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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA CÁLCULO III SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 1. Conceitos Preliminares Representamos por { }K,4,3,2,1,0=IN o conjunto dos números naturais. O subconjunto de IN constituído dos números pares será representado por { }*;2 INnnINP Î= e o subconjunto dos números ímpares será representado por { }*;12 INnnINI Î-= Definição 1: Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função IRINf ®*: , que associa a cada número *INn Î um número real ( )nf . O n-ésimo termo ou termo geral da sequência f é representado genericamente por nnn xba ,, , etc. Para simplificar, denotaremos o termo geral na como a sequência f tal que ( ) nanf = Ex.:(1) ÷ ø ö ç è æ K, 16 1, 9 1, 4 1,1 representa a sequência cujo termo geral é 2 1 n an = . (2) ( )K,1,1,1,1 -- representa a sequência cujo termo geral é ( )nna 1-= . Definição 2: Dada uma sequência IRINf ®*: , as restrições de f a subconjuntos infinitos de *IN serão denominadas subsequências de f . Representamos a sequência f pelo seu termo geral ( )na , *INn Î , podemos afirmar que as subsequências de f , ou de ( )na , são as sequências ( )ka , com NIk ¢Î , sendo NI ¢ um subconjunto não limitado (isto é, infinito) do conjunto *IN . Ex.: As sequências ÷ ø ö ç è æ K, 7 1, 5 1, 3 1,1 , ÷ ø ö ç è æ K, 8 1, 6 1, 4 1, 2 1 e ÷ ø ö ç è æ K 7 1, 5 1, 3 1, 2 1 são subsequências da sequência ÷ ø ö ç è æ n 1 , onde consideramos para domínio o subconjunto NI ¢ dado, respectivamente, por { }*;12 INnnINNI I Î-==¢ , { }*;2 INnnINNI P Î==¢ e { }primoénINnNI ;*Î=¢ . Definição 3: Uma sequência ( )na é dita limitada superiormente quando existir um número real M, chamado cota superior da sequência, tal que *, INnMan Î"£ . Definição 4: Uma sequência ( )na é dita limitada inferiormente quando existir um número real m, chamado cota inferior da sequência, tal que *, INnam n Î"£ . Definição 5: Uma sequência ( )na é dita limitada quando é limitada superiormente e inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva C tal que *, INnCan Î"£ . Definição 6: Uma sequência ( )na é denominada monótona crescente ou não decrescente quando *1 , INnaa nn Î"£ + . Definição 7: Uma sequência ( )na é denominada monótona decrescente ou não crescente quando *1 , INnaa nn Î"³ + . 2. Sequências Convergentes Definição 8: Dizemos que um número real l é limite de uma sequência ( )na , ou que a sequência ( )na converge para l, quando a seguinte condição for satisfeita: * 0,0 INn Î$>"e tal que 0, nnlan ³"<- e * Obs.: 1. O número natural 0n da definição de limite em geral depende do número e dado. 2. A desigualdade e<- lan , 0nn ³" estabelece que fora do intervalo aberto ( )ee +- ll , existe no máximo um número finito de termos da sequência ou, em outras palavras, que todos os termos da sequência a partir do termo de ordem 0n estão dentro do intervalo aberto ( )ee +- ll , . 3. A convergência e o valor do limite da sequência não são alterados quando se retira ou acrescenta um número finito de termos nesta sequência. 4. Uma sequência convergente tem um único limite. Ex: 1. Considere a sequência cujo termo geral é 1+ = n nan . Neste caso 1lim =+¥® nn a . De fato, seja 0>e dado, e observe que: 11 1 11 1 ->Û< + Û<- + e ee n nn n A última desigualdade nos sugere escolher 0n como o primeiro natural maior do que 11 - e . É claro que outro número natural maior do que este 0n estabelecido também atende a definição de convergência. Teorema: Toda sequência convergente é limitada. Demonstração: Seja ( )na uma sequência convergente com limite l. De acordo com a definição de limite, seja 1=e , existe um índice *0 INn Î a partir do qual se tem 1<- lan . Usando a desigualdade triangular, podemos assegurar que: 0,1 nnlllallaa nnn ³"+<+-£+-= .