Mostre que se lim ~r→~r0 f(~r ) = L1 e lim ~r→~r0 g(~r ) = L2, então (a) lim ~r→~r0 (f(~r ) + g(~r )) = L1 + L2; (b) lim ~r→~r0 (α · f(~r )) = α · ...

(a) Para mostrar que lim ~r→~r0 (f(~r ) + g(~r )) = L1 + L2, podemos usar a definição de limite. Se lim ~r→~r0 f(~r ) = L1 e lim ~r→~r0 g(~r ) = L2, então para qualquer ε > 0, existem δ1 e δ2 tais que se 0 < |~r - ~r0| < δ1, então |f(~r ) - L1| < ε/2 e se 0 < |~r - ~r0| < δ2, então |g(~r ) - L2| < ε/2. Escolhendo δ = min{δ1, δ2}, temos que se 0 < |~r - ~r0| < δ, então |f(~r ) + g(~r ) - (L1 + L2)| ≤ |f(~r ) - L1| + |g(~r ) - L2| < ε/2 + ε/2 = ε. Portanto, lim ~r→~r0 (f(~r ) + g(~r )) = L1 + L2. (b) Para mostrar que lim ~r→~r0 (α · f(~r )) = α · L1 ∀α ∈ R, podemos usar a mesma ideia da parte (a). Se lim ~r→~r0 f(~r ) = L1, então para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < |~r - ~r0| < δ, então |f(~r ) - L1| < ε/|α|. Então, se 0 < |~r - ~r0| < δ, temos |α · f(~r ) - α · L1| = |α| · |f(~r ) - L1| < |α| · ε/|α| = ε. Portanto, lim ~r→~r0 (α · f(~r )) = α · L1. (c) Para mostrar que lim ~r→~r0 (f(~r ) · g(~r )) = L1 · L2, podemos usar a mesma ideia das partes (a) e (b). Se lim ~r→~r0 f(~r ) = L1 e lim ~r→~r0 g(~r ) = L2, então para qualquer ε > 0, existem δ1 e δ2 tais que se 0 < |~r - ~r0| < δ1, então |f(~r ) - L1| < sqrt(ε/2L2) e se 0 < |~r - ~r0| < δ2, então |g(~r ) - L2| < sqrt(ε/2L1). Escolhendo δ = min{δ1, δ2}, temos que se 0 < |~r - ~r0| < δ, então |f(~r ) · g(~r ) - L1 · L2| = |f(~r ) · g(~r ) - f(~r ) · L2 + f(~r ) · L2 - L1 · L2| ≤ |f(~r )| · |g(~r ) - L2| + |L2| · |f(~r ) - L1| < sqrt(ε/2L2) · sqrt(ε/2L1) + sqrt(ε/2L1) · sqrt(ε/2L2) = ε. Portanto, lim ~r→~r0 (f(~r ) · g(~r )) = L1 · L2. (d) Para mostrar que lim ~r→~r0 (f(~r ) / g(~r )) = L1 / L2 se L2 ≠ 0, podemos usar a mesma ideia das partes (a), (b) e (c). Se lim ~r→~r0 f(~r ) = L1 e lim ~r→~r0 g(~r ) = L2 ≠ 0, então para qualquer ε > 0, existe δ1 > 0 tal que se 0 < |~r - ~r0| < δ1, então |f(~r ) - L1| < ε/2|L2|^2 e existe δ2 > 0 tal que se 0 < |~r - ~r0| < δ2, então |g(~r ) - L2| < ε/2(2|L2|)^2. Escolhendo δ = min{δ1, δ2}, temos que se 0 < |~r - ~r0| < δ, então |f(~r ) / g(~r ) - L1 / L2| = |(f(~r ) - L1) / g(~r ) + L1 · (g(~r ) - L2) / (g(~r ) · L2)| ≤ |f(~r ) - L1| / |g(~r )| + |L1| · |g(~r ) - L2| / (|g(~r )| · |L2|) < ε/2|L2|^2 / |L2| + |L1| · ε/2(2|L2|)^2 / (|L2| · |L2|) = ε. Portanto, lim ~r→~r0 (f(~r ) / g(~r )) = L1 / L2.