Resolução da Lista de exercícios 1- Complementos de RM-7

Prévia do material em texto

1  
  
  
COMPLEMENTO  DE  
RESISTÊNCIA  DOS  MATERIAIS    
  
CARLOS  WALTER  VICENTINI  
  
LISTA  DE  EXERCÍCIOS  1  ±  Tensões    
NOTAS  DE  AULAS  MINISTRADAS  PARA  A  TURMA  DE  ENGENHARIA    
CIVIL  (5º/6º  CICLO)  DA  UNIP      
  
Santos,  agosto  de  2013  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
  
  
  
  
2  
  
  
1. Determinar  o  alongamento  e  a  tensão  normal  atuante  em  uma  barra  
prismática  (figura  abaixo)  com  850  mm  de  comprimento,  seção  transversal  
retangular  de  10  mm  x  20  mm  e  com  módulo  de  elasticidade  E  =  200  GPa.  F  
=  20  kN  
  
Solução  
ı� �1�$� �������1���(0,010  x  0,020)  =  100000000  N/m²  =  100  Mpa  
Supondo  que  está  na  região  elástica  e,  portanto,  obedecendo  a  lei  de  Hooke,  
SRGHPRV�HVFUHYHU��ı� �(�
���/RJR�������0SD� ����
��3  0SD�
�İ  
� ����������
��ñ� ��
��-­4  mm/mm  
İ� �ƩO���O0  SRUWDQWR�ƩO� �İ
O0  =  5*10-­4  *  850  
ƩO� �������PP     Resposta    
2. A  barra  de  aço  da  figura  abaixo  tem  seção  transversal  A  =  10  cm²  e  está  
solicitada  pelas  forças  axiais  representadas.  Determinar  o  alongamento  da  
barra  e  as  tensões  que  atuam  nos  diversos  trechos,  sabendo-­se  que  E  =  
2100  tf/cm².  
  
Solução  
Trecho  AB:    
ƶ)[� ����1�±  10000  =  0  portanto  N  =  10000  kgf  
  
ıAB  =  N/A  =  10000  kgf  /  10  =  1000  kgf/cm²    
&RPR�R�PDWHULDO�p�DoR��ıe  =  2500  kgf/cm²  e  podemos  dizer  que  a  tensão  que  atua  
no  trecho  AB  é  inferior  a  esse  valor,  logo  está  na  região  elástica  e  segue  a  lei  de  
+RRNH��3RUWDQWR��ı� �(�
�İ  
İ  =  1000  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  4,76*10-­4  cm/cm  
3  
  
İ� �ƩO���O0  SRUWDQWR�ƩO� �İ
O0  =  4,76*10-­4  *  2000  mm  
ƩOAB  =  0,95  mm     Resposta  
Trecho  BC:    
ƶ)[� ����1�±  10000  +  3000  =  0  portanto  N  =  7000  kgf  
  
ıBC  =  N/A  =  7000  kgf  /  10  =  700  kgf/cm²  
$QDORJDPHQWH��SRGHPRV�HVFUHYHU��İ  =  700  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  
3,33*10-­4  cm/cm  
İ� �ƩO���O0  SRUWDQWR�ƩO� �İ
O0  =  3,33*10-­4  *  3000  mm  
ƩOBC  =  1  mm    Resposta  
Trecho  CD:  
ƶ)[� ���������-­  N  =  0  portanto  N  =  9000  kgf  
  
ıCD  =  N/A  =  9000  kgf  /  10  =  900  kgf/cm²  
$QDORJDPHQWH��SRGHPRV�HVFUHYHU��İ  =  900  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  
4,29*10-­4  cm/cm  
İ� �ƩO���O0  SRUWDQWR�ƩO� �İ
O0  =  4,29*10-­4  *  4000  mm  
ƩOCD  =  1,72  mm     Resposta  
  
3. A  treliça  Howe  da  figura  suporta  a  força  de  54  t.  Determinar  as  áreas  das  
seções  transversais  das  barras  DE  e  AC,  sabendo-­se  que  a  tensão  admissível  
do  material,  a  tração,  é  de  1400  kgf/cm².  Sendo  de  2  m  o  comprimento  da  
barra  DE,  pergunta-­se  qual  o  seu  alongamento,  admitindo  para  o  módulo  de  
elasticidade  do  material  o  valor  de  E  =  2,1  x  106  kgf/cm².  
Após  a  determinação  das  áreas,  escolha  o  perfil  mais  adequado  da  tabela  dada  
no  final  da  lista  de  exercícios.  
  
4  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
4. Duas  barras  iguais,  de  aço,  são  articuladas  nas  extremidades  e  suportam  
uma  carga  de  45  tf,  tal  como  indicado  na  figura.  Adotando-­se  a  tensão  
admissível  de  2100  kgf/cm²,  pede-­se  determinar  a  área  da  seção  transversal  
dessas  barras  e  o  deslocamento  vertical  do  nó  B.  São  dados:  E  =  2,1  x  106  
kgf/cm²  e  o  comprimento  da  barra  l  =  3  m.  
  
