Hipóteses - Bernoulli

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Fenômeno dos Transportes - Hidráulica III
Prof. Antonio da Hora
• Hidrodinâmica, Generalidades, Teorema de Bernoulli;
• Escoamento a Superfície Livre - Canais;
• Escoamento em Orifícios;
• Vertedores;
• Escoamento em encanamentos e Condutos;
• Condutos forçados;
• Estações elevatórias;
• Transiente Hidráulico;
• Encanamentos equivalentes; Condutos mistos;
Problemas dos reservatórios
• Distribuição em marcha; Vazão variável; Redes
hidráulicas;
• Avaliação e Visitas Técnicas
HIDRODINÂMICA, GENERALIDADES -
TEOREMA DE BERNOULLI
• Vazão ou Descarga
Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de
líquido que atravessa essa seção na unidade de tempo.
No sistema prático de unidades, a vazão é expressa em m3/s.
Freqüentemente, porém, exprime-se a vazão em outras unidades
múltiplas ou submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é
comum empregarem-se litros por segundo ou ainda m3/h.
• Classificação dos Movimentos
CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
Movimento permanente é aquele cujas característica (força, velocidade,
pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o
movimento permanente, a vazão é constante.
As características do movimento variado, além de mudarem de ponto para
ponto, variam de instante para instante, isto é, são função do tempo.
O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece
constante ao longo da corrente. Neste caso, as seções transversais da
corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser
acelerado ou retardado.
Movimento permanente é aquele cujas característica (força, velocidade,
pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o
movimento permanente, a vazão é constante.
As características do movimento variado, além de mudarem de ponto para
ponto, variam de instante para instante, isto é, são função do tempo.
O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece
constante ao longo da corrente. Neste caso, as seções transversais da
corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser
acelerado ou retardado.
Tipos de Regime
• No regime laminar as trajetórias das partículas em
movimento são bem definidas e não se cruzam. Já no
regime turbulento estas trajetórias se cruzam e o
movimento é desordenado. Na prática o escoamento
d’água, do ar e de outros fluidos poucos viscosos
ocorre sempre em regime turbulento.
• Número de Reynolds:
 É um parâmetro que leva em contra a velocidade de
escoamento do fluido, o diâmetro ou profundidade do
conduto (dimensão linear típica) e a viscosidade
cinemática do fluido. R e = v . L / νννν, onde:
v – velocidade do fluido,
L – dimensão linear típica e
νννν - viscosidade cinemática.
(νννν - vü, letra grega)
• Qualquer que seja o sistema de unidades, o valor de
RE = será o mesmo. Por exemplo no sistema MKS : v
em m/s, L em m e νννν em m2/s, portanto o parâmetro RE
é adimensional.
No caso de escoamento em tubos de seção circular,
considera-se o diâmetro como dimensão típica . Para
seções não circulares, toma-se o número de Reynolds,
como:
• R e = 4 RH . v / νννν, onde:
RH – Raio Hidráulico
(razão entre perímetro molhado e a seção molhada)
Entende-se por perímetro molhado, o perímetro da
seção molhada do conduto e por seção molhada a
área da seção líquida do conduto em escoamento.
• Por exemplo: o RH de um conduto circular a meia
seção é igual a:
• RH = [ππππ.D2 / 2] ÷÷÷÷ [ .ππππ.D / 2] = D / 4
Para canais ou condutos livres considera-se a
profundidade como a dimensão linear típica. Se o
escoamento ocorre com RE > 4000, o movimento
em condições normais é turbulento. O
escoamento em regime laminar ocorre estável
com RE < 2000. Entre os valores de 2000 a 4000
pode ocorrer regime laminar ou turbulento,
portanto instável.
Linhas e Tubos Correntes
• Com a finalidade de melhor analisar o movimento dos
fluidos, define-se: Linhas de corrente como linhas
orientadas segundo a velocidade do líquido não
interceptando nenhuma das suas partículas. Em cada
ponto de uma linha de corrente, passa em cada instante
t, uma partícula de fluido, animada com uma velocidade
v. As linhas de corrente são as curvas que no instante t
considerado, mantêm-se tangentes em todos os pontos
à velocidade v.
• Admitindo-se que o campo das velocidades v seja
contínuo, pode-se considerar um tubo de corrente
como delimitado por linhas de corrente. Um tubo de
corrente de dimensões infinitesimais é chamado de
filete de corrente.
Linhas e Tubos Correntes
Filetes de corrente
V1
ds1 V2
ds2
Equação da Continuidade
• Considerando-se o trecho de um tubo de corrente, conforme
indicado na figura, com as seções ds1 e ds2 e velocidades
respectivas V1 e V2, a quantidade de líquido de peso específico y que
passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será:
• dW1 = y1 V1 ds1
• Uma corrente de dimensões finitas seria integrada por um grande
número de tubos de corrente, de modo que
∫ γ=γ= 1111111 VSdsVW
• Onde V1 é a velocidade média na seção.
