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Engenharia Civil - Campus Estoril Geometria Analítica e Álgebra Linear - Lista de Exercícios Professor: Luiz Carlos Fernandes Vetores Questão 1. Dados os vetores ~u = (1,−1), ~v = (2, 0) e ~w = (3,−2) determine: (a) |~u+ ~v| (b) |~u− ~v| (c) |~u|+ |~v| (d) |3~u|+ 5|~v| (e) |~u|+ | − 2~v|+ | − ~w| (f ) |~u|+ 2~v Questão 2. Represente no sistema de coordenadas cartesianas o vetor com origem em A e extremidade em B. A seguir determine seu módulo e seu versor. Represente novamente o vetor e seu versor com origem na origem do sistema de coordenadas. (a) A = (2, 3) e B = (−1, 0) (b) A = (5,−2) e B = (−2, 1) (c) A = (3,−5) e B = (0, 0) (d) A = (2, 0, 5) e B = (0, 5, 5) (e) A = (2, 3, 0) e B = (0, 0, 4) Questão 3. Dado o vetor ~u = (1, 2) determine o valor de k tal que |k~u| = 5. Questão 4. Determine os escalares c1 e c2 tais que c1(2,−1) + c2(−1,−1) = (5, 1). Questão 5. Dados os vetores ~u = (1, 2), ~v = (4,−2) e ~w = (6, 0), determine (a) ~u · (7~v+ ~w) (b) |(~u · ~w)~w| (c) |~u|(~v · ~w) (d) (|~u|~v) · ~w Questão 6. O que se pode afirmar sobre o ângulo formado entre os vetores ~u e ~v quando (a) ~u · ~v > 0 (b) ~u · ~v < 0 (Dica: lembre-se que o produto escalar pode ser calculado por ~u · ~v = |~u||~v| cos θ e analise o sinal do cosseno no ciclo trigonométrico.) Questão 7. Determine se o ângulo formado entre os vetores ~u e ~v é agudo, obtuso ou se os vetores são ortogonais. (a) ~u = (0, 0, 1) e ~v = (8, 3, 4) (b) ~u = (−7, 1, 3) e ~v = (5, 0, 1) (c) ~u = (2, 6, 0) e ~v = (−9, 3, 0) (d) ~u = (−1, 3, 3) e ~v = (9, 1, 2) Questão 8. Deterimine um vetor simultaneamente ortogonal a ~u e ~v (a) ~u = (−1,−1,−1) e ~v = (2, 0, 2) (b) ~u = (−7, 3, 1) e ~v = (2, 0, 4) Questão 9. Determine a área do paralelogramo de vértices (a) A(0, 1), B(3, 0), C(5,−2) e D(2,−1). Dica: considere cada ponto (x, y) do plano como o ponto (x, y, 0) do espaço tridimensional. (b) A(1, 1, 0), B(3, 1, 0), C(1, 4, 2) e D(3, 4, 2). Questão 10. Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores ~u e ~v nos seguintes casos. (a) |~u| = 3, |~v| = 4 e o ângulo entre eles é 60o. (b) ~u · ~v = 3√2, |~u| = 2 e |~v| = 3. (c) ~u ⊥ ~v, ~u e ~v unitários. (d) ~u · ~v = −1, ~u é unitário e |~v| = 2|~u|. 1 Questão 11. Determine a área do triângulo de vértices: (a) A(2, 6,−1), B(1, 1, 1), C(4, 6, 2). (b) A(2, 2, 0), B(−1, 0, 2), C(0, 4, 3). (c) A(1, 2), B(3, 5), C(2,−4). Dica: Lembre-se que todo triângulo é metade de um paralelogramo. Questão 12. Determine k para que o triângulo de vértices A(1, 2, 3), B(0,−1,−1) e C(k, 1, 1) seja retângulo em A. Questão 13. Determine o volume do tetraedro ABCD de arestas AB, AC e AD e vértices A(1, 1, 1), B(2, 0, 3), C(4, 1, 7) e D(3,−1,−2). (Dica: Um tetraedro é uma pirâmide de base triangular e seu volume é 1 6 do volume do paralelepípedo gerado pelas arestas dadas. ) Questão 14. Verifique se os pontos A(4, 0,−1), B(1, 1, 1), C(−1, 1,−4) e D(2, 1, 3) são coplanares. (Dica: use o produto vetorial.) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Algumas respostas 1. (a) √ 10; (c) √ 2 + 2; (e) √ 2 + 4 + √ 13; (f) impossível. 2. (a) 3 √ 2 e 1√ 2 (−1,−1); (b) √58 e 1√ 58 (−7, 3); (e) √29 e 1√ 29 (−2,−3, 4). 3. k = ±√5. 4. c1 = 2 e c2 = −1. 5. (a) 6; (b) 36; (c) 24 √ 5; (d) 24 √ 5. 7. (a) agudo; (b) obtuso; (c) ortogonais; (d) ortogonais. 8. ~u× ~v. 9. (a) 4; (b) 2 √ 3. 10. (a) 6 √ 3; (b) 3 √ 2; (c) 1; (d) √ 3. 11. (a) √ 374 2 ; (c) 15 2 . 12. k = 12. 13. 21. 14. Não. Bibliografia SANTOS, Fabiano José, FERREIRA, Silvimar F. Geometria Analítica, Bookman, 2009. 2
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