  
Solução:  
  
  
  
  
5  
  
ƶ)\� ���   TAB  cos45°  +  TBC  cos45°  -­  45  tf  =  0  
TAB  cos45°  +  TBC  cos45°  =  45  tf       0,707(TAB  +  TBC)  =  45  
TAB  +  TBC  =  63,64  tf  
ƶFx  =  0:   TBC  cos45°  -­  TAB  cos45°  =  0;;     portanto  TBC  =  TAB    
Logo,     TBC  =  TAB  =  63,64/2  =  31,82  tf  
ıadm  =  2100  kgf/cm²  =  N/A;;     portanto  A  =  N/21000  =  31820/2100  
A  =  15,15  cm²   Resposta  
  
2�GHVORFDPHQWR�YHUWLFDO�p�%%¶,  portanto:  
FRV���ƒ� �ƩOAB�%%¶� �ƩOBC�%%¶  
%%¶� �ƩOAB������� �ƩOBC/0,707  
ƩOAB/l0   �İAB   �ıAB/E  =  N/AE                İAB  =  31820  kgf/(15,15cm²  *  2,1E6  kgf/cm²)  
İAB  =  0,001     ƩOAB   �İAB  *  l0  =  0,001*3000  mm  
ƩOAB  =  3  mm  
3RUWDQWR�%%¶� ���PP������     %%¶� ������PP  Resposta      
  
  
  
5. Considere  o  pino  de  12  mm  de  diâmetro  da  ligação  da  figura.  Sendo  a  força  
P  =  9000  N,  determine  o  valor  da  tensão  média  de  cisalhamento  que  atua  na  
seção  transversal  a-­a  do  pino  considerando  que  sua  distribuição  seja  
uniforme.  Determine  também  as  tensões  de  esmagamento  que  ocorrem  nas  
FKDSDV�GH�HVSHVVXUDV�³c´�H�³d´�  
  
  
Solução:  
Cisalhamento  duplo:  
  
ƶFx  =  0:   V  +  V  ±  P  =  0     2V  =  P     V  =  P/2  
IJ� �9�$� �3��$     IJ� ������1���Ⱥ�����²/4)  
IJ� ������03D   Resposta  
  
Esmagamento  na  chapa  central  -­  d  =  20  mm:  
ıes  =  P/Aproj  =  9000  N  /  (0,012*0,020)     ıes  =  37,5  Mpa   Resposta  
6  
  
Esmagamento  nas  chapas  superior  e  inferior  -­  c  =  15  mm:  
ıes  =  P/2Aproj  =  9000  N  /2  (0,012*0,015)     ıes  =  25,0  Mpa   Resposta
    
  
  
6. De  acordo  com  a  figura,  a  força  P  tende  a  fazer  com  que  a  peça  superior  
deslize  em  relação  à  inferior  segundo  o  plano  a-­a.  Sendo  P  =  4000  kgf,  qual  
a  tensão  de  cisalhamento  nesse  plano?  
  
  
Solução:  
A  força  de  cisalhamento  que  atua  no  plano  a-­a  é  provocada  pela  componente  
horizontal  de  P.  Logo  temos:  
Px  =  P  cos45°  =  4000*0,707     Px  =  2828  kgf  
A  área  em  que  atua  a  força  Px  vale:   A  =  20*30  =  600  cm²  
Logo  a  tensão  de  cisalhamento  será:  
IJ  =  Px/A  =  2828/600   IJ� �����NJI�FPð   Resposta  
  
  
  
7. Considere  o  corpo  de  prova  da  figura,  de  seção  transversal  retangular  de  2,5  
cm  por  5,0  cm,  utilizado  para  determinar  a  resistência  à  tração  da  madeira.  
Sendo  para  a  peroba  a  tensão  de  ruptura  ao  cisalhamento  de  130  kgf/cm²,  
pede-­VH�GHWHUPLQDU�R�FRPSULPHQWR�PtQLPR�³a´��LQGLFDGR�QD�ILJXUD��SDUD�TXH�
a  ruptura  se  dê  por  tração  e  não  por  cisalhamento.  A  carga  de  ruptura  à  
tração  é  P  =  1040  kgf.    
  
  
Solução:  
Se  a  carga  de  ruptura  a  tração  é  P  =  1040  kgf,  isso  significa  que  com  essa  
carga  eu  não  posso  ter  ruptura  por  cisalhamento.  Então,  como  eu  terei  
FLVDOKDPHQWR�GXSOR�QD�UHJLmR�FRP�GLPHQVmR�³D´��SRGHPRV�HVFUHYHU�  
P/2A  ”�IJrup   então,      ������
D
��”�����NJI�FPð  
6HQGR�DVVLP��D�•����������     a  •  0,8  cm     Resposta  
  
7  
  
  
8. Uma  viga  de  madeira,  com  seção  retangular  com  b=10cm  e  h=18cm  tem  6m  
de  vão  e  a  tensão  admissível  é  9Mpa.    Calcular  a  máxima  carga  P  que  pode  
ser  aplicada  no  meio  do  vão.  
  
