(X)
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Risco e retorno
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Portfolios eficientes e de mercado
Retorno esperado
Quanto maior é o retorno esperado, mais vantajoso é o
investimento
Exemplo 3.01
Calcule o retorno esperado dos seguintes ativos:
Economia Probabilidade rx1 rx2 rx3
Recessão 16 3% 0.4% −15%
Constante 34 4.5% 7.3% 10%
Expansão 112 8% 14% 38%
Sob neutralidade ao risco, qual ação é a mais vantajosa?
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Estimando o retorno esperado
Na prática, as probabilidades dos estados e o payoff em cada
estado não é conhecida
Ńıveis de retorno do passado (retornos realizados) são
utilizados para estimar o valor esperado do retorno futuro.
Retornos realizados são dados pela variação percentual dos
ńıveis de preço entre peŕıodos adjacentes:
rt =
Pt − Pt−1
Pt−1
Onde Pt é o preço de mercado do ativo no momento t
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Risco e retorno
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Portfolios eficientes e de mercado
Retorno esperado
Exemplo 3.02
Dados os vetores de preços históricos dos ativos abaixo, calcule os
retornos realizado e esperado de cada um
Peŕıodo Px1 Px2 Px3 Px4
1 R$ 12.00 R$ 25.40 R$ 23.50 R$ 36.50
2 R$ 13.50 R$ 25.40 R$ 24.70 R$ 44.70
3 R$ 14.10 R$ 28.70 R$ 27.00 R$ 53.90
4 R$ 14.60 R$ 28.10 R$ 27.10 R$ 48.30
5 R$ 15.30 R$ 31.80 R$ 29.70 R$ 49.20
6 R$ 13.90 R$ 27.20 R$ 26.10 R$ 51.60
Sob neutralidade ao risco, qual ação é a mais vantajosa?
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Mensurando risco
Como medir o risco (volatilidade)?
Exemplo 3.03
Qual dos projetos abaixo parece ser mais arriscado?
Projeto A: R$ 50 de ganho com 100% de chances
Projeto B: R$ 75 de ganho com 50% de chances e R$ 25 de
ganho com 50% de chances
Projeto C: R$ 500 de ganho com 10% de chances e R$ 0 de
ganho com 90% de chances
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Mensurando risco
Risco reflete incerteza
O projeto A fornece uma certeza (portanto, não há risco)
O projeto B possui o mesmo retorno esperado, mas seus
posśıveis resultados apresentam uma dispersão em relação ao
valor médio
O projeto C apresenta a maior dispersão entre as opções
apresentadas
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Ativo livre de risco
O indiv́ıduo totalmente averso ao risco irá investir apenas no ativo
livre de risco
“Livre de risco” ou “ḿınimo risco”?
Obter rendimentos com o ativo livre de risco é uma
arbitragem?
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Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Mensurando risco e retorno
O operador que mede a dispersão de uma variável aleatória em
relação ao valor esperado é a variância
Variância
V(X) = E[(X − E[X])2]
Para um conjunto com N observações, a variância amostral é dada
por:
V̂(X) =
N∑
i=1
(xi − E[X])2
N − 1
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Portfolios e diversificação do risco
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Mensurando risco e retorno
A variância é uma forma quadrática. Por isso, em geral se usa o
desvio-padrão como medida de risco por ser mensurado na mesma
unidade que a variável aleatória original
d̂p(X) =
√
V̂(X)
Volatilidade em geral se refere ao desvio-padrão do retorno
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Mensurando risco
Exemplo 3.03 (cont.)
Calcule a variância dos seguintes projetos
Projeto A: R$ 50 de ganho com 100% de chances
Projeto B: R$ 75 de ganho com 50% de chances e R$ 25 de
ganho com 50% de chances
Projeto C: R$ 500 de ganho com 10% de chances e R$ 0 de
ganho com 90% de chances
Qual dos projetos é o mais arriscado?
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Variância do retorno
Exemplo 3.02 (cont.)
Dados os vetores de preços históricos dos ativos abaixo, calcule as
variâncias amostrais de cada um
Peŕıodo Px1 Px2 Px3 Px4
1 R$ 12.00 R$ 25.40 R$ 23.50 R$ 36.50
2 R$ 13.50 R$ 25.40 R$ 24.70 R$ 44.70
3 R$ 14.10 R$ 28.70 R$ 27.00 R$ 53.90
4 R$ 14.60 R$ 28.10 R$ 27.10 R$ 48.30
5 R$ 15.30 R$ 31.80 R$ 29.70 R$ 49.20
6 R$ 13.90 R$ 27.20 R$ 26.10 R$ 51.60
Qual ação é a mais arriscada?