• Para a outra seção teríamos:
• W2 = y2.S2.V2
• Tratando-se de movimento permanente, a quantidade de líquido
entrando na S1 iguala-se à que sai por S2,
• y1.S1.V1 = y2.S2.V2
E, ainda, praticamente, se o líquido for considerado
incompressível (y1 = y2),
S1.V1 = S2.V2.
De modo geral,
Q = S1.V1 = S2.V2 = S.V = constante,
Q = S.V,
Q = vazão (m3/s);
V = velocidade média na seção (m/s);
S = área da seção de escoamento (m2) ==>(A)
Essa equação é de grande importância em todos os
problemas da Hidrodinâmica.
• EXERCÍCIO 1: Verificou-se que a velocidade econômica para uma
extensa linha de recalque é 1,05 m/s. A vazão necessária a ser
fornecida pelas bombas é de 450 m3/hora. Determinar o diâmetro da
linha.
.s/l125s/m125,0
6060
hora/m450Q 3
3
==
×
=
2m119,0
05,1
125,0
V
QSVSQ ===∴⋅=
m39,0119,0x4Dm119,0D
4
1 22
=
π
=∴=π
No mercado encontram-se os seguintes diâmetros comerciais:
350 mm, ==> S = 0,0962 m2;
400 mm, ==> S = 0,1257 m2;
450 mm, ==> S = 0,1590 m2.
Adotando-se 400 mm (16”), a velocidade resultará em:
É o diâmetro que mais se aproxima da condição econômica. Se fosse
adotado o diâmetro imediatamente inferior (350 mm), a velocidade se
elevaria para 1,30 m/s, aumentando a potência das bombas e,
consequentemente o consumo de eletricidade.
s/m0,1
1257,0
125,0
S
QV ≅==
Exercício 2: Em edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável,
devida ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição
de 60 mm de diâmetro, é de 7,5 litros/s.
Determinar a velocidade de escoamento.
Essa velocidade é admissível pelas normas para o diâmetro de 75mm
(Vmáx = 2,5 m/s) ver normas ABNT.
s/m65,2
00283,0
s/m0075,0
S
QVV.SQ
3
===∴=
Teorema de Bernoulli para Líquidos Perfeitos
A Figura acima mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa
um líquido de peso específico y. Nas duas partes indicadas, de áreas
A1 e A2, atuam as pressões p1 e p2, sendo as velocidades,
respectivamente, V1 e V2 .
As partículas, inicialmente em A1, num pequeno intervalo de tempo,
passam a A’1, enquanto que as A2 movem para A’2.
Serão investigadas apenas as forças que produzem trabalho,
deixando-se de considerar aquelas que atuam normalmente à
superfície lateral do tubo.
De acordo com o teorema das forças vivas, “variação da força viva
em um sistema iguala o trabalho total de todas as forças que agem
sobre o sistema”.
Assim, considerando-se a variação da energia cinética (1/2 MV2)
22
1
2
2 MV2
1VM
2
1MV
2
1
=−
Sendo o líquido incompressível, yA1dS1=yA2dS2=yVol
e a soma dos trabalhos das forças externas ( empuxo e gravidade -
não há atrito por se tratar de líquido perfeito) será:
p1A1dS1-p2A2dS2+yVol(Z1-Z2).
Identificando,
( ) ( )VolZZVolPPVVolg2
1VVol
g2
1
2121
2
1
2
2 −γ+−=⋅
γ
−⋅
γ
De modo que simplificando,
21
21
2
1
2
2 ZZpp
g2
V
g2
V
−+
γ
−
γ
=−
É o conhecido e importantíssimo teorema de Bernoulli, que pode ser
enunciado:
“Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das
alturas cinéticas(V2/2g), piazométrica(p/y) e geométrica(Z)”
O teorema de Bernoulli não é senão o princípio da conservação da
energia.
V2/2g = energia cinética (força viva para o peso unitário);
p/y = energia de pressão ou piezométrica;
Z = energia de posição ou potencial.
tetanconsZp
g2
VZp
g2
V
2
2
2
2
1
1
2
1
=+
γ
+=+
γ
+
Exercício 1: A água escoa pelo tubo indicado na figura, cuja seção
varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100cm2 para 50 cm2. Em 1, a
pressão é de 0,5 kg/cm2 e a elevação 100,00m, ao passo que , no
ponto 2 a pressão é de 3,38 kg/cm2 na elevação 70,00m. Calcular a
vazão em l/s.
