Complexas L1

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Coordenac¸a˜o de Engenharia Ele´trica
Disciplina:Varia´veis Complexas
Professor:Alexandre Lima
Lista 1
1. Coloque na forma alge´brica os seguintes nu´meros complexos:
(a)
2
i
(b)
3
2 + i
(c)
1 + 2i
3− i
(d)
i9
4− 3i
2. Qual e´ o conjugado de
1 + 3i
2− i ?
3. Variando o inteiro n, quais os poss´ıveis valores que o nu´mero complexo
(
1 + i
1− i
)n
pode assumir?
4. Determine x ∈ R de modo que o nu´mero z = 2− xi
1 + 2xi
seja imagina´rio puro.
5. Determine a ∈ R de modo que o nu´mero z = 1 + 2i
2 + ai
seja real.
6. Mostre que o nu´mero complexo z = cos 48◦+sin 48o e´ raiz da equac¸a˜o z10+z5+1 = 0
7. Represente geometricamente o conjunto dos nu´meros complexos z tais que
|z − (1 + i)| ≤ 1.
8. A soma das ra´ızes da equac¸a˜o z3 + z2 + 2z − |z|2 = 0, z ∈ C e´:
(a) 2
(b) -2
2
(c) 0
(d) -1
(e) 3
9. Um jantar secreto e´ marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do
relo´gio forem representadas pelos nu´meros complexos z e w a seguir:
z = α
[
cos
pi
2
+ i sin
pi
2
]
e w = z2.
Determine a hora do jantar.
10. Calcule as ra´ızes de ordem 4 do complexo z = e
pi
2
i.
11. Seja o nu´mero complexo z = x+3i, em que x e´ um nu´mero real negativo. Se |z| = 6,
enta˜o a forma trigonome´trica de z e´:
(a) 6
(
cos
2pi
3
+ i sin
2pi
3
)
(b) 6
(
cos
5pi
6
+ i sin
5pi
6
)
(c) 6
(
cos
4pi
3
+ i sin
4pi
3
)
(d) 6
(
cos
5pi
3
+ i sin
5pi
3
)
(e) 6
(
cos
11pi
6
+ i sin
11pi
6
)
12. No jogo Batalha Complexa sa˜o dados nu´meros complexos z e w, chamados mira
e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w e´ o nu´mero complexo t tal que
tz = w.
3
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro
de z em w.
13. Se argz =
pi
4
enta˜o um valor para o arg(−2iz) e´ :
(a) −pi
2
(b)
pi
4
(c)
pi
2
(d)
3pi
4
(e)
7pi
4
14. Se z e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o em C,
z − z + |z|2 = −
[
(
√
2 + i)
(√
2− 1
3
− i
√
2 + 1
3
)]12
,
pode-se afirmar que:
(a) i(z − z) < 0
(b) |z| ∈ [6, 7]
(c) i(z − z) > 0
(d)
∣∣∣∣z + 1z
∣∣∣∣ > 8
(e) |z| ∈ [5, 6]
15. Considere a famı´lia de curvas do plano complexo, definida por Re
(
1
z
)
= C, onde
z e´ um nu´mero complexo na˜o nulo e C e´ uma constante real positiva. Para cada C
temos uma:
(a) circunfereˆncia com centro no eixo real e raio igual a C.
(b) circunfereˆncia com centro no eixo real e raio igual a
1
C
.
(c) circunfereˆncia tangente ao eixo real e raio igual a
1
2C
.
(d) circunfereˆncia tangente ao eixo imagina´rio e raio igual a
1
2C
.
(e) circunfereˆncia com centro na origem do plano complexo e raio igual a
1
C
.
4
16. Os argumentos principais das soluc¸o˜es da equac¸a˜o em z,
iz + 3z + (z + z)2 − i = 0,
pertencem a
(a)
]
pi
4
, 3pi
4
[
(b)
]
3pi
4
, 5pi
4
[
(c)
[
5pi
4
, 3pi
2
[
(d)
]
pi
4
, pi
2
[ ∪ ]3pi
2
, 7pi
4
[
(e)
]
0, pi
4
[ ∪ ]7pi
4
, 2pi
[
17. O nu´mero natural n tal que
(2i)n + (1 + i)2n = −16i
vale:
(a) n = 6
(b) n = 8
(c) n = 3
(d) n = 4
(e) Na˜o existe n nestas condic¸o˜es.
18. Se x +
1
x
= 2 cosα, enta˜o verifique que xn + 1
xn
= 2 cosnα, para todo x ∈ C na˜o
nulo.
19. Considere as equac¸o˜es z3 = 1 e z2+(2+ i)z+2i = 0 onde z ∈ C. Seja S1 o conjunto
das ra´ızes da primeira equac¸a˜o e S2 o da segunda. Enta˜o:
(a) S1 ∩ S2 e´ vazio
(b) S1 ∩ S2 ⊂ R
(c) S1 possui apenas dois elementos distintos
(d) S1 ∩ S2 e´ unita´rio
(e) S1 ∩ S2 possui dois elementos.
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20. Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade
pi
4
= arctan
1
2
+ arctan
1
3