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Portfolio
Portfolio
Portfolio(ou “carteira”) é uma combinação de n ativos financeiros:
w1x1 + w2x2 + w3x3 + ...wnxn
onde wi é o percentual (peso) relativo do ativo xi nessa
combinação, tal que w1 + w2 + w3 + ...wn = 1
É posśıvel um peso negativo?
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
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Retorno de um portfolio
Seja um portfolio com dois ativos w1x1 +w2x2, com w1 +w2 = 1,
o retorno dessa carteira será dado por:
rp = w1rx1 + w2rx1
Mas rx1 e rx1 são variáveis aleatórias!
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Retorno esperado de um portfolio
Seja um portfolio com dois ativos w1x1 +w2x2, com w1 +w2 = 1,
o retorno esperado desse portfolio será:
E(rp) = E(w1rx1 + w2rx1) = w1 · E(rx1) + w2 · E(rx2)
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Retorno esperado de um portfolio
Exemplo 3.04
Sejam os seguintes vetores de retornos realizados dos ativos:
Peŕıodo rx1 rx2 rx3 rx4
1 0.02 0.033 0.0282 0.18
2 0.015 −0.019 0.0007 0.114
3 −0.004 0.022 −0.0062 −0.0081
4 0.037 0.093 0 −0.15
5 0.05 −0.011 0.014 0.063
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Portfolios e diversificação do risco
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Retorno esperado de um portfolio
Exemplo 3.04 (cont.)
Com os dados fornecidos, calcule o retorno esperado dos seguintes
portfolios:
0.5x1 + 0.5x2
0.35x1 + 0.65x3
0.4x1 + 0.2x3 + 0.4x4
0.15x1 + 0.2x2 + 0.6x3 + 0.05x4
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
A intuição da diversificação
Um investidor não precisa “colocar todos os ovos na mesma cesta”
De fato, a diversificação permite eliminar parte do risco do
investimento
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Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
A intuição da diversificação
Exemplo 3.05
Suponha que você montou um portfolio investindo em duas
empresas: um produtor de trigo e uma pizzaria. Quais são os
potenciais riscos que você está correndo nesse investimento?
Risco do agricultor: condições climáticas, surto de insetos,
impostos adicionais, aumento nas importações...
Risco do restaurante: concorrentes, localização geográfica,
inspeção sanitária, qualidade do atendimento...
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Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
A intuição da diversificação
Exemplo 3.05 (cont.)
Em um portfolio, há um componente adicional de risco conjunto
oriundo das potenciais associações entre as diferentes empresas
Risco conjunto: um choque na oferta de trigo poderia
aumentar os custos de produção da pizzaria (“efeito
contágio”)
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Portfolios e diversificação do risco
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Diversificação do risco
Exemplo 3.06
Avalie as seguintes carteiras. Quais parecem diversificar bem o
risco?
Banco do Brasil e Santander
JBS e Marfrig
Ambev e Lojas Americanas
Suzano e Embraer
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Portfolios eficientes e de mercado
Mensurando associação entre ativos do portfolio
Em geral o grau de associação entre os ativos do portfolio é
mensurado pela covariância
Covariância
cov(X,Y ) = E[XY ]− E[X] · E[Y ]
Note que cov(X,X) = V(X)
Para um conjunto com N observações, a covariância amostral é
dada por:
ĉov(X,Y ) =
N∑
i=1
(xi − E[X]) · (yi − E[Y ])
N − 1
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Covariância
Exemplo 3.04 (cont.)