(I) SÉRIES NUMÉRICAS DEFINIÇÃO 1: Seja a seguinte sequência numérica ( ) ( )KK ,,,,, 321 nn aaaaa = . A partir desta sequência, formamos uma nova sequência numérica ( )nS , cujos elementos são as somas parciais da sequência inicial ( )na , ou seja: KKK ,,,,, 21321321211 nn aaaSaaaSaaSaS +++=++=+== Esta nova sequência ( )nS , obtida a partir das somas parciais da sequência inicial, chama-se série numérica associada à sequência ( )na . * OBS.: 1) Usamos o seguinte simbolismo para denotar uma série infinita: KK ++++=å +¥ = n n n aaaa 21 1 , onde KK ,,,, 21 naaa são os termos desta série. 2)Como 1211 -- +++= nn aaaS K e nnn aaaaS ++++= -121 K , temos nnn ass += -1 . 3) O problema principal da teoria das séries é determinar o seu caráter, ou seja, determinar quais das séries são convergentes e quais não são. DEFINIÇÃO 2: Dizemos que uma série å +¥ =1n na é convergente quando a sequência ( )nS de suas somas parciais for convergente. Nesse caso, a soma da série é o limite da sequência ( )nS , isto é: nn n n Sa +¥® +¥ = =å lim 1 . Quando uma série não converge, ela é denominada divergente. EXEMPLOS: 1) Consideremos a série: K++++=å +¥ = 16 1 8 1 4 1 2 1 2 1 1n n . Então, a seqüência das somas parciais é dada por: 2 1 1 =S , 4 3 4 1 2 1 2 =+=S , 8 7 8 1 4 3 3 =+=S , 16 15 16 1 8 7 4 =+=S , 32 31 32 1 16 15 5 =+=S , K Então obtemos: nn n nS 2 11 2 12 -= - = , portanto 1 2 11limlim =÷ ø ö ç è æ -= +¥®+¥® nnnn S , logo a série å +¥ =1 2 1 n n converge e sua soma é 1=S . 2) Consideremos a série harmônica K+++++=å +¥ = 5 1 4 1 3 1 2 111 1n n . A figura a seguir representa o gráfico da função ( ) x xf 1= , definida para 0>x . Observamos que sobre este gráfico estão os pontos ÷ ø ö ç è æ n n 1, . Comparando as áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f , concluímos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ò³+++++ n dxxfnfffff 1 4321 K ou seja: INnn n Î"³+++++ ,ln1 4 1 3 1 2 11 K (1) Como +¥= +¥® n n lnlim , de (1) deduzimos que: +¥=÷ ø ö ç è æ +++++= +¥®+¥® n S nnn 1 4 1 3 1 2 11limlim K Portanto a seqüência ( )nS é divergente. SÉRIE GEOMÉTRICA Uma série do tipo å ¥ = - 1 1 n nra é chamada de série geométrica, pois seus termos correspondem a uma progressão geométrica de razão 0¹r e 0¹a é o coeficiente desta série. A sequência de somas parciais ( )nS é dada por: 132 -+++++= nn rrrrS aaaaa K (1) e para 1=r , de (1) temos que nSn a= é divergente, nesse caso a se´rie geométrica diverge. Quando 1-=r , a sequência ( )nS é tal que 02 =nS e INnS n Î"=- ,12 a , o que mostra que ( )nS é uma sequência divergente e, nesse caso, a série também diverge. Considerando 1¹r e multiplicando (1) por r, obtemos: n n rrrrrSr aaaaa +++++= K 432 (2) Então de (1) e (2) resulta: r rSrSrS n n n nn - - =Þ-=- 1 1aaa (3) Se 1<r , então 0lim = +¥® n n r , logo de (3) temos: rr r n n - =÷÷ ø ö çç è æ - - +¥® 11 1lim aa e portanto a série converge e sua soma é r S - = 1 a . Se 1>r , então usando novamente (3), verificamos que a sequência ( )nS diverge e, portanto, a série correspondente também diverge. Resumindo: a série geométrica å ¥ = - 1 1 nnra converge para r-1 a quando 1<r , e diverge quando 1³r . Exemplos de série geométrica: 1) 1 11 2 1 2 1 2 1 -¥ = ¥ = ÷ ø ö ç è æ= åå n nn n é uma série geométrica com razão 2 1 =r e coeficiente 2 1 =a , logo esta série converge e sua soma é: 1 2 11 2 1 2 1 1 = - =å ¥ =n n 2) ( ) K+-+-=-å ¥ = - 33331.3 1 1 n n , é uma série geométrica com razão 1-=r e coeficiente 3=a , então temos: 02 =nS e INnS n Î"=- ,312 3) K++++== åå ¥ = - ¥ = 168422.22 1 1 1 n n n n , é uma série geométrica com razão 2=r e coeficiente 2=a , neste caso temos: +¥=÷÷ ø ö çç è æ - - =÷÷ ø ö çç è æ - - = +¥®+¥®+¥® 21 212lim 1 1limlim n n n nnn r rS a , logo a série diverge. 