Guia de Estudos Teorema da Divergencia

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Roteiro de estudos:
O Teorema da Divergeˆncia
O Teorema da Divergeˆncia, tambe´m chamado Teorema de Gauss, relaciona o fluxo de um
campo calculado sobre uma superfı´cie fechada S com a integral tripla da divergeˆncia desse
campo calculado sobre a regia˜o so´lida interior a` superfı´cie S.∫∫
S
~F · d~S =
∫∫∫
E
div~FdV,
em que E e´ a regia˜o so´lida interior a` superfı´cie S. (Dito de outra forma, S e´ a “casca” da regia˜o
so´lida E.) O campo ~F deve ser de classe C1 (derivadas parciais contı´nuas) em toda uma regia˜o
envolvendo E.
Em geral, dificuldades que ocorreram na aplicac¸a˜o do Teorema de Green repetem-se aqui:
a) se a superfı´cie dada S na˜o for fechada, o Teorema da Divergeˆncia so´ podera´ ser aplicado se
“fecharmos” S; b) se o campo ~F na˜o for C1 em E (em geral, ~F deixa de ser C1 apenas em um
ponto) ou “cuidamos” da singularidade de ~F ou enta˜o evitamos a singularidade de ~F.
Estude com cuidado os Exemplos 1 e 2. Se retira´ssemos, no Exemplo 2, o “fundo” da regia˜o
E (isto e´, o plano z = 0) terı´amos um exemplo tı´pico em que o Teorema da Divergeˆncia na˜o
poderia ser diretamente aplicado. Para resolveˆ-lo, colocarı´amos o fundo z = 0, aplicarı´amos
o Teorema da Divergeˆncia e calcuları´amos diretamente o valor∫∫
S1
~F · d~S
com S1 denotando o fundo z = 0.
Estude enta˜o o texto apo´s o Exemplo 2 e enta˜o o Exemplo 3 do livro. Esse u´ltimo trata
de um caso em que o campo ~F tem uma singularidade na origem. (O Exemplo 3 e´ ana´logo
ao Exemplo 5 da sec¸a˜o sobre o Teorema de Green. Fac¸a uma comparac¸a˜o entre a soluc¸a˜o de
ambos!)
O Exercı´cio 12 da 4a. Lista e´ um caso em que o Teorema da Divergeˆncia na˜o pode ser di-
retamente aplicado, pois a superfı´cie dada na˜o e´ fechada. Simplesmente fechar completando
com a parte inferior do elipso´ide na˜o e´ uma soluc¸a˜o, pois enta˜o o campo teria uma singulari-
dade na origem e novamente o Teorema da Divergeˆncia na˜o poderia ser aplicado!