Binômio de Newton

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O nome do Binômio de Newton foi uma forma de homenagear Isaac Newton (1643 
-1727). O Binômio de Newton permite a escrita de um dado polinômio de forma canônica 
que corresponde à potência de um binômio. Não foi Isaac Newton quem desenvolveu o 
algoritmo, mas desenvolveu um que levava ao estudo de séries infinitas. 
 
Pelos produtos notáveis, sabe-se que (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏². 
 
E os produtos notáveis podem se desenvolvidos da seguinte forma para potencias 
maiores, conforme estes exemplos abaixo: 
 
 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3 𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4 𝑎4𝑏 + 6 𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 
 (𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5 𝑎4𝑏 + 10 𝑎3𝑏2 + 10 𝑎2𝑏3 + 5𝑎𝑏4 + 𝑏5 
 
Como se pode ver nos exemplos os cálculos da potencias de elementos muito 
grandes acabam se tornando bastante complicado. No caso visto o valor 𝑛 vai 
aumentando e conforme aumenta mais difícil se torna a obtenção correta do resultado. 
Utilizando os princípios dos Coeficiente Binomiais abaixo e do Triângulo de Pascal, 
é possível desenvolver o binômio de Newton. 
(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑(∑ (
𝑛
𝑘
) 𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘𝑛𝑘=0 (1) 
Essa notação (
𝑛
𝑘
) representa os coeficientes binomiais, definidos da seguinte forma: 
(
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
 (2) 
Nesta notação 𝑛 𝑒 𝑘 são números inteiros. Já 𝑘 ≤ 𝑛 e 𝑥! = 1 × 2 × 3 … 𝑥 é chamado 
de fatorial de x. 
O coeficiente binomial (
𝑛
𝑘
), é o correspondente em análise combinatória ao número 
𝑛 de combinações agrupados de 𝑘 𝑎𝑡é 𝑘. 
A notação (2) muitas vezes é atribuída a Blaise Pascal, que foi o responsável pela 
elaboração do Triângulo de Pascal, descrito no século XVII. No entanto, ela pode ter sido 
descoberta, segundo alguns indícios, tanto pelo matemático persa Omar Khayyám quanto 
pelo matemático chinês Yang Hui, por volta do século XVIII. 
 
A fórmula do desenvolvimento do termo geral do Binômio de Newton, é escrita 
assim: 
 
(𝑥 − 𝑎)𝑛 = (
𝑛
0
) 𝑎0𝑥𝑛 − (
𝑛
1
) 𝑎1𝑥𝑛−1 + (
𝑛
2
) 𝑎2𝑥𝑥−2 − ⋯ (
𝑛
𝑛
) 𝑎𝑛𝑥𝑛−𝑛 
A notação mais usual do Binômio de Newton: 
𝑇𝑝 + 1 = (
𝑛
𝑝) 𝑎
𝑛−𝑝𝑏𝑝 
 
Os sinais entre os termos se alternam. Termos impares possuem sinais positivos e os 
termos pares são precedidos de sinais negativos. 
(UEM/2013) A soma dos algarismos do termo independente de x no 
desenvolvimento do binômio de Newton é: 
𝑇𝑝 + 1 = (
8
𝑝
) (
2
𝑥
) 𝑥𝑝 =
8!
𝑝! (8 − 𝑝)!
= 28−𝑝𝑥2𝑝−8 
Resolvendo: 
2𝑝 − 8 = 0 
𝑝 = 4 
Substituindo p na equação novamente encontra-se o valor do problema 
𝑇5 =
8!
4! (8 − 4)!
= 28−4𝑥2.4−8 = 1120