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Institucionais das Exatas – Geometria Analítica e Álgebra Linear – Prof.ª Patrícia Grudzinski da Silva
DETERMINANTES
	
REGRA DE SARRUS
COFATOR
TEOREMA DE LAPLACE
O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.
Ilustração algébrica:
Vejamos um exemplo:
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace
Exercícios:
1) Resolva, pela regra de Sarrus, os seguintes determinantes:
		
 
 
2) Determine os cofatores dos elementos A11, A22, A33 da matriz .
 
3) Resolva, pelo teorema de Laplace, os seguintes determinantes:
SISTEMAS LINEARES
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN OU ESCALONAMENTO
É um método de escalonamento que consiste em aplicar operações elementares à matriz aumentada de um sistema, até que ela esteja na forma escalonada reduzida. A vantagem deste processo é que um sistema cuja matriz aumentada é uma matriz na forma escalonada reduzida tem solução imediata, enquanto que para resolver um sistema que está apenas na forma escalonada ainda é necessário fazer uma série de substituições para obter a solução final.
Definição: Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as seguintes condições:
1. O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula (chamado o pivô da linha) é igual a 1.
2. O pivô da linha i + 1 ocorre à direita do pivô da linha i.
3. Se uma coluna contém um pivô, então todas os outros elementos desta coluna são iguais a 0.
4. Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não-nulas.
Exemplo de matriz escalonada reduzida:
	Neste caso, podemos apresentar a solução diretamente, ou seja, .
Considere este outro exemplo, onde tornaremos a matriz na forma escalonada:
Vamos agora resolvê-lo, escrevendo uma matriz associada ao sistema, onde cada uma das linhas corresponderá a uma das equações. Teremos, portanto, uma matriz com 3 linhas. Cada coeficiente da primeira equação corresponderá ordenadamente a uma entrada da primeira linha. O termo independente será a quarta entrada desta primeira linha. Ela terá 4 entradas. Assim, faremos com as demais linhas. Teremos, portanto, uma matriz 3 X 4 associada ao sistema, chamada matriz aumentada. Observe:
 