2
2
2
2
1
1
2
1 Zp
g2
VZp
g2
V
+
γ
+=+
γ
+
70
1000
33800
g2
V100
m/kg1000
m/kg5000
g2
V 22
3
22
1 ++=++
708,33
g2
V1005
g2
V 22
2
1 ++=++
52,232,181,92VV2,18,103105
g2
V
g2
V 2
1
2
2
2
1
2
2
=××=−⇒=−=−
100,0m 70,0m
1
2
Como a seção no ponto 1 tem uma área duas vezes maior que a do
ponto 2, com a mesma vazão, a velocidade no ponto 2 será duas
vezes maior também. De acordo com a equação da continuidade
temos:
122211 V2VVSVSQ =∴×=×=
Substituindo,
( ) 52,23VV4VV2 21212121 =−=−×
s/m8,284,7
3
52,23V1 ===
s/l28s/m0028,08,201,0VSVSQ 311 ==×=×=×=
Exercício 2: De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm
de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma
redução para 125mm; do tubo de 125mm, a água passa para a atmosfera
sob a forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a
pressão na seçãop inicial da tubulação de 250mm (10”); a altura de água H
na barragem; a potência bruta do jato.
2
2
2
2
1
1
2
1 Zp
g2
VZp
g2
V
+
γ
+=+
γ
+
Z1 = Z2 = 0
0p2 =
γ
g2
V
g2
Vp 21
2
21
−=
γ
s/m32,8
01265,0
105,0Vs/m08,2
0505,0
105,0V 21 ==⇔==
m30,320,050,3
6,19
08,2
6,19
32,8p 221
=−=−=
γ
da mesma forma, calcula-se a altura de água,
m5,320,030,3
g2
VpH
2
11
=+=+
γ
=
Determina-se então, a potência bruta do jato, sabendo-se que a potência em
cv (ou HP, diferença desprezível) pode ser expressa por:
η
××γ
=
75
HQP man
cv9,4
75
50,3105Potência =×=
y = peso específico do líquido (água = 1000 kg/m3);
Q = vazão em m3/s;
Hman = altura manométrica em metros;
 = rendimento global (igual a 1)η
Exercício 3 : Em um canal de concreto ( figura a seguir), a profundidade é
de 1,20 metros e as águas escoam com uma velocidade média de 2,40 m/s,
até um certo ponto, onde, devido a uma queda, a velocidade se eleva a
12,00 m/s, reduzindo a profundidade a 0,60 metros. Desprezando-se as
possíveis perdas por atrito, determinar a diferença de nível entre as duas
partes da canal.
2
2
2
2
1
1
2
1 Zp
g2
VZp
g2
V
+
γ
+=+
γ
+
( ) 6,00
g2
V20,1Y0
g2
V 22
2
1 ++=+++
60,040,7Y20,130,060,0
6,19
0,12Y20,1
6,19
40,2 22
+=++⇒+=++
m50,650,100,8Y =−=
Extensão do teorema de Bernoulli
aos casos Práticos
Na dedução do teorema de Bernoulli foram feitas vérias hipóteses:
a o escoamento do líquido se faz sem atrito: não foi considerada a influência
da viscosidade;
b o movimento é permanente;
c o escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente (de dimensões
infinitesimais);
d o líquido é incompressível.
A experiência não confirma rigorosamente o teorema de Bernoulli, isto
porque os fluidos reais (naturais) se afastam do modelo perfeito. A
viscosidade e o atrito externo são os principais responsáveis pela
diferença; em conseqüência das forças de atrito, o escoamento ocorre com
uma perda de energia: perda de carga (a energia se dissipa sob forma de
calor).
Por isso se introduz na equação de Bernoulli um termo corretivo hf (perda
de carga).
f2
2
2
2
1
1
2
1 hZp
g2
VZp
g2
V
++
γ
+=+
γ
+
Além da correção acima, uma outra deve ser mencionada: a dedução foi
feita para um tubo de corrente considerando-se determinada velocidade
para cada seção. Na prática, porém, o que se verifica é a variação de
velocidade de ponto para ponto numa mesma seção. Nessas condições, o
que se tem não é uma velocidade única, mas sim uma distribuição de
velocidades. Daí uma correção para o termo V2/2g:
f2
2
2
2
1
1
2
1 hZp
g2
VZp
g2
V
++
γ
+=+
γ
+
f2
2
2
2
1
1
2
1 hZp
g2
VZp
g2
V
++
γ
+α=+
γ
+α
 = coeficiente de correção (coeficiente de Coriolis)
V1 = velocidade média na seção igual a Q/S1
Na pratica este coeficiente esta próximo de 1 por isso é omitido em muitos casos.
α