4) K++++=å ¥ = 22222 1n , é uma série geométrica com razão 1=r e coeficiente 2=a , neste caso temos: +¥=== +¥®+¥®+¥® nnS nnnn 2limlimlim a , logo a série diverge. TEOREMA 1: (Teste do n-ésimo termo) Uma condição necessária para que a série å ¥ =1n na seja convergente é que 0lim =+¥® nn a . Demonstração: Seja ( )nS a sequência das somas parciais da série, temos que 1--= nnn SSa . Suponha que a série å ¥ =1n na é convergente, resulta que a sequência ( )nS converge para um número S, o mesmo ocorrendo com a subsequência ( )1-nS . Então: ( ) 0limlimlimlim 11 =-=-=-= -+¥®+¥®-+¥®+¥® SSSSSSa nnnnnnnnn . *OBS.: A condição 0lim = +¥® nn a é necessária, mas não é suficiente para garantir a convergência da série å ¥ =1n na .Por exemplo: já provamos que a série å ¥ =1 1 n n é divergente, embora 01lim = +¥® nn . Mas podemos garantir que quando a sequência ( )na for divergente ou 0lim ¹ +¥® nn a , a série å ¥ =1n na será divergente. O Teorema 1 constitui-se no primeiro teste de convergência para séries. Ao investigarmos a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu termo geral, como mostra o esquema abaixo. *OBS.: Como no caso de sequências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número finito de termos não altera a convergência ou a divergência de uma série, podendo alterar o valor de sua soma. TEOREMA 2: Se as séries å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb diferem apenas em uma quantidade finita de termos, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes. Demonstração: Por hipótese, existe um índice INn Î0 a apartir do qual nn ba = e se ( )nS e ( )nR são as sequências das somas parciais de å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb , respectivamente, para 0nn > temos: nnn aaaaS +++++= KK 021 (4) nnn bbbbR +++++= KK 021 (5) E sendo nn ba = , a partir da ordem 0n , resulta de (4) e (5) que: ( ) ( ) ( )[ ] 002211 nnnn bababaRS -++-+-+= K (6) Observando a relação (6) e levando em conta que a expressão entre colchete é constante, isto é, não depende de n, deduzimos que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas convergentes ou ambas divergentes. TEOREMA 3: Sejam å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb duas séries numéricas e seja a um número real. (a) Se as séries å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb são convergentes, então as séries ( )å ¥ = + 1n nn ba e å ¥ =1n naa também convergem, e valem as relações: ( ) ååå ¥ = ¥ = ¥ = +=+ 111 n n n n n nn baba (7) åå ¥ = ¥ = = 11 n n n n aa aa (8) (b) Se å ¥ =1n na é convergente e å ¥ =1n nb é divergente, então a série ( )å ¥ = + 1n nn ba é divergente. (c) Se å ¥ =1n na é divergente e 0¹a , então a série å ¥ =1n naa é também divergente. Demonstração: Prova da parte (a): Denotando ( )nS , ( )nR , ( )nU e ( )nV as sequências das somas parciais das séries å ¥ =1n na , å ¥ =1n nb , ( )å ¥ = + 1n nn ba e å ¥ =1n naa , respectivamente, temos nnn RSU += e nn SV a= e, se as sequências ( )nS e ( )nR forem convergentes, então as sequências ( )nU e ( )nV também serão convergentes e, além disso: nnnnnn RSU +¥®+¥®+¥® += limlimlim e nnnn SV +¥®+¥® = limlim a . Prova da parte (b): Provaremos por absurdo. Se a série ( )å ¥ = + 1n nn ba fosse convergente, então a sequência ( )nU seria convergente e, portanto a sequência ( )nR também seria, já que nnn SUR -= . Isso implicaria na convergência da série å ¥ =1n nb , o que contradiz a hipótese. Prova da parte (c): Provaremos por absurdo. Se a série å ¥ =1n naa fosse convergente, então a sequência ( )nV seria convergente, o mesmo ocorrendo com a sequência ( )nS , porque nn VS a 1 = . Novamente chegamos a uma contradição, já que, neste caso, a série å ¥ =1n na é suposta divergente. *OBS.: Quando as séries å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb são ambas divergentes, o Teorema 3 não dá informação sobre a convergência da série ( )å ¥ = + 1n nn ba , que pode convergir ou divergir. Por exemplo, as séries å ¥ =1 1 n n e å ¥ = - 1 1 n n são ambas divergentes e a série obtida pela soma termo a termo é convergente, pois 011 1 =ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ-+å ¥ =n nn . SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS Uma série å ¥ =1n na onde cada termo na é maior do que zero é denominada série de termos positivos. DEFINIÇÃO 3: Dizemos que a série å ¥ =1n na é dominada pela série å ¥ =1n nb quando INnba nn Î"£ , . Nesse caso å ¥ =1n na é a série dominada e å ¥ =1n nb é a série dominante. TEOREMA 4: (Teste da Comparação) Sejam å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb duas séries de termos positivos. (a) Se a série å ¥ =1n nb converge e INnba nn Î"£ , , então a série å ¥ =1n na também converge. (b) Se a série å ¥ =1n na diverge e INnba nn Î"£ , , então a série å ¥ =1n nb também diverge. Demonstração: Prova da parte (a): Sejam ( )nS e ( )nR as sequências das somas parciais das séries å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb , respectivamente. Pela hipótese temos que a série å ¥ =1n nb converge e INnRS nn Î"££ ,0 . (9) Como ( )nR é uma sequência crescente, de limite R, temos que o número R é o menor limite superior (supremo) de ( )nR . Por (9), R também é cota superior para a sequência crescente ( )nS , portanto existe nn S+¥®lim e este limite é menor ou igual a R. Logo a série å ¥ =1n na converge. Prova da parte (b): Se a sequência ( )nS das somas parciais da série å ¥ =1n na diverge, então, pela definição de limite de uma sequência, temos que: ee >Î$>" nSINn /,0 0 , se 0nn > . Como INn Î" e 0>"e temos e³³ nn SR , então a sequência ( )nR também diverge. Logo a série å ¥ =1n nb diverge. *OBS.: Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enunciados e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os termos das séries, eles continuam válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de uma certa ordem. Exemplos: 1) Considere a série å ¥ =1 ln n n n . A partir da relação ,3,1ln ³"³ nn segue que 3,1ln ³"³ n nn n e, como a série harmônica å ¥ =1 1 n n é divergente, logo pelo Teste da Comparação temos que a série å ¥ =1 ln n n n é também divergente. 2) Seja a série å ¥ =1 !1 n n . Podemos mostrar por indução que INnnn Î"£- ,!2 1 , logo INn n n Î"£ - ,2 1 ! 1 1 e, como a série geométrica å ¥ = - 1 12 1 n n converge, então a série å ¥ =1 ! 1 n n também converge. 3) Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou divergir. Por exemplo, considerando a série åå ¥ = ¥ = ÷ ø ö ç è æ + -= + 11 2 1 111 nn nnnn , cujo termo geral da sequência das somas parciais é: 1 11 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 11 + -=÷ ø ö ç è æ + -++÷ ø ö ç è æ -+÷ ø ö ç è æ -+÷ ø ö ç è æ -= nnn Sn K , é convergente, pois 1 1 11limlim =÷ ø ö ç è æ + -= +¥®+¥® n S nnn . Entretanto temos que esta série é dominada pela série divergente å ¥ =1 1 n n , pois INn nnn Î"£ + ,112 . De modo análogo, se a série dominante for divergente, então a série dominada pode convergir ou divergir. TEOREMA 5: (Teste da Integral) Consideremos uma função [ ) IRf ®+¥,1: contínua e suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente, isto é: (a) ( ) 1,0 ³"³ xxf ; (b) ( ) ( )yfxf ³ , sempre que yx ££1 . Nessas condições, a série ( )å ¥ =1n nf é convergente se, e somente se, a integral imprópria ( )ò +¥ 1 dxxf for convergente. Demonstração: Sendo ( )xf uma função monótona decrescente e não negativa, temos que: ( ) ( ) ( ) 2,10 1 ³"-£££ ò - nnfdxxfnf n n (10) E essas desigualdades podem ser facilmente deduzidas por observação das figuras abaixo. Fazendo ( ) ( )ò== n nn dxxfRnfa 1, e denotando por ( )nS as somas parciais da série ( )å ¥ =1n nf , temos: ( )å = =++++= n k nn kfaaaaS 1 321 K e usando (10) obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 ,340 ,230 ,120 1 4 3 3 2 2 1 -£££ £££ £££ £££ ò ò ò ò - nfdxxfnf fdxxff fdxxff fdxxff n n M (11) Então de (11) temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1120 1 2 1 -++£++£++£ òò - nffdxxfdxxfnff n n KKK (12) ou seja: .2,0 11 ³"££-£ - nSRaS nnn (13) Sendo monótonas as sequências ( )nS e ( )nR , segue das relações (13) que a limitação e, portanto, a convergência, de uma delas implica a limitação e, portanto, a convergência da outra. Isso prova que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas convergentes ou ambas divergentes. Exemplos: 1) A função ( ) 2 1 x xf = é contínua, não negativa e como ( ) 3 2 x xf -=¢ é negativa, 1³"x , então ( )xf é decrescente. A integral imprópria 11 1 2 =ò ¥+ dx x , logo a série correspondente å ¥ =1 2 1 n n converge. 2) Podemos verificar que função ( ) xx xf ln 1 = também atende às condições do Teorema 5 para 2³x e a integral imprópria ( )[ ] +¥== +¥® ¥+ ò tt xdxxx 22 lnlnlimln 1 , sendo divergente, o que implica na divergência da série å ¥ =2 ln 1 n nn . *OBS.: 1) Quando utilizamos o Teste da Integral, o valor da integral imprópria não é necessariamente igual ao valor da soma da série, no caso desta convergir. O teste dá informação sobre a convergência sem indicar o valor da soma da série. 2) O Teste da integral é utilizado também para investigar a convergência das séries do tipo å ¥ =1 1 n pn , que são chamadas p-séries. Quando 0£p a p-série é divergente, pois neste caso o termo geral converge para 1, se 0=p e terá limite infinito se 0<p . Para 0>p , a função ( ) pxxf 1 = definida para 1³x atende as condições do Teorema 5 e, nesse caso, teremos: +¥=ò ¥+ dx x1 1 e ( ),1 1 1lim1 1 1 - - = - +¥® ¥+ ò ptp tpdxx para 1¹p Mas ,lim 1 +¥=- +¥® p t t se 1<p e ,0lim 1 =- +¥® p t t se 1>p , de modo que a integral imprópria dx x pò ¥+ 1 1 converge quando 1>p e diverge quando 1£p . Portanto a p-série å ¥ =1 1 n pn converge quando 1>p e diverge quando 1£p . TEOREMA 6: (Teste da Comparação no Limite) Sejam å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb duas séries de termos positivos e seja n n n b al +¥® = lim . (a) Se 0>l , então as séries å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb são ambas convergentes ou ambas divergentes. (b) Se 0=l e å ¥ =1n nb converge, então å ¥ =1n na também converge. (c) Se ¥=l e å ¥ =1n nb diverge, então å ¥ =1n na também diverge. Demonstração: A demonstração é conseqüência imediata do Teste da Comparação. Na parte (a), fixando 0 2 >= le , na definição de limite de sequência, encontramos um índice INn Î0 tal que 0,2 nnll b a n n ³"<- e, portanto 0,2 3 2 nnblabl nnn ³"££ . Então se å ¥ =1n nb converge, então å ¥ =1 2 3 n nb l converge e å ¥ =1n na converge pelo teste da comparação. Se å ¥ =1n nb diverge, então å ¥ =1 2n nb l diverge e å ¥ =1n na diverge pelo teste da comparação. Na parte (b), fixando 0>e , na definição de limite de sequência, encontramos um índice INn Î0 tal que 0, nnb a n n ³"< e e como å ¥ =1n na e å ¥ =1n nb são duas séries de termos positivos tem-se 00 ,,0 nnbannb a nn n n ³"<Û³"<< ee , logo se å ¥ =1n nb converge, então å ¥ =1n nbe também converge e å ¥ =1n na converge pelo teste da comparação. Na parte (c), dado 0>M , encontramos um índice INn Î0 tal que 0, nnMb a n n ³"> e portanto 0, nnbMa nn ³"> , então se å ¥ =1n nb diverge, å ¥ =1n nMb também diverge e å ¥ =1n na diverge pelo teste da comparação. Exemplos: 1) Considere a série å ¥ = +1 53 2 n n n , vamos compará-la com a série å ¥ =1 1 n n , que é uma p-série com 1<p , logo é divergente. Através do teste da comparação pelo limite temos: 0 3 2 53 2lim 1 53 2 lim >= + =+ +¥®+¥® n n n n n nn , portanto a série å ¥ = +1 53 2 n n n também diverge. 