Peŕıodo rx1 rx2 rx3 rx4
1 0.02 0.033 0.0282 0.18
2 0.015 −0.019 0.0007 0.114
3 −0.004 0.022 −0.0062 −0.0081
4 0.037 0.093 0 −0.15
5 0.05 −0.011 0.014 0.063
Com os vetores fornecidos dos retornos realizados, calcule a matriz
de covariância dos ativos:
Note que a matriz de covariância é simétrica
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Mensurando associação entre ativos do portfolio
O contradoḿınio do operador de covariância é (−∞,+∞)
Isso dificulta a interpretação do resultado
Um equivalente à covariância é a correlação, cujo
contradoḿınio é [−1,+1]
Correlação
corr(X,Y ) =
cov(X,Y )√
V(X)V(Y )
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Portfolios eficientes e de mercado
Correlação
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Portfolios eficientes e de mercado
Risco conjunto
Algebricamente, a variância da soma de duas variáveis aleatórias é
dada por:
V(X + Y ) = V(X) + V(Y ) + 2 · cov(X,V )
Lembre-se que, se k é uma constante real, V(kX) = k2 ·V(X)
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Risco do retorno de um portfolio
Assim, a variância do retorno de um portfolio com dois ativos será:
V(w1rx1+w2rx2) = w21 ·V(rx1)+w22 ·V(rx2)+2·w1·w2·cov(rx1 , rx2)
Note que a variância da soma não é a soma das variâncias!
Tenha em mente que a variância é uma forma quadrática!
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Risco e retorno de um portfolio
Exemplo 3.04 (cont.)
Usando os dados anteriores, calcule a volatilidade dos seguintes
portfolios:
0.5x1 + 0.5x2
0.35x1 + 0.65x3
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Portfolios com mais de dois ativos
Para portfolios com mais de dois ativos, o cálculo do retorno
esperado e da variância do retorno é análogo:
A esperança e a covariância são operadores lineares (k · x)
A variância é uma forma quadrática (kT · X · k)
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Portfolios com três ativos
Exemplo 3.07
Forneça a expressão genérica para o valor esperado e para a
variância do retorno de um portfolio com três ativos
w1x1 + w2x2 + w3x3
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Portfolios com n ativos
Exemplo 3.08
Forneça a expressão genérica para o valor esperado e para a
variância do retorno de um portfolio com n ativos
w1x1 + w2x2 + w3x3 + ...wnxn
E(rp) =
n∑
i=1
wi · rxi
V(rp) =
n∑
i=1
n∑
j=1
[
wi · wj · cov(rxi , rxj )
]
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Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Risco e retorno de um portfolio
Exemplo 3.04 (cont.)
Usando os dados anteriores, calcule a volatilidade dos seguintes
portfolios:
0.4x1 + 0.2x3 + 0.4x4
0.15x1 + 0.2x2 + 0.6x3 + 0.05x4
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Risco e retorno
Portfoliose diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Diversificação do risco
Pela expressão genérica da variância do retorno de um portfolio, é
fácil ver que o ńıvel de risco irá diminuir ao se investir em ativos
que possuam baixo grau de associação (covariância)
O risco de um portfolio é máximo quando se escolhe ativos
perfeitamente positivamente correlacionados
O portfolio se torna progressivamente menos arriscado ao se
escolher ativos menos correlacionados
O risco do portfolio se reduz a zero caso os ativos sejam
perfeitamente negativamente correlacionados (covariância
ḿınima)
Mas ativos negativamente correlacionados são raros na vida
real!
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Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Covariância vs correlação
Correlação é uma métrica mais fácil de se interpretar que a
covariância, porém ignora a escala dos investimentos
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Portfolios eficientes e de mercado
Covariância vs correlação
Exemplo 3.09
Considere os seguintes dados históricos
Peŕıodo rx1 rx2 rx3
1 0.2631 −0.2124 −0.1027
2 0.0446 −0.4336 −0.037
3 0.0706 0.1208 0.4785
4 −0.0154 0.3012 0.1348
5 0.3411 0.2430 0.1046
6 0.2026 0.6584 0.0772
7 0.3101 0.3811 0.3905
8 0.2700 0.7624 −0.2028
9 0.1953 0.1701 2.9681
10 −0.1014 −0.2120 −0.5109
11 −0.1304 0.4231 −0.3484
12 −0.2337 −0.3570 −0.0808
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Covariância vs correlação
Exemplo 3.09 (cont.)
Calcule a covariância e a correlação entre os ativos
Qual dos portfolios é o menos arriscado: 0.5x1 + 0.5x2 ou
0.5x1 + 0.5x3?
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Beta
O beta é uma medida da contribuição de um ativo individual para
o risco do portfolio
Beta
O beta do ativo xi em relação a um portfolio p é dado por:
βi,p =
ĉov(rxi , rp)
V̂(rp)
Note que βi,p 6= βp,i!
β é o estimador de ḿınimos quadrados de uma regressão
linear simples
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Beta
Correlação é uma métrica mais fácil de se interpretar que a
covariância, porém ignora a escala dos investimentos
Exemplo 3.09 (cont.)