Observação: A matriz acima se chama aumentada para se distinguir da matriz
que é conhecida como matriz dos coeficientes do sistema. Utilizaremos na sequência, as duas matrizes que não podem ser confundidas.
A maneira que utilizaremos para resolver este sistema não é muito diferente da que utilizamos até aqui para encontrar a matriz inversa e determinante de matriz . Vamos operar nas linhas da matriz da seguinte maneira: inicialmente, multiplicando a primeira linha por -2 e adicionamos à segunda. 
Em seguida, multiplicamos a primeira linha por -3 e adicionamos à terceira. Não alteramos as demais entradas
Continuando multiplicamos a segunda linha por para obtermos o pivô 1. Não alteramos as demais entradas. Observe:
E, finalmente, realizamos a operação para modificar a terceira linha e eliminar duas variáveis, que é: 
Secretamente, sabemos que as 3 primeiras entradas das linhas da matriz correspondem respectivamente aos coeficientes de x, y, z. Podemos, portanto, ler o valor de z na última linha: A segunda linha representa a equação: . Como z = 3 obtemos . Levando estes valores na equação correspondente à primeira linha temos: .
Discussão dos Sistemas Lineares
	Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando a classificá-lo segunda a definição: dizemos que um sistema linear S é incompatível se S não admite nenhuma solução. Um sistema linear que admite uma única solução é chamado compatível determinado. Se um sistema linear S admitir mais do que uma solução então ele recebe o nome de compatível indeterminado.
	Para resolver, faremos como já visto acima, o escalonamento e, retiradas as equações do tipo 0 = 0, restam p equações com n incógnitas.
Se a última das equações restantes é então o sistema é incompatível;
Caso contrário, sobram duas alternativas:
Se p = n o sistema é compatível determinado;
Se p < n, então o sistema é compatível indeterminado. 
Exemplos:
 1) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:
a) 
b) 
c) 
2) O diretor de uma empresa, o Sr. Antônio, convocou todos os seus engenheiros, civis, elétricos e mecânicos para uma reunião. Com a chegada do Sr. Antônio à sala de reuniões, o número total de engenheiros civis, elétricos e mecânicos presentes na sala é 9. Caso, tivéssemos o dobro de engenheiros civis somado ao número de engenheiros elétricos, e subtraíssemos do número de engenheiros mecânicos, resultaria 8. E, se do número de engenheiros civis fosse subtraído o triplo do número de engenheiros elétricos e somado ao número dos engenheiros mecânicos, resultaria 5. Quantos engenheiros de cada área esta empresa possui?
3) Uma editora publica um best-seller em potencial com três encadernações diferentes: capa mole, capa dura e encadernação de luxo. Cada exemplar de capa mole necessita de 1 minuto para a costura e de 2 minutos para a cola. Cada exemplar de capa dura necessita de 2 minutos para a costura e de 4 minutos para a cola. Cada exemplar com encadernação de luxo necessita de 3 minutos para a costura e de 5 minutos para a cola. Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local onde se cola fica disponível 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?
Exercícios:
Uma empresa que presta serviços de engenharia civil tem três tipos de contentores I, II e III, que carregam cargas, em três tipos de recipientes A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado pelo quadro:
	Tipo de recipiente
	A
	B
	C
	I
	4
	3
	4
	II
	4
	2
	3
	III
	2
	2
	2
Quantos contentores x, y e z de cada tipo I, II, III são necessários se a empresa necessita transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C?
Na França, três destes turistas trocaram por euros (€), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e reais, da seguinte forma: 
⇒ 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 100 reais por 108,5 €. 
⇒ 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 200 reais por 152,2 €. 
⇒ 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 300 reais por 165,9 €. Calcule o valor de uma libra, em euros, no dia em que os turistas efetuaram a transação.
3) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:
ESPAÇO VETORIAL
	Sabemos que para um conjunto ser espaço vetorial existem algumas condições, propriedades da definição. Logo, resolva cada exercício abaixo verificando se as condições, propriedades da definição são válidas.
Exemplos:
1) é um espaço vetorial trivial.
, com as operações:
 é um espaço vetorial?
1– 
2 – 
3 – 
4 – 
5 – 
6 – 
7- 
8 - 
COMBINAÇÃO LINEAR
É escrever um vetor em função de outros vetores, que foram multiplicados por um escalar e, somados posteriormente.
ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS
Definição: Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe S contido em V, finito de maneira que V = [S]. Onde S representa um conjunto de vetores. Exs.: 
Obs.: 
[S]: Conjunto formado por uma combinação linear de S,
S: Conjunto Gerador de V.
DEPENDÊNCIA LINEAR
Definição: Dizemos que um conjunto em V, onde V é um espaço vetorial, é Linearmente Independente (LI), se, e somente se, uma igualdade do tipo:
, (1)
com os , só for possível para , ou seja, todos os escalares são iguais a ZERO.
Se for possível encontrar a igualdade sem que todos os escalares forem nulos, iguais a zero, diz-se que o conjunto U é Linearmente Dependente (LD).
BASE
Definição: Um conjunto V é uma base do espaço vetorial V se:
1. B é L.I.2. B gera V.
Teorema: Se for uma base de um espaço vetorial V, então todo o conjunto com mais de n vetores será linearmente dependente. 
Corolário: Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem o mesmo número de vetores
VETORES
1) Operações com Vetores:
Adição: Seja 
Ex.: Considere 
Multiplicação de um vetor por um número real (escalar): Seja e K ∈ ℜ 
Ex.: Considere 
Produto escalar: Seja 
Ex.: Considere . Calcule e classifique o ângulo formado entre eles.
Obs.: Serve para classificar o ângulo que é formado pelos vetores dados. 
O ângulo será classificado como:
Agudo, se o produto for maior que 0; 
Obtuso, se o produto for menor que 0;
Reto, se o produto for igual a 0.
Produto vetorial: . É calculado utilizando determinante de uma matriz.
Ex.: Considere Determine o produto vetorial de .
2) Projeção de Vetores:
É a projeção de vetor sobre o vetor .
3) Paralelismo entre Vetores: Dois vetores são paralelos se possuem a mesma direção, isto é, se existe k ∈ ℜ, tal que 
Ex: e 
Portanto, como os valores deram iguais, u e v são paralelos. 
4) Perpendicularismo entre Vetores: Dois vetores são considerados perpendiculares (formam um ângulo de 90°), se o produto escalar entre eles for igual a zero (0), ou seja, 
Exercícios:
1) Considere os seguintes vetores Calcule:
a) 
b) 
c) 
2) Seja Determine:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3) Considere Determine:
a) 
b) 
c) 
4) Seja Verifique se estes vetores são paralelos.
5) Determinar o vetor , paralelo ao vetor 
6) Determinar o vetor , paralelo ao vetor 
Vetores e Aplicações:
Representação Gráfica de um vetor:
Representado por um ponto: A origem do vetor é o ponto (0,0) e a extremidade será o ponto descrito.
Representado por dois pontos: Sejam pontos que definem um vetor , tal que . Portanto, A será o ponto de origem do vetor e B, a extremidade.
Módulo ou Comprimento de um vetor:
Seja , seu módulo será: 
Ângulo entre os vetores: 
Área do Paralelogramo:
Produto vetorial entre o vetor comprimento e o vetor largura.
 