2) Considere a série å ¥ = - 1 2 n ne , vamos compará-la com a série å ¥ =1 2 1 n n , que é uma p-série com 1>p , logo é convergente. Através do teste da comparação pelo limite e considerando “x” como uma variável real, temos: 01lim 2 2limlim1lim 222 2 20 0 2 ==== +¥®+¥® ¥ ¥ +¥® - +¥® xxxxxx x x exe x e x x e , então 01lim 2 2 = - +¥® n e n n Portanto a série å ¥ = - 1 2 n ne também converge. 3) Considere a série å ¥ =2 ln 1 n n , vamos compará-la com a série divergente å ¥ =1 1 n n . Através do teste da comparação pelo limite e considerando “x” como uma variável real, temos: +¥==== +¥®+¥® ¥ ¥ +¥®+¥® x x x x x x nnxx lim1 1lim ln lim1 ln 1 lim 0 0 , então +¥= +¥® n n n 1 ln 1 lim Portanto a série å ¥ =2 ln 1 n n também diverge. TEOREMA 7: (Teste da razão) Seja å ¥ =1n na uma série de termos positivos e suponha que l a a n n n =+ +¥® 1lim Então: (a) a série å ¥ =1n na converge se 1<l , (b) a série å ¥ =1n na diverge se 1>l ou se ¥=l , (c) o teste é inconcludente se 1=l . DEMONSTRAÇÃO: Parte (a) Suponha que 1lim 1 <=+ +¥® l a a n n n . Pela propriedade do conjunto dos números reais 0>$k tal que 1<< kl . Além disso, se kl a a n n n <=+ +¥® 1lim , então k a aNnINN n n <Þ³Î$ +1/ , ou seja: N m mNmN NNN NNN NNakkaa akkaa akkaa kaa << << << < -++ ++ ++ + 1 3 23 2 12 1 M Essas desigualdades mostram que os termos da nossa série, depois do n-ésimo termo, se aproximam de zero mais rapidamente do que os termos em uma série geométrica com razão 1<k . Mais precisamente, considere a sérieå ¥ =1n nc , onde nn ac = para Nn ,,2,1 K= e KK ,,,, 221 N m mNNNNN akcakckac === +++ Agora INnca nn Î"£ , . ( )KK KK ++++++++= =++++++++= - - ¥ = å 32 121 32 121 1 1 kkkaaaa akakkaaaaac NN NNNNN n n A série geométrica K++++=å ¥ = - 32 1 1 1 kkkk n n converge porque 1<k , então å ¥ =1n nc converge. Como INnca nn Î"£ , , å ¥ =1n na também converge. Parte (b) Suponha que l a a n n n =+ +¥® 1lim , onde ¥£< l1 . A partir de algum índice M, 11 >+ n n a a e K<<< ++ 21 MMM aaa O termos da série å ¥ =1n na não se aproximam de zero quando +¥®n , portanto a série diverge pelo teste do n-ésimo termo. Parte (c) Suponha que 1lim 1 ==+ +¥® l a a n n n , neste caso, as séries å ¥ =1 1 n n e å ¥ =1 2 1 n n mostram que algum outro teste para a convergência deve ser usado. Para å ¥ =1 1 n n , temos 1 1 lim1 1 1 limlim 1 = + =+= +¥®+¥® + +¥® n n n n a a nn n n n Para å ¥ =1 2 1 n n , temos ( ) ( ) 1 1 lim 1 1 1 limlim 2 2 2 2 1 = + =+= +¥®+¥® + +¥® n n n n a a nn n n n Em ambos os casos 1=l , mas a primeira série diverge, enquanto a segunda converge. *OBS.: O teste da razão frequentemente é eficaz quando: os termos da série contém fatoriais de expressões que envolvem n ou expressões elevadas a uma potência que envolva n. Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 1) å ¥ = + 0 3 52 n n n Solução: Através do teste da razão temos: 1 3 2 2.51 2.52lim 3 1 52 52lim 3 1 3 52 3 52 limlim 11 1 1 <= + + = + + = + + = - - +¥® + +¥® + + +¥® + +¥® n n nn n n n n n n n n n n a a Logo a série å ¥ = + 0 3 52 n n n converge. Isto não significa que a soma da série seja igual a 3 2 . Na verdade temos: 2 21 3 11 5 3 21 1 3 1.5 3 2 3 1.5 3 2 3 52 1 1 1 1 000 = - + - ÷ ø ö ç è æ+÷ ø ö ç è æ=÷ ø ö ç è æ+÷ ø ö ç è æ= + ååååå ¥ = -¥ = -¥ = ¥ = ¥ = n n n n n n n n n n n 2) ( ) ( )å ¥ =1 2! !2 n n n Solução: Através do teste da razão temos: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 1 122lim !2!1!1 !21222!!lim ! !2 !1 !22 limlim 2 2 1 >= + + = ++ ++ = + + = +¥®+¥®+¥® + +¥® n n nnnnn nnnnn n n n n a a nnn n n n Logo a série ( ) ( )å ¥ =1 2! !2 n n n diverge. TEOREMA 8: (Teste da raiz) Seja å ¥ =1n na uma série com 0³na para Nn ³ e suponha que lan nn =+¥®lim Então: (a) a série å ¥ =1n na converge se 1<l , (b) a série å ¥ =1n na diverge se 1>l ou se ¥=l , (c) o teste é inconcludente se 1=l . Demonstração: Parte (a) Suponha que 1lim <= +¥® lan nn . Escolha um 0>e pequeno o