Lista 5 Funções Racionais

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Centro Universita´rio UNA
Ca´lculo - Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
Professora: Lucinea do Amaral
1. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 7x − 6 = 0 possui uma raiz igual a 3. Calcule as demais
ra´ızes, coloque o polinoˆmio P (x) = x3 − 7x− 6 na forma fatorada e estude seu sinal.
2. Determine as ra´ızes, escreva a forma fatorada e estude o sinal das func¸o˜es polinomiais a
seguir.
(a) f(x) = x3 − 4x.
(b) f(x) = x3 − 6x2 + 9x.
(c) f(x) = −2x3 + 8x2 − 6x.
(d) f(x) = x3 − 1.
(e) f(x) = x3 + x2 − 5x+ 3.
(f) f(x) = x3 − x2 − 9x+ 9.
(g) f(x) = −x4 + 5x3 − 8x2 + 4x.
(h) f(x) = x4 + 5x3 − x2 − 17x+ 12.
3. Determine o domı´nio, as ra´ızes, o intercepto com o eixo y e estude o sinal das seguintes
func¸o˜es.
(a) f(x) =
2
x− 4.
(b) f(x) =
x
2x+ 3
.
(c) f(x) =
x+ 9
4− 3x .
(d) f(x) =
3x− 1
(x− 1)2 .
(e) f(x) =
2x+ 6
x2 + 6x+ 9
.
(f) f(x) =
3− x
x2 − 4.
(g) f(x) =
x2 − 6x+ 5
x− 3 .
(h) f(x) =
x2 − 2x+ 2
2x+ 4
.
1
(i) f(x) =
x2 − 1
x2 − 7x .
(j) f(x) =
x3 − 9x
9− x2 .
(k) f(x) =
x3 − 2x2 + x
x2 + x− 2 .
(l) f(x) =
x3 + x2 − 2x
x3 + 8
.
(m) f(x) =
x4 + 3x3 − 4x2
4− x .
Respostas
1. P (x) = (x+ 1)(x+ 2)(x− 3).
2. (a) Fatorac¸a˜o: f(x) = x(x− 2)(x+ 2).
Sinal: f(x) > 0 se −2 < x < 0 ou x > 2; f(x) < 0 se x < −2 ou 0 < x < 2; f(x) = 0 se x = 0 ou
x = ±2.
(b) Fatorac¸a˜o: f(x) = x(x − 3)2. Sinal: f(x) > 0 se x < 0 e x 6= 3; f(x) < 0 se x < 0; f(x) = 0 se
x = 0 ou x = 3.
(c) Fatorac¸a˜o: f(x) = −2x(x− 1)(x− 3).
Sinal: f(x) > 0 se x < 0 ou 1 < x < 3; f(x) < 0 se 0 < x < 1 ou x > 3; f(x) = 0 se x = 0, x = 1
ou x = 3.
(d) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)(x2 + x+ 1).
Sinal: f(x) > 0 se x > 1; f(x) < 0 se x < 1; f(x) = 0 se x = 1.
(e) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)2(x+ 3).
Sinal: f(x) > 0 se x > −3 e x 6= 1; f(x) < 0 se x < −3; f(x) = 0 se x = −3 ou x = 1.
(f) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)(x− 2)2.
Sinal: f(x) > 0 se x < 0 ou x > 1 e x 6= 2; f(x) < 0 se 0 < x < 1; f(x) = 0 se x = 0, x = 1 ou
x = 2.
(g) Fatorac¸a˜o: f(x) = −x(x− 2)2(x− 1).
Sinal: f(x) > 0 se 0 < x < 1 ; f(x) < 0 se x < 0 ou x > 1 e x 6= 2 ; f(x) = 0 se x = 0, x = 1 ou
x = 2.
(h) Fatorac¸a˜o: f(x) = (x− 1)2(x+ 3)(x+ 4).
Sinal: f(x) > 0 se x < −4 ou x > −3 e x 6= 1; f(x) < 0 se −4 < x < −3; f(x) = 0 se
x = −4, x = −3 ou x = 1.
3. (a) Domı´nio: R \ {4}. Ra´ızes: na˜o possui ra´ızes reais. Eixo y: (0,− 12).
Sinal: f(x) > 0 se x > 4; f(x) < 0 se x < 4.
(b) Domı´nio: R \ {− 32}. Ra´ızes: x = 0. Eixo y: (0,0).
Sinal: f(x) > 0 se x < − 32 ; f(x) > 0 se − 32 < x < 0; f(x) = 0 se x = 0.
(c) Domı´nio: R \ {43}. Ra´ızes: x = −9. Eixo y: (0, 94).
Sinal: f(x) > 0 se −9 < x < 43 ; f(x) < 0 se x < −9 ou x > 43 ; f(x) = 0 se x = −9.
(d) Domı´nio: R \ {1}. Ra´ızes: x = 13 . Eixo y: (0,-1).
Sinal: f(x) > 0 se x > 13 e x 6= 1; f(x) < 0 se x < 13 ; f(x) = 0 se x = 13 .
(e) Domı´nio: R \ {−3}. Ra´ızes: na˜o possui ra´ızes reais. Eixo y: (0, 23).
Sinal: f(x) > 0 se x > −3; f(x) < 0 se x < −3.
2
(f) Domı´nio: R \ {±4}. Ra´ızes: x = 3. Eixo y: (0,− 34).
Sinal: f(x) > 0 se x < −4 ou 3 < x < 4; f(x) < 0 se −4 < x < 3 ou x > 4; f(x) = 0 se x = 3.
(g) Domı´nio: R \ {3}. Ra´ızes: x = 1 e x = 5. Eixo y: (0,− 53).
Sinal: f(x) > 0 se 1 < x < 3 ou x > 5; f(x) < 0 se x < 1 ou 3 < x < 5.
(h) Domı´nio: R \ {−2}. Ra´ızes: na˜o possui ra´ızes reais. Eixo y: (0, 12).
Sinal: f(x) > 0 se x > −2; f(x) < 0 se x < −2.
(i) Domı´nio: R \ {0, 7}. Ra´ızes: x = ±1. Eixo y: na˜o possui.
Sinal: f(x) > 0 se x < −1, 0 < x < 1 ou x > 7; f(x) < 0 se −1 < x < 0 ou 1 < x < 7; f(x) = 0
se x = ±1.
(j) Domı´nio: R \ {±3}. Ra´ızes: x = 0. Eixo y: (0,0).
Sinal: f(x) > 0 se x > 0 e x 6= 3; f(x) < 0 se x < 0 e x 6= −3; f(x) = 0 se x = ±1.
(k) Domı´nio: R \ {−2, 1}. Ra´ızes: x = 0. Eixo y: (0,0).
Sinal: f(x) > 0 se −2 < x < 0 ou x > 1; f(x) < 0 se x < −2 ou 0 < x < 1; f(x) = 0 se x = 0.
(l) Domı´nio: R \ {−2}. Ra´ızes: x = 0 e x = 1. Eixo y: (0,0).
Sinal: f(x) > 0 se −2 < x < 0 ou x > 1; f(x) < 0 se x < −2 ou 0 < x < 1; f(x) = 0 se x = 0 ou
x = 1.
(m) Domı´nio: R \ {4}. Ra´ızes: x = 0, x = 1 e x = −4. Eixo y: (0,0).
Sinal: f(x) > 0 se x < −4 ou x > 1; f(x) < 0 se −4 < x < 1 e x 6= 0; f(x) = 0 se x = 0 ou x = 1
ou x = −4.
3