Área do Triângulo:
Área do Paralelogramo dividido por 2, ou seja,
Volume do Paralelepípedo: É o módulo do produto misto (ou determinante), entre os 3 vetores que representam as 3 dimensões do paralelepípedo, ou seja, comprimento, largura e profundidade.
Volume do Tetraedro: 
Volume do paralelepípedo dividido por 6, ou seja,
Equação Geral da Reta: Outra aplicação de determinante, pois através do determinante, encontra-se a equação geral da reta. Veremos isso, mais adiante.
Exercícios:
Dados os pontos A(-1,1), B(3,-2), C(2,3) e D(1,-2). Pergunta-se:
Os vetores são perpendiculares?
Os vetores são paralelos?
Calcule e 
Seja Os vetores são paralelos? E perpendiculares?
Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores .
Verifique que o triângulo cujo vértices são A(3,3), B(0,1) e C(1,6) é retângulo em A.
Calcular o ângulo entre os vetores 
Determinar a e b de modo que os vetores sejam paralelos. 
Dados os vetores, , determinar os valores de x para que o vetor seja ortogonal (perpendicular) ao vetor . 
Provar que os pontos a(5,1,5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são vértices de um triângulo retângulo. Resp.: Provar com o produto escalar. O triângulo ABC é retângulo.
Calcule a área do paralelogramo determinado por , onde A(3,2,1), B(0,-2,4) e C(4,1,2). 
E utilizando os mesmos pontos da questão 8, calcule a área do triângulo cujos vértices são A, B e C. 
Dadas as coordenadas, x = 4, y = –12, de um vetor do 3, calcular sua terceira coordenada z, de maneira que = 13. Resp.: z = 3
Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). Resp.: –1 ou 
Determinar o vetor , paralelo ao vetor ao vetor , ou seja, e tal que , onde Resp.: 
Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH como na figura a seguir, onde: A = (1, 2, 0), B = (0, 1, 2), D = (1, 1, 3) e E = (2, 3, 5). 
R: 7 u.v.
 
Sejam os vetores . Determinar o volume do paralelepípedo definido por . 
R: V = 44 u.v.
São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores . 
R: m = 6 ou m = 2
Dados os vetores , calcule x para que o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores seja igual a 24. 
R: x = 4 ou x = -44
Calcule o volume do tetraedro de vértices A(1,2,1), B(7,4,3), C(4,6,2) e D(3,3,3).
R: 4 u.v.
GEOMETRIA ANALÍTICA – RETA
 