  
Solução:  
W  =  bh²/6  =  0,10*0,18²/6  =  0,00054  m³  
O  momento  máximo  ocorre  no  ponto  de  aplicação  da  carga  (centro  do  vão)  e  
vale:     Mmax  =  PL/4  =  P*6/4  =  1,5P  
&RPR�ı� �0�:��WHUHPRV�     9E6  N/m²  =  1,5P  Nm  /  0,00054  m³  
P  =  9E6*0,00054/1,5     P  =  3240  N   Resposta  
  
9. Calcular  o  valor  da  tensão  máxima  devido  à  flexão  na  viga  prismática  de  
concreto  armado  da  figura.  Represente  a  distribuição  das  tensões  na  seção  
transversal  da  viga.  
São  dados:  DŽc=2,5tf/m³;;  DŽalv=2,0tf/m³;;  e=0,8m.  
  
  
Solução:  
Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  do  concreto:  
qcon   �DŽc  *  1  *  1  =  2,5  tf/m  
Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  da  parede  de  alvenaria:  
qalv   �DŽalv  *  8  *  0,8  =  12,8  tf/m  
q  =  qcon  +  qalv  =  15,3  tf/mO  momento  máximo  vale:     Mmax  =  ql²/8  =  15,3*12²/8  =  275,4  tfm  
O  módulo  de  resistência  à  flexão,  W,  será:  
W  =  bh²/6  =  1*1²/6  =  0,17  m³  
A  tensão  normal  máxima  devido  à  flexão  será:  
8  
  
ımax  =  Mmax/W  =  275,4/0,17        
ımax  =  1620  tf/m²   ou   ımax  =  162  kgf/cm²     Resposta  
  
  
  
  
10. A  viga  de  concreto  armado  da  figura  suporta  duas  colunas  iguais  de  
concreto,  com  30cm  de  diâmetro  e  tensão  de  compressão  de  120kgf/cm²  na  
base,  sendo  a  sua  seção  transversal  retangular  com  60cm  de  base  e  90cm  
de  altura,  com  peso  específico  DŽc=2,5tf/m³.  Determine  o  valor  da  tensão  
máxima  de  compressão  na  viga  e  represente  a  distribuição  das  tensões  na  
seção.  
  
  
Solução:  
Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  do  concreto:  
qcon   �DŽc  *  0,6  *  0,9  =  1,35  tf/m    
Cálculo  da  carga  concentrada  P  devido  à  coluna  de  concreto:  
Acol  =  Ⱥd²/4  =  Ⱥ*0,3²/4  =  0,071  m²  
P  =  ı*A  =  120*0,071*100²  =  85200  kgf  =  85,2  tf  
Mmax  =  ql²/8  +  VA*2  =  1,35*10²/8  +  85,2*2  =  187,275  tfm  
O  módulo  de  resistência  à  flexão,  W,  será:  
W  =  bh²/6  =  0,6*0,9²/6  =  0,081  m³  
A  tensão  normal  máxima  devido  à  flexão  será:  
ımax  =  Mmax/W  =  187,3/0,081        
ımax  =  2312  tf/m²   ou   ımax  =  231,2  kgf/cm²     Resposta  
  
  
  
  
9  
  
  
11. Determine  para  a  viga  representada  na  figura  abaixo,  os  diagramas  de  força  
cortante,  momento  fletor.  
Após  a  obtenção  dos  diagramas,  faça  com  que  w0  =  2  kN/m,  L  =  3m,  calcule  a  
tensão  de  flexão  máxima  absoluta  e  represente  a  distribuição  de  tensão  na  
seção  transversal  da  viga.  
Considere  uma  viga  em  perfil  I  203,2  x  27,3  dada  na  tabela  de  perfis  que  se  
encontra  no  final  da  lista  de  exercícios.  
  
