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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Aula 2 – 17/03/14 Professora: Carla Pinheiro Moreira Vetores (continuação) O estudo de vetores é feito por dois tratamentos: Geométrico e Algébrico. Aula passada estudamos o tratamento Algébrico. Nesta aula estudaremos o tratamento Geométrico. 7. Representação Gráfica: Um vetor (a,b) ∈ 𝑅2 pode ser representado geometricamente por um segmento de reta orientado que une (0,0) com (a,b). Podemos fazer o mesmo com vetores em 𝑅3. Exemplos: • (3,2) ∈ 𝑅2 (Vetor no Plano) (3,2) 3 2 • (1,3,2) ∈ 𝑅3 (Vetor no Espaço) O vetor é indicado por letra minúscula 𝑣 ou pela sua origem e extremidade (AB). O módulo do vetor é indicado por: 𝑣 . Além de representar o vetor como uma setinha partindo da origem (0,0), pode-se representá-lo transladando a setinha e partindo de um ponto qualquer (c,d) ∈ 𝑅2. (1,3,2) 3 2 1 8. Setinha e vetor: A setinha que começa em (c,d) e termina em (c+a,d+b) representa o mesmo vetor (a,b) ∈ 𝑅2 para quaisquer (c,d) ∈ 𝑅2. A setinha que começa em (d,e,f) e termina em (d+a,e+b,f+c) representa o mesmo vetor (a,b,c) ∈ 𝑅3 para quaisquer (d,e,f) ∈ 𝑅3. Por esta definição o mesmo vetor possui uma infinidade de representações. Todas as setinhas representadas no exemplo abaixo representam o mesmo vetor (3,2) ∈ 𝑅2. Exemplo – Representações do vetor v = (3,2) (3,2) 3 2 9. Direção e Sentido: Direção: Horizontal Sentido: da esquerda para direita Direção: Vertical Sentido: de baixo para cima Direção: Inclinado 45⁰ em relação à horizontal Sentido: de baixo para cima 10. Casos particulares: • Vetor nulo: vetor cujo módulo é zero. Qualquer ponto no espaço é representante do vetor nulo, indicado por 0 ou 𝐴𝐴 . • Vetores opostos: a cada vetor não nulo 𝑣 corresponde um vetor OPOSTO - 𝑣 , de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. 𝑣 - 𝑣 A B A B 𝑣 = AB - 𝑣 = BA • Vetores ortogonais: quando 2 vetores formam ângulo de 90º. Indica-se por 𝑣 ⊥ 𝑢 • Vetores coplanares: Quando dois ou mais vetores pertencem a um mesmo plano. • Vetores Paralelos: Quando dois ou mais vetores tem a mesma direção. Indica-se por 𝑣 ⫽ 𝑢 • Vetor unitário: Vetor cujo módulo é igual a 1: 𝑣 = 1 11. Operações com Vetores: • Adição de Vetores:
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