Exercícios:
Calcular as coordenadas do ponto de intersecção da reta com a reta que passa pelo ponto (2,8) e é perpendicular à primeira.
Dadas as equações das retas , determinar o valor de k de tal maneira que as retas sejam:
a) paralelas
b) perpendiculares
Determine a distância entre as retas de equações .
Determine as equações cartesianas da reta definida pelos pontos: 
A (1, 5) e B (2, 7). 
C (3, 2) e D (-3, 1).
Dada a equação da reta , calcular “m” de modo que essa equação represente uma reta que passa:
Pela origem;
Pelo ponto (-1, 7).
Achar a equação da reta que passa pelo ponto (3, -4) e pelo ponto de intersecção das retas .
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA
Considere uma reta s qualquer do plano de equação . Para obtenção da equação segmentária da reta s basta dividir toda a equação por c, obtendo:
Que é a equação na forma segmentária da reta s.
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta e as coordenadas dos pontos de interseção da reta com os eixos do plano. 
Solução: Para determinar a forma segmentária da equação da reta t devemos isolar o termo independente c. Assim, teremos: 
Dividindo toda igualdade por 28, obtemos:
Que é a equação segmentária da reta t.
 Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de interseção da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x na equação segmentária é abscissa do ponto de intercessão da reta com o eixo x, e o termo que divide y é abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo y. Assim:
(4, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo x.
(0, 2) é o ponto de interseção da reta com o eixo y.
Exercícios:
1) Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é: 
2) Determinar a equação segmentária da reta que passa por P(-9, 0) e Q(0, 6). 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
	Definição: Equacionar as variáveis x e y (2 dimensões do plano cartesiano) para um parâmetro apenas, no caso, a variável t, por isso, o nome paramétricas.
Para definir estas equações paramétricas da reta, basta termos um ponto que pertence a essa reta e um vetor diretor (o qual, indica a direção desta reta).
Seja = (a, b) e A (). Assim, as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e tem a direção do vetor , é:
Obs.: Neste caso é chamado vetor diretor da reta.
Ex.: Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1,-4) e tem vetor diretor 
A reta que passa pelo ponto A(1, -4) é paralela ao vetor 
, onde P(x,y), assim teremos:
Ou, pela definição, substituindo pelos valores que constam no exercício, teremos: 
Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações, assim: 
Substituindo esse valor na segunda equação, teremos:
 
Exercícios:
1) Determine a equação paramétrica da reta definida pelos pontos (1, -4) e (3, 5).
2) Escreva as equações paramétricas da reta que:
a) contém o ponto (-1,1) e tem a direção do vetor (-6,11).
b) contém os pontos A(-4, 5) e B(-7, 1).
3) Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do tempo t, são:
 
Qual a equação segmentária dessa trajetória,represente o seu gráfico?
EQUAÇÃO GERAL OU CARTESIANA DO PLANO
	É a equação do plano que passa pelo ponto e tem vetor perpendicular 
	Seja , então a equação cartesiana do plano é dada pelo conjunto de pontos que satisfaz: , com P(x, y, z).
Exemplos:
1) Determine a equação do plano que contém o ponto A(3, 2, -4) e é perpendicular ao vetor 
Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A(3, 1, -4) e é paralelo ao plano: 
Obtenha a equação geral do plano β em cada caso:
β contém os pontos A (1, 0, 1), B (-1, 0, 1) e C (2, 1, 2)
β contém os pontos A (1, -1, 3), B (2, -2, 4) e é perpendicular ao plano .
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO
	Seja um ponto de um plano dois vetores não colineares. Um ponto P(x, y, z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores se e somente se, existem números reais h e t tais que, .
Escrevendo a equação em coordenadas obtemos: 
Donde:
Ex.: Determinas as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 3) e é paralelo aos vetores 
Se quisermos algum ponto deste plano, basta arbitrar valores para h e t, por exemplo, h = 2 e t = 3, vem:
x = 2-3(2)+2(3)=2
y = 1-3(2)+1(3)=-2
z = 3+1(2) -2(3)=-1
Exercícios:
1) Determine a equação geral do plano que contém o ponto A (2, 8, -1) e é paralelo ao plano: .
2) Determine a equação geral do plano que contém o ponto A (5, 1, 0) e é perpendicular ao vetor .
3) Determine a equação geral do plano que contém os pontos A (1, -2, 2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano .
4) Determinar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (-5, 9, 3) e é paralelo aos vetores