                    
Solução:  
Reações  de  apoio.  A  carga  distribuída  é  substituída  por  sua  resultante  e  as  reações  
são  determinadas  com  as  equações  de  equilíbrio  como  segue  
                        
���ƶ)y  =  0;;        RA  ±  w0  L/2  =  0    ou    RA  =  w0  L/2    
    ��ƶ0A  =  0;;    MA  ±  (w0  L/2)  (2L/3)  =  0    ou    MA  =  w0  L²/3    
  
Funções  de  cisalhamento  e  momento  fletor.  Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  
segmento  com  comprimento  x  é  desenhado  na  figura  (c).  A  intensidade  da  carga  é  
determinada  por  semelhança  de  triângulos,  ou  seja,  w/x  =  w0/L  e,  portanto,  w  =  
w0x/L.  
10  
  
                        
���ƶ)y  =  0;;        w0  L/2  ±  (½)(w0  x/L)x  ±  V  =  0    ou    V  =  w0/2L  (L²  -­  x²)         (1)  
    ��ƶ0x  =  0;;    (w0  L²/3)  -­  w0  L/2  (x)  +  (½)(w0  x/L)x  (x  -­  2x/3)  +  M  =  0    ou      M  =  
w0/6L  (-­2L³  +  3L²x  ±  x³)       (2)  
  
11  
  
            
      
Diagramas  de  força  cortante  e  momento  fletor.  Os  gráficos  das  equações  (1)  e  
(2)  estão  mostrados  na  figura  (d).  
  
Fazendo-­se  w0  =  2  kN/m  e  L  =  3m,  obtemos  os  valores  de  V  e  M  que  são  
V  =  w0  L/2  =  (2  kN/m)  (3  m)/2  =  3  kN    
M  =  -­  (w0  L²)/3  =  (2  kN/m)  (3  m)²  /  3  =  -­6  kNm  
Nota:  O  valor  negativo  do  momento  significa  que  as  fibras  inferiores  são  comprimidas  
e  as  superiores  tracionadas.  
Consultando  a  tabela  da  página  5,  I  203,2  x  27,3,  obtemos  os  valores  de  Ix  =  2400  
cm4;;  h  =  20,32  cm;;  Wx  =  236  cm³.  
portanto,  Ix  =  2400  (1/1004)  m4;;  h  =  20,32  (1/100)  m  ;;  Wx  =  236  (1/100³)  m³.  
Logo,  Ix  =  2,4  10-­5  m4;;  h  =  2,032  10-­1  m;;  Wx  =  2,36  10-­4  m³.  
12  
  
c  =  h/2  =  (2,032  10-­1)/2  =  1,016  10-­1  m  
como  ımáx  =  M  c/I,  temos  que  ımáx  =  (-­6  kNm)  (1,016  10-­1  m)/  2,4  10-­5  m4,  então  
ımáx  =  -­2,54  104  N/m²  =  -­2,54  104  Pa  =  -­25,4  kPa           Resposta  
  
Nota:  
Podemos  usar  também  a  seguinte  equação:    ımáx  =  M  /  W  e  então  teremos:  ımáx  =  
(-­6  kNm)/(2,36  10-­4  m³)  =  25423,7  N/m²  ou  aproximadamente  25,4  kPa.  
      
  
  
12. Determine  para  a  viga  com  um  balanço  representada  na  figura  abaixo,  os  
diagramas  de  força  cortante,  momento  fletor.  
Após  a  obtenção  dos  diagramas,  faça  com  que  p  =  15  kN/m,  L  =  4  m,  a  =  3  m  
e  b  =  1  m.  Calcule  a  tensão  de  flexão  máxima  absoluta  e  represente  a  
distribuição  de  tensão  na  seção  transversal  da  viga.  
Escolha  o  perfil  mais  econômico,  portanto  mais  adequado,  consultando  a  tabela  
a  seguir  e  considerando  que  o  material  da  viga  apresenta  uma  tensão  
admissível    ıAdm  =  150  MPa  .  
  
  
          
13  
  
Solução  
Reações  de  apoio.  A  carga  distribuída  é  substituída  por  sua  resultante  e  as  reações  
são  determinadas  com  as  equações  de  equilíbrio  como  segue  
                        
���ƶ)y  =  0;;        RA  +  RB  ±  p  L  =  0    ou    RA  =  p  L  -­  RB    
    ��ƶ0A  =  0;;    RB  a  -­  p  L  L/2  =  0    ou    RB  =  p  L²/2  a    
então  RA  =  p  L  ±  p  L²/2  a  =  p  L  (1  ±  L/2a)  
Funções  de  cisalhamento  e  momento  fletor.  Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  
segmento  no  trecho  AB  com  comprimento  x  é  desenhado  na  figura  (c).  
                                
