Aula Pre Geometria Analítica e Algebra Linear

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Universidade Estadual do Oeste do Parana´ - Campus Toledo
GA & AL - Prof. Marcos Freitas de Moraes
Revisa˜o de GA & AL
Reta Real, Valor Absoluto, Geometria Anal´ıtica, Matrizes
1. Reta Real
Todos os conceitos do ca´lculo baseiam-se em propriedades do conjunto R dos nu´meros reais. Ha´ uma correspondeˆncia
biun´ıvoca entre R e os pontos de uma reta real (reta coordenada) l conforme ilustrado abaixo, onde 0 e´ a origem. O nu´mero 0
(zero) na˜o e´ nem positivo nem negativo.
Se a e b sa˜o reais, enta˜o a > b (a e´ maior que b) se a − b e´ positivo. Vemos que a > b, se e somente se (see), a
correspondente ao ponto A esta´ a` direita do ponto B correspondente a b.
1.1. Propriedades das Desigualdades
i) se a > b e b > c, enta˜o, a > c;
ii) se a > b, enta˜o, a + c > b + c;
iii) se a > b, enta˜o, a− c > b− c;
iv) se a > b e c e´ positivo, enta˜o, ac > bc;
v) se a > b e c e´ negativo, enta˜o, ac < bc;
2. Valor Absoluto
E´ a distaˆncia entre o ponto correspondente ao valor a` origem.
O valor absoluto |a| de um nu´mero real a define-se como:
|a| =
{
a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
2.1. Propriedades do Valor Absoluto
Se a e b sa˜o dois nu´meros reais quaisquer, enta˜o sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
i) |a| < b, see, −b < a < b;
ii) |a| > b, see, a > b ou a < −b;
iii) |a| = b, see, a = b ou a = −b
iv) |a + b| ≤ |a|+ |b|;
v) |a.b| = |a|.|b|;
vi) |a− b| ≥ ||a| − |b||.
3. Algumas Fo´rmulas de Geometria Anal´ıtica
3.1. Fo´rmula da Distaˆncia: A distaˆncia entre P1 e P2 e´ dP1P2 =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
3.2. Fo´rmula do Ponto Me´dio: O ponto me´dio entre o segmento P1P2 e´ M =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
.
3.3. Equac¸a˜o de um C´ırculo: (x − a)2 + (y − b)2 = r2, onde a e b sa˜o as coordenadas do centro do c´ırculo. Se
a = b = 0 o c´ırculo esta´ na origem e sua equac¸a˜o se reduz a x2 + y2 = r2.
3.4. Equac¸a˜o de uma Reta: y = mx + b, onde m e´ coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta.
3.4.1. Coeficiente Angular: m =
y2 − y1
x2 − x1 .
3.4.2. Forma Ponto - Coeficiente Angular: y − y1 = m(x− x1).
3.4.2. Intersecc¸a˜o de Duas Retas: A intersecc¸a˜o de duas retas se da´ pelo sistema de suas equac¸o˜es ou igualando as
equac¸o˜es.
4. Intervalos
A representac¸a˜o de intervalos se da´ por meio de ( ) e/ou [ ], onde ( ) representam intervalos abertos e [ ] representam
intervalos fechados. Caso haja uma combinac¸a˜o entre os dois, significa que um ponto e´ aberto e o outro e´ fechado, por exemplo
(a, b].
Exerc´ıcios
I. Reescreva, sem usar o s´ımbolo de valor absoluto.
(a) (−5)|3− 6|; (b) |−6|−2 ; (c) | − 7|+ |4|.
II. Resolva as desigualdades e exprima a soluc¸a˜o em termos de intervalos, quando poss´ıvel.
(a) 2x + 5 < 3x− 7; (b) −2 < 4x−13 ≤ 0; (c) |x + 2| ≥ 0, 001
III. Determine (a) d(A,B) e (b) o ponto me´dio de AB.
(a) A(4,−3), B(6, 2); (b) A(−2,−5), B(4, 6)
IV. Mostre que o triaˆngulo com ve´rtices A(8, 5), B(1,−2) e C(−3, 2) e´ retaˆngulo e calcule sua a´rea.
V. Trace o gra´fico das equac¸o˜es: (a) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 9, (b) x = 14y2 e (c) y = −
√
16− x2
VI. Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia tangente a ambos os eixos, centro no segundo quadrante com raio 4.
VII. Encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as condic¸o˜es indicadas.
(a) Passa por A(5,−3), coeficiente angular −4;
(b) Passa por A(−1, 4), coeficiente angular 23 ;
(c) Intercepto-x 4, intercepto-y −3;
(d) Passa por A(5, 2), B(−1, 4);
(e) Passa por A(2,−4) e e´ paralela a` reta 5x− 2y = 4;
VIII. Trace os gra´ficos das retas e determine seu ponto de intersecc¸a˜o.
(a) 2x + 5y = 16; 3x− 7y = 24
IX. Calcular o determinante
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 1 0 2
0 0 1 0 1
−1 1 1 1 −1
0 2 1 0 1
0 0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
X. Construir a matriz A4×4 ∈Mm×n de acordo com a lei A4×4
{
i + j2, se i = j
i2 − j, se i 6= j
2