Calcule βx1,x2 e βx1,x3 e interprete os resultados comparando os
portfolios 0.5x1 + 0.5x2 e 0.5x1 + 0.5x3
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Os limites da diversificação
Exemplo 3.10
Compare o valor esperado e a variância de portfolios igualmente
ponderados entre n ativos não-correlacionados com retornos
esperados iguais a 10% e variância do retorno iguais a 25% para:
n = 2
n = 3
n = 10
n = 100
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Portfolios e diversificação do risco
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Diversificação do risco
É posśıvel eliminar todo o risco de uma carteira?
Existe algum risco que não é diversificável?
Existe algum fator que possui correlação positiva com todos
os ativos do mercado financeiro?
O que os ativos transacionados no mercado financeiro têm em
comum?
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Risco de mercado
Todos os ativos estão sujeitos às flutuações do próprio mercado, o
que já traz consigo um risco não-diversificável
Esse risco é conhecido como risco sistemático
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Portfolios eficientes e de mercado
Risco sistemático e idiossincrático
O risco que pode ser eliminado via diversificação é o risco
espećıfico associado às particularidades de cada ativo individual,
conhecido como risco idiossincrático
À medida que o número de ativos num portfolio cresce, o
risco idiossincrático tende a zero.
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Risco sistemático e idiossincrático
Exemplo 3.11
As situações listadas abaixo representam risco sistemático ou
idiossincrático?
Escândalo de corrupção do presidente da empresa
Escândalo de corrupção do presidente da república
Lote de produtos defeituosos
Aumento no preço do petróleo
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Prêmio pelo risco idiossincrático
Prêmio pelo risco é a remuneração pela incerteza
ATENÇÃO!
O prêmio pelo risco idiossincrático é zero!
Por que?
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Prêmio pelo risco de mercado
O ativo livre de risco (risk-free asset) garante um retorno rf sem
riscos
Logo, o prêmio pelo risco adicional arcado pelo investidor do
ativo/portfolio xi será:
E[rxi ]− rf
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Portfolios eficientes
Um investidor racional (maximizador do retorno e minimizador do
risco) não possui incentivos para deter uma carteira que possui
risco idiossincrático, e portanto sempre irá escolher carteiras
eficientes
Portfolio eficiente
Portfolio no qual não é posśıvel aumentar o retorno esperado sem
aumentar o ńıvel de risco esperado
A curva formada pelas carteiras eficientes é chamada de
fronteira eficiente
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Portfolios eficientes
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Portfolios eficientes e de mercado
Portfolios e aversão ao risco
Um investidor totalmente avesso ao risco pode ser considerado
racional?
Sim!
Logo, investir só no ativo livre de risco é uma decisão
igualmente racional
Uma carteira composta por uma carteira eficiente e um
ativo livre de risco é uma decisão racional!
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Portfolios e aversão ao risco
Qual reta parece ser a melhor?
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Qual reta parece ser a melhor?
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Qual reta parece ser a melhor?
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Portfolio de mercado
A métrica mais usada para avaliar o trade-off entre risco e retorno
de um portfolio é o Índice de Sharpe
E[rp]− rf
d̂p(rp)
Dado um ńıvel de risco qualquer, busca-se o portfolio com
maior retorno esperado quando combinadocom o ativo livre
de risco
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Portfolio de mercado
O portfolio eficiente com maior ı́ndice de Sharpe é chamado
de portfolio de mercado (ou “portfolio tangente”)
Na presença de um ativo livre de risco, todos os agentes
econômicos do mercado financeiro deveriam escolher esse
portfolio
O portfolio de mercado possui uma intuição teórica clara, mas
é dif́ıcil de se identificar na prática
Peng Yaohao (peng.yaohao@gmail.com) Risco e otimização de carteiras
Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Capital Market Line
As combinações lineares entre o portfolio de mercado e o ativo
livre de risco definem o Capital Market Line
E[rp] = rf +
E[rm]− rf
d̂p(rm)
· d̂p(rp)
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Risco e retorno
Portfolios e diversificação do risco
Portfolios eficientes e de mercado
Capital Market Line
Combinações do ativo livre de risco com a carteira tangente
fornecem o melhor tradeoff posśıvel entre risco e retorno
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Capital Market Line
Exemplo 3.12
Demonstre que o ı́ndice de Sharpe do portfolio de mercado é o
coeficiente angular do Capital Market Line
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