���ƶ)y  =  0;;        RA  ±  p  x  -­  V=  0    ou    V  =  p  L  (1  ±  L/2a)  ±  p  x    
1HVWH�WUHFKR��”[”D�HQWmR�  
para  x  =  0  temos  V  =  p  L  (1  ±  L/2a)  
para  x  =  a  temos  V  =  p  L  (1  ±  L/2a)  ±  p  a        
14  
  
Onde  V(x)  =  0  o  momento  será  máximo,  logo  para  sabermos  onde    V(x)  corta  o  eixo  
dos  x,  igualamos  V(x)  a  zero.  
V  =  p  L  (1  ±  L/2a)  ±  p  x  =  0  então  x  =  [p  L  (1  ±  L/2a)]/p  
x  =  L  (1  ±  L/2a)  
  
��ƶ0x  =  0;;      M  ±  RA  x  +  p  x  (x/2)  =  0      ou                                                                                                                                                                                        
   M  =  p  L  (1  ±  L/2a)  x  -­  p  x²/2  
1HVWH�WUHFKR��”[”D�HQWmR�  
para  x  =  0  temos  M  =  0  
para  x  =  a  temos  M  =  p  L  (a  ±  L/2)  -­  p  a²/2  
  
Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  segmento  no  trecho  BC  com  comprimento  x  é  
desenhado  na  figura  (d)  e  aplicadas  as  equações  de  equilíbrio  para  determinação  das  
equações  dos  esforços  internos  M  e  V.  
  
                                          
���ƶ)y  =  0;;            RA  ±  p  x  +  RB  ±  V  =  0    ou      
V  =  p  L  ±  p  L²/2a  ±  p  x  +  p  L²/2  a        ou    V  =  pL  ±  p  x  =  p(L  ±  x)  
1HVWH�WUHFKR�D”[”/  então  
para  x  =  a  temos  V  =  p(L  ±  a)  
para  x  =  L  temos  V  =  0  
    
15  
  
��ƶ0x  =  0;;      M  ±  RA  x  +  p  x  (x/2)  ±  RB  (x  ±  a)  =  0      ou                                                                                                                                                                                        
   M  =  (p  L  ±  p  L²/2a)  x  -­  p  x²/2  +  p  L²/2  a  (x  ±  a)  
   M  =  pLx  ±  pL²x/2a  -­  px²/2  +  pL²x/2a  -­  pL²/2  
   M  =  -­px²/2  +  pLx  -­  pL²/2  
   M  =  -­px²/2  +  pLx  -­  pL²/2  
  
1HVWH�WUHFKR�D”[”/  então  
para  x  =  a  temos  M  =  -­pa²/2  +  pLa  -­  pL²/2  
para  x  =  L  temos  M  =  0  
    
  
                        
  
Diagramas  de  força  cortante  e  momento  fletor.  Os  gráficos  das  equações  (1)  e  
(2)  estão  mostrados  na  figura  (e).  
  
16  
  
Fazendo-­se  p  =  15kN/m,  L  =  4  m,  a  =  3  m  e  b  =  1  m,  como  pedido  no  enunciado  do  
exercício,  temos,  no  trecho  AB,  pois  é  lá  que  encontramos  Mmáx  substituindo  x  por  L(1  
±  L/2a)  =  4  m  [1  ±  (4  m)/(2  3  m)  =  1,33  m.  
  
A  equação  do  momento  para  o  trecho  AB  é  dada  pela  expressão:  
M  =  p  L  (1  ±  L/2a)  x  -­  p  x²/2.  Substituindo  os  valores  teremos:      
  
M  =  (15  kN/m)(4  m)[1  ±  (4  m)/(2  3  m)]  (1,33  m)  ±  (15  kN/m)  (1,33  m)²  /2  =  13,3  
kNm.  
  
  
&RPR�ı� �0�:�H�ı�SRGH�DVVXPLU�QR�Pi[LPR�R�YDORU�GH�ıAdm  podemos  dizer  que  
ı�”�ıAdm  RQGH�ı�p�D�WHQVmR�FDOFXODGD�  
Então,  se  igualarmos  as  expressões  acima  obtemos:  
  
ı� �0�:� �ıAdm  GH�RQGH�WLUDPRV�TXH�:� �0�ıAdm  
  
Logo,  W  =  (13,3  kNm)/(150  MPa)  =  8,9  10-­5  m3  =  89  cm³  
  
Para  a  escolha  do  perfil  mais  econômico,  portanto  mais  adequado,  consultando  
a  tabela  da  página  5,  encontramos  uma  viga  I  127  x  18,2  cujo  valor  de  Wx  =  
89,8  cm3   Resposta  
  
Então  a  tensão  máxima  de  flexão  vale:    
ımáx  =  M/W  =  (13,3  kNm)/(89,8  cm³)      
ımáx  =  (13,3  kNm)/(8,98  10-­5    m³)    
ımáx  =  148,1  MPa     Resposta  
  
13.  A  peça  de  mármore,  que  podemos  considerar  como  um  material  linear  elástico  
frágil,  tem  peso  específico  de  24  kN/m³  e  espessura  de  20  mm.  Calcule  a  tensão  
de  flexão  máxima  da  peça  se  ela  estiver  apoiada  (a)  em  seu  lado  e  (b)  em  suas  
ERUGDV��6H�D�WHQVmR�GH�UXSWXUD�IRU�ıRup  =  1,5  MPa,  explique  as  consequências  de  
apoiar  a  peça  em  cada  uma  das  posições.  
  