suficiente para que 1<+ el . Como lan n ® , os termos n na acabam se aproximando de l a menos de e . Em outras palavras, existe um índice INM Î tal que e+< lan n , quando Mn ³ Portanto também é verdade que ( )nn la e+< para Mn ³ . Mas ( )å ¥ = + Mn nl e é uma série geométrica com razão 1<+ el , logo converge. Por comparação, a série å ¥ =Mn na converge o que nos leva a concluir que åå ¥ = - ¥ = +++= Mn nM n n aaaa 11 1 K converge. Parte (b) Suponha que lan nn =+¥®lim , onde ¥£< l1 . Para todos os índices além de algum inteiro M, temos 1>n na , de modo que 1>na para Mn > . Os termos da série å ¥ =1n na não convergem para zero, logo a série å ¥ =1n na diverge pelo teste do n-ésimo termo. Parte (c) Suponha que 1lim == +¥® lan nn . As séries å ¥ =1 1 n n e å ¥ =1 2 1 n n mostram que o teste não é conclusivo quando 1=l . A primeira série diverge e a segunda converge, mas em ambos os casos 1lim = +¥® n nn a . Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 1) å ¥ =1 2 2n n n Solução: Aplicando o teste da raiz temos: 1 2 1 2 lim 2 limlim 22 <=== +¥®+¥®+¥® n n n nn n nn nna , logo a série å ¥ =1 2 2n n n converge 2) ( )å ¥ =2 lnn n n n n Solução: Aplicando o teste da raiz temos: ( ) ¥+=== ¥ ¥ +¥®+¥®+¥® n n n na n n n n n n nn ln lim ln limlim , pois considerando “x” como uma variável real temos +¥=== +¥®+¥® ¥ ¥ +¥® x x x x nxx lim1 1lim ln lim logo a série ( )å ¥ =2 lnn n n n n é divergente. SÉRIES ALTERNADAS Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma série alternada. Exemplos: 1) ( ) K+-+-+-=-å ¥ = + 6 1 5 1 4 1 3 1 2 111 1 1 n n n 2) ( ) K+-+-+-= + -å ¥ = 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1n n n n TEOREMA 9: (Teste da série alternada – Teorema de Leibniz) A série ( )å ¥ = + +-+-=- 1 4321 11 n n n aaaaa K é convergente se todas as três condições a seguir forem satisfeitas: (a) os na forem todos positivos, (b) 1+³ nn aa para todo Nn ³ , para algum N natural, (c) 0lim = +¥® nn a . Demonstração: Se n é um inteiro par, digamos mn 2= , então a soma dos n primeiros termos é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mmm mmm aaaaaaaa aaaaaaS 2122254321 21243212 --------= =-++-+-= -- - K K A primeira igualdade mostra que mS2 é a soma de m termos não negativos, uma vez que cada termos entre parênteses é positivo ou zero. Consequentemente, mm SS 222 ³+ e a sequência ( )mS2 é crescente. A segunda igualdade mostra que 12 aS m £ . Como ( )mS2 é crescente e limitada superiormente, tem um limite: LS mm =+¥® 2lim (14) Se n é um inteiro ímpar, digamos 12 += mn , então a soma dos n primeiros termos é 12212 ++ += mmm aSS . Como 0lim =+¥® nn a , então 0lim 12 =++¥® mm a e, como +¥®m ( ) LLaSS mmmmm =+=+= ++¥®++¥® 0limlim 12212 (15) A partir dos resultados (14) e (15), temos que as sequências das somas parciais ( )mS2 e ( )12 +mS tem um limite único, então LSnn =+¥®lim e a série ( )å ¥ = +- 1 11 n n n a converge. Exemplo: A série ( ) K+-+-+-=-å ¥ = + 6 1 5 1 4 1 3 1 2 111 1 1 n n n satisfaz as três condições do Teorema de Leibniz e, portanto converge. DEFINIÇÃO 4: (Convergência absoluta) Uma série å ¥ =1n na converge absolutamente (ou é absolutamente convergente) se a série de valores absolutos correspondente, å ¥ =1n na converge. DEFINIÇÃO 5: (Convergência condicional) Uma série que converge, mas não converge absolutamente, converge condicionalmente (ou é condicionalmente convergente). TEOREMA 10: (Teste da convergência absoluta) Se å ¥ =1n na converge, então å ¥ =1n na converge. Demonstração: Para cada n temos: nnn aaa ££- , assim nnn aaa 20 £+£ Se å ¥ =1n naconverge, então å ¥ =1 2 n na converge, e pelo teste de comparação, a série não negativa ( )å ¥ = + 1n nn aa converge. A igualdade ( ) nnnn aaaa -+= nos permite expressar å ¥ =1n na como a diferença de duas séries convergentes: ( ) ååå ¥ = ¥ = ¥ = -+= 111 