Matriz complemento

Prévia do material em texto

Matrizes 
Sandra Paula Salve Silveira 
DEX – UFLA – 2017/2 
Exemplos de Matrizes 
 Informações sobre a altura, peso e idade de uma 
família de 5 pessoas: 
 
 
 
 
 
 
 A Renata possui 52 anos; 
 O peso do Henrique é 35 kg. 
 
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) 
Luís 1,88 83 54 
Renata 1,65 57 52 
Jorge 1,85 80 35 
Maria 1,74 78 33 
Henrique 1,27 35 12 
Exemplos de 
Matrizes 
 Sensação térmica: 
combina a temperatura 
do ar e a velocidade do 
vento. 
 Dependendo da velocidade 
do vento, sentimos mais 
frio do que a temperatura 
real. 
 
Fonte: http://www.sofisica.com.br 
Exemplos de Matrizes 
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) 
Luís 1,88 83 54 
Renata 1,65 57 52 
Jorge 1,85 80 35 
Maria 1,74 78 33 
Henrique 1,27 35 12 
5x3 
Operações com Matrizes 
 Joana é cozinheira. Prepara 3 tipos de salgados e os vende para 4 
padarias diferentes. Considere as seguintes produções: 
 Venda dos salgados em janeiro/2017 
coxinha empada pastel 
Padaria 1 200 350 400 
Padaria 2 300 150 300 
Padaria 3 400 200 100 
Padaria 4 500 500 500 
Venda dos salgados em fevereiro/2017 
coxinha empada pastel 
Padaria 1 300 400 250 
Padaria 2 300 150 300 
Padaria 3 420 330 200 
Padaria 4 370 500 420 
Operações com Matrizes 
 Adição de Matrizes; 
 Multiplicação de uma matriz por um escalar; 
 
1. Qual a produção de Joana nos meses de janeiro e 
fevereiro de 2017? 
 
2. Qual a produção de salgados no mês de março/2017, 
sabendo que ela foi o dobro da do mês de janeiro? 
 
3. Saber a diferença na produção por salgado e por 
padaria, de janeiro para fevereiro. 
 
Operações com Matrizes 
 Multiplicação de Matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
em que: 
 
Operações com Matrizes 
 Uma indústria de automóveis produz os carros X e Y, nos tipos 
sedan, hatch e picape. Para o planejamento da composição de 
peças, analisaremos as seguintes tabelas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Qual deve ser a reposição das peças A, B e C? 
 
Carro X Carro Y 
Peça A 4 3 
Peça B 3 5 
Peça C 6 2 
Venda de carros no mês de agosto 
Sedan Hatch Picape 
Carro X 2 4 3 
Carro Y 3 2 5 
Propriedades da Álgebra 
Matricial 
 Teorema: Sejam 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 matrizes com tamanhos 
apropriados, 𝛼 e 𝛽 escalares. São válidas as seguintes 
propriedades para álgebra matricial: 
 
(a) (comutatividade) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴; 
 
(b) (associatividade) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶; 
 
(c) (elemento neutro) A matriz 0 , 𝑚𝑥𝑛 , definida por 
0 𝑖𝑗 = 0, para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 , é tal que 
 𝐴 + 0 = 𝐴 , para toda matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛; 
 
Propriedades da Álgebra 
Matricial 
 
(d) (elemento simétrico) Para cada matriz 𝐴 , existe uma 
única matriz −𝐴 , definida por −𝐴 𝑖𝑗 = −𝑎𝑖𝑗 tal que
 𝐴 + −𝐴 = 0 ; 
 
(e) (associatividade) 𝛼 𝛽𝐴 = 𝛼𝛽 𝐴 ; 
 
(f) (distributividade) 𝛼 + 𝛽 𝐴 = (𝛼𝐴 + 𝛽𝐴); 
 
(g) (distributividade) 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵; 
 
Propriedades da Álgebra 
Matricial 
(h) (associatividade) 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶; 
 
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo 𝑝 a matriz, 
𝑝𝑥𝑝, 
𝐼𝑝=
1 0 ⋯ 0
0 1 … 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 1
 
chamada matriz identidade é tal que 
 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴, para toda matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 ; 
 
(j) (distributividade) 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 e 
 𝐵 + 𝐶 𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴; 
 
Propriedades da Álgebra 
Matricial 
 
(k) 𝛼 𝐴𝐵 = 𝛼𝐴 𝐵 = 𝐴(𝛼𝐵); 
 
(l) (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴 ; 
 
(m) (𝐴 + 𝐵)𝑡= 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡; 
 
(n) (𝛼𝐴)𝑡= 𝛼𝐴𝑡; 
 
(o) (𝐴𝐵)𝑡= 𝐵𝑡𝐴𝑡;