  
Solução:                  Esquema  estático  adotado:  
17  
  
  
                          
Como  já  vimos  anteriormente,  o  valor  de  momento  máximo  para  esse  esquema  
estático  é:  
  
M  =  w  L²/8  
Portanto  temos  que  determinar  o  valor  de  w  que  é:  
Z� �DŽmármore  Vpeça  /  L=  (24  kN/m³)  (1,5  m  x  0,5  m  x  0,02  m)/1,5  m    
w  =  240  N/m    e    L  =  1,5  m  
então,  
M  =  240  N/m  (1,5  m)²/8  =  67,5  Nm  
Cálculo  do  momento  de  inércia  da  peça:  
1. Para  a  posição  (a)  temos:  
  
    Ix  =  b  h³/12  =  0,02  m  (0,5  m)³/12  =        2,08  10-­4  m4  
  
                
  
Wx  =  Ix/c  =  Ix  2/h  =  8,33  10-­4  m³  
então  ımáx  =  M/W  =  67,5  Nm  /  8,33  10-­4  m³  =  0,081  MPa  ”�ıRup  
  
  
  
2. Para  a  posição  (b)  temos:  
Ix  =  b  h³/12  =  0,5  m  (0,02  m)³/12  =    3,33  10-­7  m4  
18  
  
  
  
Wx  =  Ix/c  =  Ix  2/h  =  3,33  10-­5  m³  
então  ımáx  =  M/W  =  67,5  Nm  /  3,33  10-­5  m³  =  2,025  MPa  !�ıRup  
  
Portanto  na  posição  (a)  a  peça  resiste  mas  na  posição  (b)  a  peça  se  
rompe.                                              Resposta  
  
14.  Uma  viga  composta  é  feita  de  madeira  e  reforçada  com  uma  tira  de  aço  
localizada  em  sua  parte  inferior.  Ela  tem  a  área  de  seção  transversal  
mostrada  na  figura.  Se  for  submetida  a  um  momento  fletor  M  =  2  kNm,  
determine  a  tensão  normal  nos  pontos  B  e  C.  Considere  Eaço  =  200  GPa.  Emad  
=  12  GPa.  
  
Solução  
Solução  
Propriedades  da  seção.  Embora  a  escolha  seja  arbitrária,  aqui,  transformaremos  a  
seção  em  outra  feita  inteiramente  de  aço.  Visto  que  o  aço  tem  rigidez  maior  que  a  da  
madeira   (Eaço   >   Emad),   a   largura   da   madeira   deve   ser   reduzida   a   uma   largura  
equivalente  para  o  aço.  Por  conseqüência  n  deve  ser  menor  do  que  um.  Para  tanto,  n  
=  Emad/  Eaço,  então  
baço  =  nbmad  =  [(12  GPa)/(200GPa)](150  mm)  =  9  mm  
A  seção  transformada  é  mostrada  na  figura  86b.  
19  
  
  
A  localização  do  centróide  (eixo  neutro),  calculada  em  relação  a  um  eixo  de  referência  
localizado  na  parte  inferior  da  seção,  é  
y  =  [(0,01  m)(0,02  m)(0,15  m)  +  (0,095  m)(0,009  m)(0,15  m)]/  
/[0,02  m(0,15  m)  +  0,009  m  (0,15  m)]  =  0,03638  m  
Portanto,  o  momento  de  inércia  em  relação  ao  eixo  neutro  é  
INA=[(1/12)(0,15  m)(0,02  m)³  +  (0,15  m)(0,02  m)(0,03638  m  ±  0,01  m)²]  
+[(1/12)(0,009  m)(0,15  m)³  +  (0,009  m)(0,15  m)(0,095  m  ±  0,03638  m)²]  
INA  =  9,358(10-­6)  m4  
Tensão  normal��$SOLFDQGR�D�IyUPXOD�GD�IOH[mR��D�WHQVmR�QRUPDO�HP�%¶�H�&�p  
ı%¶  =  Mc/I  =  2  kNm  (0,170  m  ±  0,03638  m)/9,358(10-­6)  m4  =  28,6  MPa  
ıC  =  2  kNm  (0,03638  m)/9,358(10-­6)  m4  =  7,78  MPa     Resposta  
A  distribuição  da  tensão  normal  na  seção  transformada  (toda  de  aço)  é  mostrada  na  
figura  86c.  
A   tensão   normal   na   madeira,   localizada   em   B   na   figura   86a,   é   determinada   pela  
equação:    
ıB   �Qı%¶  =  (12  GPa/200  GPa)(28,56  MPa)  =  1,71  MPa       Resposta  
20  
  
Usando  esses  conceitos,  mostre  que  a  tensão  no  aço  e  na  madeira  no  ponto  onde  elas  
HVWmR�HP�FRQWDWR�p�ıaço   �����03D�H�ımad  =  0,21  MPa,  respectivamente.  
A  distribuição  de  tensão  normal  na  viga  verdadeira  é  mostrada  na  fig.  86d.  
  