n n n nn n n aaaa Portanto å ¥ =1n na converge. *OBS.: Podemos dizer que toda série absolutamente convergente é convergente, entretanto, a afirmação contrária não é verdadeira, pois existem muitas séries convergentes que não são absolutamente convergentes, como por exemplo: a série alternada ( )å ¥ = +- 1 11 n n n é convergente, mas a série de valores absolutos correspondente å ¥ =1 1 n n é divergente. Exemplos: 1) Para a série ( )å ¥ = +- 1 2 11 n n n , a série de valores absolutos correspondente é a série convergente å ¥ =1 2 1 n n , portanto a ( )å ¥ = +- 1 2 11 n n n é absolutamente convergente. 2) Para a série å ¥ =1 2 n n senn , a série de valores absolutos correspondente é å ¥ =1 2 n n senn , que converge por comparação com a série å ¥ =1 2 1 n n porque INnsenn Î"£ ,1 . A série å ¥ =1 2 n n senn converge absolutamente, logo é convergente. 3) A série ( ) 12 11 1 1 + + -å ¥ = + n n n n é divergente, pois 0 2 1 12 1lim ¹= + + +¥® n n n . TEOREMA 11: (TESTE DA RAZÃO PARA A CONVERGÊNCIA ABSOLUTA) Consideremos uma série å ¥ =1n na , onde cada termo na é diferente de zero e o l a a n n n =+ +¥® 1lim . Então: (a) a série å ¥ =1n na é absolutamente convergente se 1<l , (b) a série å ¥ =1n na diverge se 1>l ou se ¥=l . DEMONSTRAÇÃO: Supondo que 1lim 1 <=+ +¥® l a a n n n , escolhemos um número real r tal que 1<< rl , e na definição de limite de uma sequência consideramos lr -=e . Existe um índice INn Î0 , a partir do qual é válida a relação: lrl a a n n -<-+1 ou de modo equivalente lrl a alr n n -<-<+- +1 (1) Segue de (1) que 01 , nnara nn ³"<+ , e nessa desigualdade, fazendo sucessivamente K,3,2,1, 0000 +++= nnnnn , obtemos: K,3,2,1, 00 ="<+ kara n k kn (2) e como 10 << r , então a série geométrica å ¥ =1n kr converge e de (2) mais o Teste da Comparação, deduzimos que a série å ¥ = + 1 0 n kna também converge. Para concluir que a série å ¥ =1n na é convergente, é só aplicar o Teorema 2, pois as séries å ¥ = + 1 0 n kna e å ¥ =1n na diferem por apenas uma quantidade finita de termos, logo ambas convergem. Isto prova a parte (a). Para provar a parte (b), admitimos que 1lim 1 >=+ +¥® l a a n n n e consideramos agora r tal que lr <<1 . Novamente da definição de limite de sequência tomamos rl -=e , fixamos um índice INn Î0 , a partir do qual se tem: ee +<<-=< + l a alr n n 11 (3) e daí obtemos 0,0 0 nnaa nn ³"<< e portanto a sequência ( )na , caso seja convergente, possui limite diferente de zero. Portanto pelo teste do n-ésimo termo deduzimos que a série å ¥ =1n na diverge. Exemplos: 1) Considere a série ( )å ¥ = - 1 ! 1 n nn n n , temos que: ( ) ( ) 1!1 !1limlim 1 1 >= + + = + +¥® + +¥® e nn nn a a n n n n n n , logo pelo Teste da Razão concluímos que a série diverge. 2) Considerando a série ( ) ( )[ ]å ¥ = -××- 1 !24 125311 n nn n n nL , temos que: ( )( )[ ] ( )[ ] ( ) 14 1 !12412531 !241212531limlim 11 1 <= +-×× +-×× = +++¥® + +¥® nn nnn a a nn nn n n n n L L , logo pelo Teste da Razão a série é absolutamente convergente. 3) Para cada uma das séries ( )å ¥ = - 1 2 1 n n n e ( )å ¥ = - 1 1 n n n , temos que 1lim 1 =+ +¥® n n n a a e o Teste da Razão não se aplica. TEOREMA 12: (TESTE DA RAIZ PARA A CONVERGÊNCIA ABSOLUTA) Dada uma série å ¥ =1n na e suponha que lan nn =+¥®lim . Então: (a) a série å ¥ =1n na converge absolutamente se 1<l , (b) a série å ¥ =1n na diverge se 1>l ou se ¥=l . DEMONSTRAÇÃO: Análoga a demonstração do Teorema 8. Exemplos: 1) Considere a série: n n n nå ¥ = ÷ ø ö ç è æ + - 1 13 , podemos verificar pelo Teste da Raiz que: 1 3 1 13 limlim <=÷ ø ö ç è æ + -= +¥®+¥® n n n n nn n na , logo a série converge absolutamente. 2) Consideremos a série ( )å ¥ = - 1 2 2 n n n , pelo Teste da Raiz temos: ( ) 122limlim 2 >= - = +¥®+¥® n n n n nn n a , logo a série diverge.
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