15.  A  viga  de  concreto  armado  é  feita  com  duas  hastes  de  reforço  de  aço.  Se  a  
WHQVmR�GH�WUDomR�DGPLVVtYHO�SDUD�R�DoR�IRU��ıaço)adm  =  280  MPa  e  a  tensão  de  
compressão  admissível  para  o  concreto  IRU��ıconc)adm  =  21  MPa,  determine  o  
momento   máximo   M   que   pode   ser   aplicado   à   seção.   Considere   que   o  
concreto   não   pode   suportar   uma   tensão   de   tração.   Eaço  =200  GPa,   Econc  =  
26,5  GPa.  
  
Solução  
  
Dados:  bf  =  550  mm;;  df  =  100  mm;;  bw  =  150  mm;;  dw  =  450  mm  
     dr  =  25  mm   hr  =  50  mm   Econc  =  26,5  GPa  
          Eaço  =  200  GPa;;        �ıaço)adm   �����03D����ıconc)adm  =  21  MPa  
  
Propriedades  da  seção  
  
21  
  
n  =  Eaço/Econc  =  200  GPa/26,5  GPa  =  7,54717  
  
$¶aço   �Q�š����Gr�ð� �����������š����[���ð� ���������PPð  
  
'HWHUPLQDomR�GH�K¶�  
-­$¶aço(dw  -­  hr  ±  K¶����Ef  df(0,5  df  ��K¶����Ew  K¶����K¶�� ��  
-­7409,42(450  ±  50  ±  K¶�������[�������[������K¶�������K¶����K¶�� �  
K¶ð�����������K¶�±  2850,24  =  0  
de  onde  WLUDPRV�TXH�K¶� �������   ou     h´=  -­835,54  
Portanto  o  valor  mais  aceitável  é:   K¶� ������PP  
  
Determinação  do  momento  de  inércia  da  seção:  
I  =  Iaço  +  If  +  Iw  
Iaço   �$¶aço(dw  -­  hr  ±  K¶�ð� �������������-­  50  ±  3,41)²  =  1165380460  mm4  
If  =  1/12(bfdf3)  +  bfdf(0,5df  ��K¶�ð� ���������[���ñ�������[�������[�����������ð  
If  =  202727878,8  mm4    
Iw  =  1/12(bwK¶ñ����EwK¶����K¶�ð� ���������[����ñ�������[��������[�����ð  
Iw  =  1982,6  mm4  
I  =  1165380460  mm4  +  202727878,8  mm4  +  1982,6  mm4  
I  =  1368110321  mm4    
  
A  tensão  máxima  no  concreto  será  dada  por:   ımáx  =  �ıconc)adm  =  Mconc  cconc  /I  
onde  cconc  =  df  ��K¶� ������������ ��������PP  
Então  o  momento  máximo  permitido  no  concreto  será:  
Mconc  =  (ıconc)admI/cconc  =  21  MPa  (1368110321  mm4)/103,41  mm  =  277,83  kNm  
A  tensão  máxima  no  aço  será  dada  por:     ımáx  =  �ıaço)adm  =n  Maço  caço  /I  
onde  caço  =  dw  -­  hr  ±  K¶� �����±  50  -­  3,41  =  396,59  mm  
O  momento  máximo  permitido  no  aço  será:  
22  
  
Maço  =  �ıaço)admI/n  caço  =  280  MPa  (1368110321  mm4)/(7,54717)396,59  mm  =    
127,98  kNm  
Portanto  o  momento  máximo  permitido  será:    
Mmáx  =  127,98  kNm     Resposta  
  
16. Visto   que   o   concreto   só   pode   suportar   pouca   ou   nenhuma   tração,   esse  
problema  pode  ser  evitado  se  o  concreto   for  protendido  com  cabos  ou  hastes.  
Considere   a   viga   simplesmenteapoiada   mostrada   na   figura,   que   tem   seção  
transversal   retangular   de   450   mm   por   300   mm.   Se   o   peso   específico   do  
concreto  for  24  kN/m³,  determine  a  tração  exigida  na  haste  AB,  que  se  estende  
por  toda  a  viga,  de  modo  que  nenhuma  tensão  de  tração  seja  desenvolvida  na  
seção  central  a-­a  da  viga.  Despreze  o  tamanho  da  haste  e  qualquer  deflexão  da  
viga.  
  
Solução  
Dados:   b  =  300  mm;;   d  =  450  mm;;   G¶� �����PP  
     L  =  2,4  m;;     DŽ  =  24  kN/m³  
  
a  =  d  ±  G¶� ����PP  
Z� �DŽ�E�G� ������N1�P��FDUJD�GLVWULEXtGD�  
  
  
  
Cálculo  das  reações:   por  simetria,  RA  =  RB  =  R  
���ƶ)y  =  0;;     2R  ±  wL  =  0;;   R  =  wL/2  =  3,888  kN  
23  
  
Esforços  internos  (normal  e  momento  fletor):  
  
  
���ƶ)x  =  0;;     T  ±  N  =  0;;     N  =  T  
  
��ƶ0O  =  0;;     M  +  T(0,5d  ±  a)  ±  R(0,5L)  +  (0,5wL)(0,25L)  =  0  
       M  =  R(0,25L)  ±  T(0,5d  ±  a)  
  
Propriedades  da  seção:  
A  =  bd  =  135000  mm²  
I  =  1/12(b  d³)  =  2278125000  mm4  
  
Tensão  normal:   ıa  =  N/A  +  Mc/I  
Por  imposição  do  problema:     ıa  =  0;;   0  =  -­T/A  +  Mca/I  
onde  ca  =  0,5d  
       0  =  -­T/A  +  [R(0,25L)  ±  T(0,5d  ±  a)]ca/I  
  
       T  =  R(0,25L)/  [(0,5d  ±  a)  +  I/(A  ca)]  
  
       T  =  9331  kN     Resposta  
  
17.  Para  reforçar  uma  viga  de  aço,  uma  tábua  de  carvalho  foi  colocada  entre  
seus  flanges,  como  mostra  a  figura.  Se  a  tensão  normal  admissível  para  o  aço  
IRU� �ıadm)aço   � ����03D� H� SDUD� D�PDGHLUD� �ıadm)mad   =   21  MPa,   determine   o  
momento   fletor  máximo   que   a   viga   pode   suportar   com   e   sem   o   reforço   da  
madeira.  Eaço  =  200  GPa,  Emad  =  12  GPa.  O  momento  de  inércia  da  viga  de  aço  
é  Iz  =  7,93  106  mm4,  e  sua  área  de  seção  transversal  é  A  =  5493,75  mm².  
  
Solução  
24  
  
Sem  a  tábua.  Neste  caso,  o  eixo  neutro  coincide  com  o  eixo  z.  A  aplicação  direta  da  
fórmula  da  flexão  para  a  viga  de  aço  dá  como  resultado  
�ıadm)aço  =  Mc/Iz    
168  N/mm²  =  M  (105  mm)/7,93  106  mm4  
                                              M  =  12,688  kNm                      Resposta  
Com   a   tábua.  Visto  que  agora   temos  uma  viga  composta,  devemos   transformar  a  
seção   em   um   único   material.   Será   mais   fácil   transformar   a   madeira   em   uma  
quantidade   equivalente   de   aço.   Para   tal,   n   =   Emad/Eaço.   Assim,   a   largura   de   uma  
quantidade  equivalente  de  aço  é  
baço  =  nbmad  =  (12  GPa/200GPa)300  mm  =  18  mm  
A  seção  transformada  é  mostrada  na  figura.    
  
O  eixo  neutro  encontra-­se  em  
y  =  ƶyA/ƶA  =  (0)(5493,75  mm²)  +  (55  mm)(100  mm)(18  mm)/  
/[5493,75  mm²  +  100(18)  mm²]  =  13,57  mm  
E  o  momento  de  inércia  em  relação  ao  eixo  neutro  é  
I  =  [7,93  106  mm4  +  (5493,75  mm²)(13,57  mm)²]  +    
+  [(1/12)(18  mm)(100  mm)³  +  (18  mm)(100  mm)(55  mm  ±  13,57  mm)²]    
I  =  13,53(106)  mm4  
A   tensão   normal  máxima   ocorrerá   na  parte   inferior   da   viga   (figura   87b).   Aqui,   c  =  
105   mm   +   13,57   mm   =   118,57   mm.   O   momento   máximo   baseado   na   tensão  
admissível  para  o  aço  é  
�ıadm)aço  =  Mc/I  
168  (106)  N/m²  =  168  N/mm²  =  M(118,57  mm)/13,53(106)  mm4  
M  =  19,17  kNm  
A  tensão  normal  máxima  na  madeira  ocorre  na  parte  superior  da  viga  (figura  87b).  
$TXL�� F¶� � ����PP�±   13,5��PP� �������PP��9LVWR� TXH� ımad   �Qıaço,   o  momento  
máximo  baseado  na  tensão  admissível  para  a  madeira  é  
25  
  
�ıadm)mad   �Q�0¶F¶�,  
���1�PPð� �>����*3D����*3D�0¶�������PP�@����������6)mm4  
0¶� �������N1P  
Por   comparação,   o   momento   máximo   é   limitado   pela   tensão   admissível   no   aço.  
Portanto,  
                                    M  =  19,17  kNm              Resposta  
Observação:  Usando  a  tábua  como  reforço,  conseguimos  51%  de  capacidade  
adicional  para  o  momento  da  viga.  
26